의 일환으로 국제 통계 연보 , JMP 블로그는 매월 영향력있는 통계 학자들을 기려합니다. Professor George EP Box는 5 월의 영예입니다. 지난 주에 나는 처음에 그의 두 부분으로 된 종이 J. Stuart Hunter와 함께 출판 된 정규 2 단계 분수 계적 설계의 계열 기술 계량 1961 년
이 글에서는 유명한 Box-Behnken 디자인에 대해 중점적으로 설명합니다. Box-Behnken 디자인은 피팅 이차 응답 표면에 널리 사용되는 디자인입니다. Box-Behnken 디자인은 각 요소가 3 가지 레벨로 제한된다는 점에서 주목할 만하다. 각 요소에 2 차 항을 적용 할만큼 충분하다. 이러한 설계의 또 다른 주목할만한 특징은 센터 런 이외의 각 런에는 적어도 하나의 요인이 스케일 단위로 0으로 설정된다는 점입니다. 이것은 모든 요소가 극단 값 중 하나에있는 실행이 없음을 의미합니다. 이것은 모든 실행마다 -1 또는 +1의 모든 요소가 스케일 된 단위로있는 일반 2 수준 분수 팩토리얼 설계와 완전히 대조됩니다.
논문은 어떻게 시작됩니까?
이 논문은 양적 요소가 이론적으로 무한한 수의 값으로 설정 될 수 있음을 지적함으로써 시작됩니다. 비록 그들이 몇 가지 수준으로 "필수적인 필요성을 제한 할 필요가 없다"는 것을 인정하지만, 편의성은 단지 몇 가지 수준의 사용이 필요하다고 주장한다.
그들은 계속해서 " 리던던시 요소, "는 설계에서의 런 수가 관심 모델의 매개 변수 수를 초과하는 부분입니다. 그들은 다항식 다항식의 인자 수 (k factor)가 (k + d)! / (k! d!)임을 지적한다. 일반적으로 전체 요인 설계는 필요한 수의 조건을 충족시키는 데 필요한 것보다 실질적으로 많은 실행 횟수를 갖습니다. 그들은 완전 2 차 모델을 피팅하기위한 5 가지 요인에 대해 3 단계 전체 요인 설계를 사용하려면 243 회의 실행이 필요하다고 지적합니다. 그러나이 모델은 추정 할 수없는 21 개의 매개 변수만을 가지고 있습니다. 따라서 전체 요인 설계에는 필요한 것보다 실행 횟수가 11 배 이상 많습니다. 그들은 다음과 같이 결론 지었다. "실험 오차 분산이 필요한 정밀도를 얻기 위해 많은 수의 관측을 필요로하는만큼 크지 않은 상황에서는 작은 중복 요소가있는 설계가 바람직합니다."더 이상 동의 할 수 없습니다!
리던던시 요소를 작게 유지하면서 완전한 2 차 모델을 피팅 할 수있는 디자인을 제공하는 기능은 새로운 디자인 클래스에 대한 동기를 제공합니다.
다음에 어떻게 될까요?
각 요소에 대해 3 가지 수준을 갖고 완전한 2 차 모델을 적용 할 수있는 새로운 디자인 계열에 대한 필요성을 자극 한 후, 그들은 새로운 디자인 클래스로 귀결되는 영리한 설계 개념으로 전환합니다. 그들의 생각은 2 단계 요인 설계와 균형이 맞지 않은 불완전한 블록 설계를 "특별한 방식으로 결합하는 것"이었습니다.
Box-Behnken 디자인은 그룹 내에서 실행될 때마다 특정 수의 요인 만 변경되는 실행 그룹을 포함합니다. 이 런 그룹의 경우 다른 모든 요인은 0 단위로 조정됩니다. 각 실행 그룹에서 달라지는 요소의 신원은 그룹마다 다릅니다. 예를 들어, 첫 번째 실행 그룹에서 x1과 x2가 달라질 수 있으며 다음 실행 그룹에서 x3과 x4가 가변 인수가 될 수 있습니다.
이러한 변화의 완벽한 패턴은 불완전한 균형 잡힌 블록 설계로 설명됩니다. 이러한 디자인은 모든 치료가 동일한 횟수로 발생하고 모든 치료가 블록마다 다른 모든 치료와 동일한 횟수로 발생한다는 특성이 있습니다. Box-Behnken 디자인에서 "치료법"은 그룹의 다양한 요소입니다. 블록은 그룹 내에서 얼마나 많은 요소가 달라질 수 있는지를 나타냅니다.
예제를 보여줄 수 있습니까?
그림 1은 네 가지 요소에 대한 Box-Behnken 디자인을 보여줍니다. 첫 번째 열은 Box-Behnken 디자인을 3 개의 직각 블록으로 차단하는 방법을 보여주는 Block 열입니다. 각 블록에는 네 개의 실행 그룹과 중앙 실행 그룹이 있습니다.
첫 번째 그룹에서 x1과 x2는 다양합니다. 두 번째 그룹에서 x3과 x4는 다양합니다. 세 번째 그룹 (두 번째 블록)에서는 x1과 x4가 다릅니다. 네 번째 그룹에서 x2와 x3은 다양합니다. 다섯 번째 그룹에서 x2와 x4는 다양하고, 마지막 그룹에서는 x1과 x3이 다릅니다. 각 요소는 세 그룹으로 나뉘며 각 요소는 다른 요소와 함께 한 번씩 다릅니다. 이 다양한 패턴의 패턴은 블록 당 두 번 실행되는 4 개의 처리 (요인 ID)와 6 개의 블록 (실행 그룹)이있는 균형이 맞지 않은 불완전한 블록 계획과 일치합니다. 두 번의 "달리기"는 그룹에서 변화하는 두 가지 요인입니다.
