Come parte di Anno internazionale delle statistiche , il Blog di JMP sta onorando gli influenti statistici ogni mese. Il Professor George EP Box è il premiato per maggio. La settimana scorsa, ho scritto circa il primo di il suo articolo in due parti con J. Stuart Hunter sulla famiglia di disegni fattoriali frazionari a due livelli regolari che è stato pubblicato in Technometrics nel 1961.
In questo post, mi concentro sui famosi progetti Box-Behnken, che sono progetti molto popolari per il montaggio di superfici di risposta quadratiche. I progetti Box-Behnken sono notevoli in quanto ogni fattore è limitato a tre livelli: quel tanto che basta per consentire di inserire un termine quadratico in ogni fattore. Un'altra caratteristica degna di nota di questi progetti è che ogni corsa diversa dalle esecuzioni centrali ha almeno un fattore impostato a zero nelle unità in scala. Ciò significa che non ci sono corse in cui ogni fattore è ad uno dei suoi valori estremi. Ciò è in netto contrasto con i normali modelli fattoriali frazionari a due livelli in cui ogni corsa ha ogni fattore a -1 o +1 in unità in scala.
Come inizia la carta?
Il documento inizia sottolineando che i fattori quantitativi possono essere impostati su valori numerici teoricamente infiniti. Sebbene ammettano che non vi è alcun "bisogno essenziale di limitare" a pochi livelli, essi sostengono che la praticità richiede l'uso di pochi livelli.
Continuano a introdurre il concetto di " fattore di ridondanza, "Che è la frazione in base alla quale il numero di esecuzioni in un disegno supera il numero di parametri nel modello di interesse. Sottolineano che il numero di parametri in un polinomio di gradi, d, in fattori k è (k + d)! / (K! D!). In generale, un progetto fattoriale completo ha sostanzialmente più esecuzioni del necessario per soddisfare il numero richiesto di termini. Sottolineano che l'utilizzo del design fattoriale a tre livelli per cinque fattori per l'adattamento di un modello quadratico completo richiede 243 esecuzioni. Ma questo modello ha solo 21 parametri sconosciuti da stimare. Quindi, il design fattoriale completo ha più di 11 volte di quante ne occorrono. Concludono: "Nelle situazioni in cui la varianza dell'errore sperimentale non è così ampia da richiedere un numero elevato di osservazioni per ottenere la precisione necessaria, sono desiderabili progetti con piccoli fattori di ridondanza." Non potrei essere più d'accordo!
La capacità di mantenere il fattore ridondante piccolo pur fornendo un design che consente di adattare un modello quadratico completo fornisce la motivazione per la loro nuova classe di progetti.
Cosa succede dopo?
Avendo motivato la necessità di una nuova famiglia di progetti con tre livelli per ciascun fattore e in grado di adattarsi a un modello quadratico completo, si rivolgono all'idea di costruzione di un progetto intelligente che si traduce nella loro nuova classe di progetti. La loro idea era quella di combinare disegni fattoriali a due livelli con disegni a blocchi incompleti bilanciati "in un modo particolare".
Un design Box-Behnken ha gruppi di esecuzioni in cui, per ciascuna corsa nel gruppo, cambia solo un certo numero di fattori. Per questo gruppo di esecuzioni, tutti gli altri fattori sono impostati a zero nelle unità in scala. L'identità dei fattori che variano in ciascun gruppo di esecuzioni cambia da un gruppo all'altro. Ad esempio, nel primo gruppo di esecuzioni, x1 e x2 potrebbero essere variati e nel gruppo successivo di esecuzioni, x3 e x4 potrebbero essere i fattori variabili.
Lo schema completo di questi cambiamenti è descritto da un design di blocco incompleto bilanciato. Questi disegni hanno la proprietà che ogni trattamento avviene lo stesso numero di volte e ogni trattamento avviene in un blocco con ogni altro trattamento lo stesso numero di volte. Nel design Box-Behnken, i "trattamenti" sono i vari fattori di un gruppo. I blocchi sono quanti fattori sono autorizzati a variare in un gruppo.
Puoi mostrare un esempio?
La figura 1 mostra un design Box-Behnken per quattro fattori che appare come tabella 6 nel loro articolo. La prima colonna è la colonna Block, che mostra come bloccare il design Box-Behnken in tre blocchi ortogonali. Ogni blocco contiene due gruppi di quattro serie più una corsa centrale.
Si noti che nel primo gruppo x1 e x2 variano. Nel secondo gruppo, x3 e x4 variano. Nel terzo gruppo (secondo blocco) x1 e x4 variano. Nel quarto gruppo, x2 e x3 variano. Nel quinto gruppo, x2 e x4 variano, e nell'ultimo gruppo, x1 e x3 variano. Ogni fattore varia in tre gruppi e ciascun fattore varia una volta in combinazione con ogni altro fattore. Questo modello dei vari fattori corrisponde a un piano di blocco incompleto bilanciato con quattro trattamenti (le identità dei fattori) e sei blocchi (i gruppi di corse), in cui vi sono due percorsi per blocco. Le due "corse" sono i due fattori che variano nei gruppi.
