の一部として国際統計年 JMPブログは毎月影響力のある統計学者を称えています。George EP Box教授が5月の受賞者です。先週、私は最初に書いた彼の二部論文 J. Stuart Hunterと共同で、2つのレベルからなるフラクショナル要因計画法を発表しました。テクノメトリックス 1961年に
この記事では、有名なBox-Behnkenデザインに焦点を当てます。これは、2次応答曲面を近似するための非常に人気のあるデザインです。Box-Behnkenの設計は、各因子が3つのレベルに制限されているという点で注目に値します - 各因子に2次項をあてはめるのにちょうど十分なほどです。これらの設計のもう一つの注目すべき特徴は、センターラン以外の各ランが、スケール単位でゼロに設定された少なくとも1つの係数を持つことです。これは、すべての要因がその極値のいずれかにあるランがないことを意味します。これは、すべての実行がスケール単位で-1または+1のいずれかの係数を持つ通常の2レベルのフラクショナル要因計画とは著しく対照的です。
論文はどのように始まりますか？
この論文は、量的要因が理論的に無限の数値に設定される可能性があることを指摘することから始めます。彼らは「本質的に制限する必要はない」と少数のレベルに認めているが、彼らは利便性がほんの数レベルの使用を必要とすると主張している。
彼らは続けて「の概念」を紹介します。冗長係数これは、デザイン内の実行数が対象モデル内のパラメータ数を超える割合です。彼らは、k因子における次数dの多項式のパラメータの数は（k + d）！/（k！d！）であることを指摘している。一般に、フルファクタル設計では、必要な数の用語を収めるのに必要な数よりも大幅に多くの実行があります。彼らは、全2次モデルを当てはめるために5つの因子に対して3レベルの全因子計画法を使用するには、243回の実行が必要であると指摘しています。しかし、このモデルには21個の未知パラメータしかありません。そのため、フルファクターデザインは、必要な数の11倍以上の実行があります。彼らは、「実験誤差分散が必要な精度を得るために多数の観察を必要とするほど大きくない状況では、小さな冗長係数を有する設計が望ましい」と結論を下した。
完全二次モデルに適合することを可能にする設計を提供しながら、冗長係数を小さく保つことができるということは、それらの新しいクラスの設計に対する動機付けを提供する。
次は何が起こる？
各要因に3つのレベルを持ち、完全な2次モデルに適合する新しいファミリーのデザインの必要性を動機付けたので、彼らは新しいクラスのデザインをもたらす巧妙なデザイン構築のアイデアに目を向けます。彼らの考えは、「特定の方法で」2レベルの要因計画とバランスの取れた不完全ブロック設計を組み合わせることでした。
Box-Behnken設計には実行グループがあり、グループ内の実行ごとに一定数の要素のみが変化します。このグループの実行では、他のすべての要素はスケール単位でゼロに設定されます。実行の各グループで異なる要因の正体は、グループごとに異なります。たとえば、最初の実行グループではx1とx2が変化し、次の実行グループではx3とx4が変動要因になる可能性があります。
これらの変更の完全なパターンは、バランスのとれた不完全ブロック設計によって表されます。これらの設計は、すべての治療が同じ回数行われ、すべての治療が他のすべての治療と同じ回数、ブロック内で行われるという特性を持っています。Box-Behnkenデザインでは、「トリートメント」はグループ内のさまざまな要因です。ブロックとは、グループ内でさまざまな要因を許容することができます。
例を示してもらえますか？
図1は、4つの要素に対するBox-Behnkenの設計を示しています。これは、論文の表6に示されています。最初の列はBlock列で、Box-Behnkenデザインを3つの直交ブロックにブロックする方法を示しています。各ブロックには4つのランからなる2つのグループとセンターランが含まれています。
最初のグループではx1とx2が異なることに注意してください。2番目のグループでは、x 3とx 4が異なります。3番目のグループ（2番目のブロック）では、x1とx4が異なります。4番目のグループでは、x 2とx 3が異なります。5番目のグループでは、x 2とx 4が異なり、最後のグループでは、x 1とx 3が異なります。各要因は3つのグループで異なり、各要因は他のすべての要因と組み合わせて1回異なります。変動因子のこのパターンは、4つの処理（因子の同一性）と6つのブロック（実行のグループ）を含むバランスのとれた不完全ブロック計画と一致します。ブロックごとに2つの実行があります。2つの「実行」は、グループによって異なる2つの要因です。