실행 그룹은 가변적 인 두 가지 요소에서 2x2 전체 계승입니다.
나머지 종이는 어떻게됩니까?
기본 아이디어를 소개 한 후,이 디자인을 직각으로 차단하는 방법과 중심 런을 추가하여 디자인 영역의 중심에서 예측 분산을 줄이는 방법을 보여줍니다. 그들은 3-7, 9-12 및 16 요소에 대한 설계 패밀리의 예를 제공합니다. 7 가지 이상의 요인에 대한 설계는 실질적으로 100 회 이상의 실행이 필요하며 JMP의 응답 표면 설계 옵션에는 옵션으로 나타나지 않습니다.
디자인을 소개 한 후,이 디자인을 사용하여 생성 된 데이터를 분석하는 방법도 보여줍니다. 여기에는 표준 오차가 수반되는 계수의 추정치가 포함됩니다. 이 부분은 최소 자승 추정치와 표준 오차를 찾기 위해 행렬 공식을 사용하지 않습니다. 그림 1의 4 가지 경우에는 요격, 4 개의 선형 효과, 6 개의 2 요소 상호 작용 효과 및 4 개의 2 차 효과가 있습니다. 현대적인 접근 방법은 모델 행렬 X를 만드는 것입니다.이 행렬은 디자인에서 실행되는 15 개의 열 (각 계수 당 하나)과 행이 있습니다. 1960 년 컴퓨터가 쉽게 할 수 없었던 부분은 계수 추정치와 표준 오류를 계산하는 데 필요한 행렬 X'X의 역함수를 찾는 것이 었습니다. 이러한 계산 복잡성을 피하기 위해 각 설계에 대한 상수 테이블과 이러한 상수와 y와 x의 곱의 다양한 합계를 사용하는 계산 방식을 제공합니다.
그림 2는 그림 1의 표에 대한 매개 변수 추정치와 관련 표준 오류를 보여줍니다. 모든 계수는 논문의 모든 계수와 일치합니다. 그러나이 논문은 4- 요인 예에 대한 2 차 효과의 표준 오차를 정확하게 계산하지 않습니다. 그래서이 논문은 올바른 값이 .63 일 때이 표준 오류를 .66으로보고합니다.
Box-Behnken 디자인이 시간의 시험을 견뎌 왔습니까?
Box-Behnken 디자인은 여전히 인기가 있습니다. 몇 가지주의 사항이있는 3 요소 및 4 요소 설계를 권장합니다.
이러한 디자인은 다음과 같은 점을 기억해야합니다. 아니 모든 요소의 극단에서 테스트를 실행하십시오. 따라서이 지점에서의 예측은 실제로 실험 영역 밖의 외삽 법입니다. Box-Behnken 디자인은 입방체의 디자인보다는 구형의 디자인으로 더 적절하게 생각됩니다. 그러나 많은 실무자가 실제로 이러한 설계를 사용하여 모든 요인을 -1에서 1 사이의 단위로 조정할 수 있다고 예상합니다. 즉, 그들은이 디자인 영역을 입방체로 생각하고 있습니다.
그림 3은 그림 1의 Box-Behnken 설계에서와 같은 27 개의 실행에서 4 가지 요인에 대한 I- 최적 설계의 설정을 보여줍니다.
네 가지 실행은 극단적 인 설정에서 4 가지 요인 모두를가집니다. 또한 5 개의 센터 런이 있습니다. 실행 중 두 개 (가운데 실행 제외) 만 0 단위로 스케일 된 단위로 하나 이상의 요소가 있습니다.
그림 4는 Box-Behnken 디자인을위한 디자인 공간 플롯의 비율을 보여줍니다. 빨간색 곡선은 Box-Behnken 설계의 상대 예측 분산을 나타내고 파란색 곡선은 I- 최적 설계의 상대 예측 분산을 나타냅니다.
Box-Behnken 디자인의 최대 예측 분산은 2.3333σ입니다. 2 요소 공간의 각 정점에는이 분산이 있습니다. I- 최적 설계의 경우, 최대 예측 분산은 0.832647σ 2 요인 설정 [1, 1, 1, 1]에서. Box-Behnken 디자인에 대한 큐브에 대한 예측의 평균 분산은 0.4σ입니다. 2 . I- 최적 설계의 경우, 0.273σ 2 . 큐브 전체에 대해 예측할 수 있기를 원한다면 Box-Behnken 디자인이 I-optimal 디자인으로 극적으로 뛰어난 성능을 발휘하고 있음을 분명히 알 수 있습니다.
반대로 반경이 2 인 제곱 안의 예측으로 자신을 제한하면 Box-Behnken 디자인이 매우 효율적입니다. 마지막으로 Box-Behnken 디자인의 관심 영역을 3 차라고 생각하더라도이 디자인은 활성 3 차 효과로 인해 예측 바이어스에 상대적으로 저항력이 있습니다.
참고 문헌
Box, GEP and Hunter, JS (1961) "The 2 kp 부분 분수령 디자인 파트 I " 기술 계량 Vol 3, No. 3 311-351.
상자, GEP & Behnken, DW (1960). 양적 변수 연구를위한 새로운 세 가지 수준의 설계. 기술 계량 2, pp. 455-475.
통계 학자 축하 : 비선형 모델을위한 설계된 실험 쓴 :
[...] 상자, 국제 통계의 해 기념 행사의 일환으로. 지난 주 필자는 반응 표면 모델에 맞추기 위해 Box-Behnken 디자인을 썼다. 이 게시물에서, 나는 당신에게 종이 박스가 쓴 글에 대해 이야기하고 싶다. [...]
