Como parte de la Año Internacional de la Estadística , el blog de JMP está honrando a estadísticos influyentes cada mes. El profesor George EP Box es el homenajeado de mayo. La semana pasada, escribí sobre el primero de su papel de dos partes con J. Stuart Hunter en la familia de diseños factoriales fraccionarios regulares de dos niveles que se publicó en Tecnometría en 1961.
En este post, me enfoco en los famosos diseños de Box-Behnken, que son diseños muy populares para ajustar superficies de respuesta cuadrática. Los diseños de Box-Behnken son notables porque cada factor está restringido a tres niveles, lo suficiente para permitir un término cuadrático en cada factor. Otra característica notable de estos diseños es que cada ejecución que no sea la central tiene al menos un factor establecido en cero en unidades escaladas. Esto significa que no hay ejecuciones donde cada factor esté en uno de sus valores extremos. Esto está en marcado contraste con los diseños factoriales fraccionarios de dos niveles en los que cada ejecución tiene todos los factores en -1 o +1 en unidades escaladas.
¿Cómo empieza el papel?
El documento comienza señalando que los factores cuantitativos podrían establecerse en valores numéricos teóricamente infinitos. Aunque admiten que no existe una "necesidad esencial de restringir" a unos pocos niveles, argumentan que la conveniencia requiere el uso de unos pocos niveles.
Continúan introduciendo el concepto de “ factor de redundancia, ”, Que es la fracción por la cual el número de ejecuciones en un diseño excede el número de parámetros en el modelo de interés. Señalan que el número de parámetros en un polinomio de grado, d, en k factores es (k + d)! / (K! D!). En general, un diseño factorial completo tiene sustancialmente más corridas de las necesarias para ajustarse al número requerido de términos. Señalan que el uso del diseño factorial completo de tres niveles para cinco factores para ajustar un modelo cuadrático completo requiere 243 ejecuciones. Pero este modelo solo tiene 21 parámetros desconocidos para estimar. Por lo tanto, el diseño factorial completo tiene más de 11 veces más corridas que las necesarias. Concluyen: "En situaciones en las que la varianza del error experimental no es tan grande como para requerir un gran número de observaciones para obtener la precisión necesaria, los diseños con pequeños factores de redundancia son deseables". ¡No podría estar más de acuerdo!
La capacidad de mantener el factor de redundancia pequeño mientras proporciona un diseño que permite ajustar un modelo cuadrático completo proporciona la motivación para su nueva clase de diseños.
¿Qué pasa después?
Habiendo motivado la necesidad de una nueva familia de diseños con tres niveles para cada factor y capaces de adaptarse a un modelo cuadrático completo, recurren a la idea de construcción de diseño inteligente que resulta en su nueva clase de diseños. Su idea era combinar diseños factoriales de dos niveles con diseños de bloques incompletos equilibrados "de una manera particular".
Un diseño de Box-Behnken tiene grupos de ejecuciones donde, para cada ejecución en el grupo, solo un cierto número de factores cambian. Para este grupo de ejecuciones, todos los demás factores se establecen en cero en unidades escaladas. La identidad de los factores que varían en cada grupo de ejecuciones cambia de un grupo a otro. Por ejemplo, en el primer grupo de ejecuciones, x1 y x2 pueden variar, y en el siguiente grupo de ejecuciones, x3 y x4 pueden ser los factores variables.
El patrón completo de estos cambios se describe mediante un diseño de bloque incompleto equilibrado. Estos diseños tienen la propiedad de que cada tratamiento ocurre la misma cantidad de veces y cada tratamiento ocurre en un bloque con cada otro tratamiento la misma cantidad de veces. En el diseño de Box-Behnken, los "tratamientos" son los factores que varían en un grupo. Los bloques son cuántos factores pueden variar en un grupo.
¿Puedes mostrar un ejemplo?
La Figura 1 muestra un diseño de Box-Behnken para cuatro factores que aparece en la Tabla 6 en su documento. La primera columna es la columna Bloque, que muestra cómo bloquear el diseño de Box-Behnken en tres bloques ortogonales. Cada bloque contiene dos grupos de cuatro carreras más una carrera central.
Tenga en cuenta que en el primer grupo x1 y x2 varían. En el segundo grupo, x3 y x4 varían. En el tercer grupo (segundo bloque) x1 y x4 varían. En el cuarto grupo, x2 y x3 varían. En el quinto grupo, x2 y x4 varían, y en el último grupo, x1 y x3 varían. Cada factor varía en tres grupos, y cada factor varía una vez en combinación con cada otro factor. Este patrón de los diversos factores coincide con un plan de bloque incompleto equilibrado con cuatro tratamientos (las identidades del factor) y seis bloques (los grupos de ejecuciones), donde hay dos ejecuciones por bloque. Las dos "carreras" son los dos factores que varían en los grupos.