実行のグループは、変動している2つの要因のうち2×2の完全階乗です。
紙の残りの部分はどうなっていますか？
基本的な考え方を紹介した後、これらのデザインを直交的にブロックする方法と、デザイン領域の中心で予測の分散を減らすためにセンターランを追加する方法を示します。彼らは3 - 7、9 - 12と16の要因のためのデザインの彼らの家族の例を挙げます。7つ以上の要因に対する設計は、実質的に100回を超える実行を必要とし、JMPの応答曲面設計オプションのオプションとしては表示されません。
デザインを紹介した後に、これらのデザインを使用して生成されたデータを分析する方法も示します。これには、係数の推定値とそれに付随する標準誤差を含めることが含まれます。本稿のこの部分では、最小二乗推定値とその標準誤差を求めるために行列式を使用しません。図1に示す4要素の場合、推定する係数は15個あります。切片、4つの線形効果、6つの2要素相互作用効果、4つの2次効果です。最新のアプローチは、15列（各係数に対して1つ）および設計内のランと同数の行を持つモデル行列Xを作成することです。1960年のコンピューターでは簡単にできなかった部分は、行列の逆行列X'Xを見つけることでした。これは、係数推定値とその標準誤差の計算に必要です。この計算の複雑さを避けるために、彼らはそれぞれの設計に対する定数の表と、これらの定数とyとxの積のさまざまな合計を使った計算方法を提供します。
図2は、図1の表のパラメータ推定値とそれに関連する標準誤差を示しています。すべての係数は論文のものと一致します。ただし、この論文は、4因子の例に対する2次効果の標準誤差を正しく計算しません。したがって、正しい値が.63の場合、このホワイトペーパーではこれらの標準誤差を.66と報告しています。
Box-Behnkenのデザインは時の試練に耐えましたか？
Box-Behnkenのデザインはまだ非常に人気があります。いくつか注意点がありますが、3要素および4要素の設計をお勧めします。
これらの設計がすることを覚えておくことは重要ですではないあらゆる要因の極値でテストを実行します。したがって、これらの点での予測は、実際には実験領域外の外挿です。Box-Behnkenのデザインは、立方体のデザインよりも球のデザインとして適切に考えられています。しかしながら、私は多くの実務家が実際にこれらのデザインを使って予測していますが、スケールされた単位ですべての因子が-1から1の間で変わることを許容しています。つまり、彼らはこのデザイン領域を立方体として考えています。
図3は、27回の実行における4つの因子に対するI最適計画の設定を示しています。これは、図1のBox-Behnken計画と同じ数です。
4つの実行には、極端な設定で4つすべての要素があります。5つのセンターランもあります。2つのラン（中央のラン以外）のみが、スケールされた単位で0の値に複数の係数を持ちます。
図4は、Box-Behnken設計の設計空間プロットの割合を示しています。赤い曲線はBox-Behnken計画の相対予測分散を示し、青い曲線はI最適計画の相対予測分散を示します。
Box-Behnken計画の最大予測分散は2.3333σです 2 そして因子空間の各頂点はこの分散を持ちます。I最適設計の場合、最大予測分散は0.832647σです 2 とりわけ因子設定［１、１、１、１］において。Box-Behnken設計の立方体にわたる予測の平均分散は0.4σです。 2 。I最適設計では、0.273σです。 2 。立方体全体を予測できるようにしたい場合は、Box-Behnken設計がI最適設計よりもはるかに優れていることは明らかです。
一方、2の半径が2の球の内側での予測に自分自身を制限する場合、Box-Behnken設計は非常に効率的です。最後の注意点として、Box-Behnken設計の関心領域を3次と見なしても、この設計はアクティブな3次効果による予測の偏りに対して比較的耐性があります。
参考文献
ボックス、GEPとハンター、JS（1961） "2 kp 分数階乗デザインその1」 テクノメトリックス第３巻、第３号３１１−３５１。
ボックス、GEP ＆Behnken、DW （1960） 量的変数の研究のためのいくつかの新しい三準位設計 テクノメトリックス ２、ｐｐ．４５５−４７５。
統計学者を祝う：非線形モデルのための計画的実験書きました：
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