I gruppi di corse sono un fattoriale 2x2 completo nei due fattori che variano.
Come va il resto del foglio?
Dopo aver introdotto l'idea di base, mostrano come bloccare questi progetti ortogonalmente e come aggiungere le esecuzioni centrali per ridurre la variazione di predizione nel centro dell'area di progettazione. Forniscono esempi della loro famiglia di disegni per 3- 7, 9-12 e 16 fattori. I progetti per più di sette fattori richiedono sostanzialmente più di 100 analisi e non appaiono come opzioni nelle opzioni di progettazione della superficie di risposta in JMP.
Dopo aver introdotto i disegni, mostrano anche come analizzare i dati generati usando questi disegni. Ciò include fornire le stime dei coefficienti con i loro errori standard di accompagnamento. Questa parte della carta non usa la formulazione della matrice per trovare le stime dei minimi quadrati e i loro errori standard. Il caso a quattro fattori mostrato nella Figura 1 ha 15 coefficienti da stimare - l'intercetta, quattro effetti lineari, sei effetti di interazione a due fattori e quattro effetti quadratici. L'approccio moderno consiste nel creare la matrice del modello, X, con 15 colonne (una per ciascun coefficiente) e altrettante righe quante sono le esecuzioni nel progetto. La parte che i computer del 1960 non potevano facilmente fare era trovare l'inverso della matrice, X'X, che è necessario sia per calcolare le stime dei coefficienti che i loro errori standard. Per evitare questa complicazione computazionale, forniscono una tabella di costanti per ogni progetto e un approccio computazionale usando queste costanti e varie somme di prodotti di y e di x.
La Figura 2 mostra le stime dei parametri e i loro errori standard associati per la tabella in Figura 1. Tutti i coefficienti corrispondono a quelli della carta. Tuttavia, la carta non calcola correttamente l'errore standard degli effetti quadratici per l'esempio a quattro fattori. Quindi, la carta riporta questi errori standard come .66 quando il valore corretto è .63
I progetti Box-Behnken hanno superato la prova del tempo?
I progetti Box-Behnken sono ancora molto popolari. Consiglierei i disegni a tre e quattro fattori con alcuni avvertimenti.
È importante ricordare che questi disegni fanno non eseguire test agli estremi di ogni fattore. Quindi, le previsioni su questi punti sono in realtà estrapolazioni al di fuori della regione di sperimentazione. I progetti Box-Behnken sono più correttamente concepiti come disegni su una sfera piuttosto che su un cubo. Tuttavia, sospetto che molti professionisti utilizzino effettivamente questi progetti per prevedere mentre consentono a ciascun fattore di variare tra -1 e 1 nelle unità in scala. Cioè, stanno pensando a questa regione del design come cubica.
La Figura 3 mostra le impostazioni di un design I-ottimale per 4 fattori in 27 serie, lo stesso numero del design Box-Behnken nella Figura 1.
Si noti che quattro delle corse hanno tutti e quattro i fattori alle loro impostazioni estreme. Ci sono anche cinque piste centrali. Solo due delle corse (diverse dalle esecuzioni centrali) hanno più di un fattore sul valore 0 nelle unità in scala.
La Figura 4 mostra la frazione del grafico dello spazio di progettazione per il design Box-Behnken. La curva rossa mostra la varianza di previsione relativa per il progetto Box-Behnken e la curva blu mostra la varianza di previsione relativa per il progetto I-optimum.
La massima varianza di previsione per il design Box-Behnken è 2.3333σ 2 e ogni vertice dello spazio fattore ha questa varianza. Per la progettazione I-ottimale, la massima varianza di previsione è 0.832647σ 2 all'impostazione del fattore [1, 1, 1, 1] tra gli altri. La varianza media della predizione sul cubo per il design Box-Behnken è 0.4σ 2 . Per il design I-optimum, è 0,273σ 2 . È chiaro che se si vuole essere in grado di prevedere l'intero cubo, il design di Box-Behnken viene notevolmente sovraperformato dal design I-optimal.
D'altra parte, se ti limiti alle previsioni all'interno di una sfera con un raggio quadrato di 2, allora il design Box-Behnken è molto efficiente. Un'ultima nota è che, anche se si considera la regione di interesse per il design Box-Behnken come cubico, questo design è relativamente resistente al bias di predizione dovuto agli effetti attivi del terzo ordine.
Riferimenti
Box, GEP e Hunter, JS (1961) "Il 2 KP Disegni fattoriali frazionari parte I " Technometrics Vol 3, No. 3 311-351.
Scatola, GEP & Behnken, DW (1960). Alcuni nuovi progetti a tre livelli per lo studio di variabili quantitative. Technometrics 2, pp. 455-475.