Los grupos de carreras son un factorial completo 2x2 en los dos factores que varían.
¿Cómo va el resto del papel?
Después de presentar la idea básica, muestran cómo bloquear estos diseños de forma ortogonal y cómo agregar corridas centrales para reducir la varianza de predicción en el centro de la región de diseño. Dan ejemplos de su familia de diseños para 3-7, 9-12 y 16 factores. Los diseños para más de siete factores requieren sustancialmente más de 100 ejecuciones y no aparecen como opciones en las opciones de diseño de Superficie de respuesta en JMP.
Después de presentar los diseños, también muestran cómo analizar los datos generados con estos diseños. Esto incluye proporcionar las estimaciones de los coeficientes con sus errores estándar adjuntos. Esta parte del documento no utiliza la formulación matricial para encontrar las estimaciones de mínimos cuadrados y sus errores estándar. El caso de cuatro factores que se muestra en la Figura 1 tiene 15 coeficientes para estimar: la intersección, cuatro efectos lineales, seis efectos de interacción de dos factores y cuatro efectos cuadráticos. El enfoque moderno es crear la matriz del modelo, X, con 15 columnas (una para cada coeficiente) y tantas filas como ejecuciones haya en el diseño. La parte que las computadoras de 1960 no podían hacer fácilmente era encontrar el inverso de la matriz, X'X, que se requiere para calcular las estimaciones de coeficientes y sus errores estándar. Para evitar esta complicación de cálculo, proporcionan una tabla de constantes para cada diseño y un enfoque computacional que utiliza estas constantes y varias sumas de productos de las y y las x.
La Figura 2 muestra las estimaciones de los parámetros y sus errores estándar asociados para la tabla de la Figura 1. Todos los coeficientes coinciden con los del documento. Sin embargo, el documento no calcula correctamente el error estándar de los efectos cuadráticos para el ejemplo de cuatro factores. Por lo tanto, el documento informa estos errores estándar como .66 cuando el valor correcto es .63
¿Han sido la prueba del tiempo los diseños de Box-Behnken?
Los diseños de Box-Behnken siguen siendo muy populares. Recomendaría los diseños de tres y cuatro factores con algunas advertencias.
Es importante recordar que estos diseños hacen no Ejecutar pruebas en los extremos de cada factor. Entonces, las predicciones en estos puntos son en realidad extrapolaciones fuera de la región de experimentación. Los diseños de Box-Behnken se consideran más bien como diseños en una esfera en lugar de diseños en un cubo. Sin embargo, sospecho que muchos practicantes usan estos diseños para predecir mientras permiten que cada factor varíe entre -1 y 1 en unidades escaladas. Es decir, están pensando en esta región de diseño como cúbica.
La Figura 3 muestra la configuración de un diseño I-óptimo para 4 factores en 27 ejecuciones, el mismo número que en el diseño de Box-Behnken en la Figura 1.
Tenga en cuenta que cuatro de las carreras tienen los cuatro factores en su configuración extrema. También hay cinco carreras de centro. Solo dos de las ejecuciones (distintas de las corridas centrales) tienen más de un factor en el valor 0 en unidades escaladas.
La Figura 4 muestra la Fracción del diagrama de espacio de diseño para el diseño de Box-Behnken. La curva roja muestra la varianza de predicción relativa para el diseño de Box-Behnken, y la curva azul muestra la varianza de predicción relativa para el diseño I-óptimo.
La varianza de predicción máxima para el diseño de Box-Behnken es 2.3333σ 2 y cada vértice del espacio factorial tiene esta varianza. Para el diseño óptimo de I, la varianza de predicción máxima es 0.832647σ 2 en el ajuste de factor [1, 1, 1, 1] entre otros. La varianza promedio de la predicción sobre el cubo para el diseño de Box-Behnken es 0.4σ 2 . Para el diseño I-óptimo, es 0.273σ 2 . Es bastante claro que si desea poder predecir sobre todo el cubo, el diseño I-óptimo está superando dramáticamente el diseño de Box-Behnken.
Por otro lado, si se restringe a las predicciones dentro de una esfera con un radio cuadrado de 2, entonces el diseño de Box-Behnken es muy eficiente. Una nota final es que incluso si considera que la región de interés para el diseño de Box-Behnken es cúbica, este diseño es relativamente resistente al sesgo de predicción debido a los efectos activos de tercer orden.
Referencias
Box, GEP y Hunter, JS (1961) "El 2 kp Diseños factoriales fraccionarios Parte I " Tecnometría Vol. 3, No. 3 311-351.
Caja, GEP & Behnken, DW (1960). Algunos nuevos diseños de tres niveles para el estudio de variables cuantitativas. Tecnometría 2, pp. 455-475.
