Im Rahmen des Internationales Jahr der Statistik Der JMP-Blog ehrt jeden Monat einflussreiche Statistiker. Professor George EP Box ist der Preisträger für Mai. Letzte Woche habe ich am ersten von geschrieben seine zweiteilige Arbeit mit J. Stuart Hunter über die Familie der regelmäßigen, zweistufigen fraktionalen faktoriellen Designs, die in veröffentlicht wurde Technometrie im Jahr 1961.
In diesem Beitrag konzentriere ich mich auf die berühmten Box-Behnken-Designs, die sehr beliebte Designs für quadratische Antwortflächen sind. Box-Behnken-Designs zeichnen sich dadurch aus, dass jeder Faktor auf drei Stufen beschränkt ist - gerade genug, um einen quadratischen Term in jeden Faktor einzufügen. Ein weiteres bemerkenswertes Merkmal dieser Konstruktionen ist, dass für jeden Lauf außer den Mittenläufen mindestens ein Faktor in skalierten Einheiten auf Null gesetzt ist. Dies bedeutet, dass es keine Läufe gibt, bei denen jeder Faktor einen seiner Extremwerte hat. Dies steht im krassen Gegensatz zu den regulären, zweistufigen fraktionalen faktoriellen Konstruktionen, bei denen jeder Lauf jeden Faktor bei -1 oder +1 in skalierten Einheiten hat.
Wie fängt das Papier an?
Die Arbeit beginnt mit dem Hinweis, dass die quantitativen Faktoren theoretisch unendlich groß sein könnten. Sie geben zwar zu, dass es keine „wesentliche Beschränkung“ auf wenige Ebenen gibt, sie argumentieren jedoch, dass die Bequemlichkeit nur wenige Ebenen erfordert.
Sie führen das Konzept eines Redundanzfaktor, ”Dies ist der Bruchteil, um den die Anzahl der Läufe in einem Entwurf die Anzahl der Parameter im Modell von Interesse übersteigt. Sie weisen darauf hin, dass die Anzahl der Parameter in einem Polynom von Grad, d, in k Faktoren (k + d)! / (K! D!) Ist. Im Allgemeinen hat ein vollfaktorielles Design wesentlich mehr Durchläufe als für die erforderliche Anzahl von Begriffen erforderlich. Sie weisen darauf hin, dass die Verwendung des dreistufigen vollfaktoriellen Entwurfs für fünf Faktoren für die Anpassung eines vollständigen quadratischen Modells 243 Durchgänge erfordert. Dieses Modell hat jedoch nur 21 unbekannte Parameter, die geschätzt werden können. Das vollfaktorielle Design hat also mehr als 11-mal so viele Läufe, als benötigt werden. Sie schließen daraus: „In Situationen, in denen die experimentelle Fehlervarianz nicht so groß ist, dass zur Erzielung der erforderlichen Genauigkeit eine große Anzahl von Beobachtungen erforderlich ist, sind Konstruktionen mit kleinen Redundanzfaktoren wünschenswert.“ Ich könnte mir nicht mehr einigen!
Die Möglichkeit, den Redundanzfaktor klein zu halten und gleichzeitig ein Design bereitzustellen, das die Anpassung eines vollständigen quadratischen Modells ermöglicht, ist die Motivation für die neue Designklasse.
Was passiert als nächstes?
Nachdem sie die Notwendigkeit für eine neue Familie von Designs mit drei Stufen für jeden Faktor herausgesucht haben, die in der Lage sind, ein volles quadratisches Modell anzupassen, wenden sie sich der cleveren Konstruktionsidee zu, die zu ihrer neuen Klasse von Designs führt. Ihre Idee war, zweistufige faktorielle Konstruktionen mit ausgewogenen unvollständigen Blockkonstruktionen "auf besondere Weise" zu kombinieren.
Ein Box-Behnken-Design hat Gruppen von Läufen, bei denen sich für jeden Lauf in der Gruppe nur eine bestimmte Anzahl von Faktoren ändert. Für diese Gruppe von Durchläufen werden alle anderen Faktoren in skalierten Einheiten auf Null gesetzt. Die Identität der Faktoren, die in jeder Gruppe von Läufen variieren, ändert sich von Gruppe zu Gruppe. In der ersten Gruppe von Läufen könnten beispielsweise x1 und x2 variiert werden, und in der nächsten Gruppe von Läufen könnten x3 und x4 die variablen Faktoren sein.
Das vollständige Muster dieser Änderungen wird durch ein ausgewogenes unvollständiges Blockdesign beschrieben. Diese Konstruktionen haben die Eigenschaft, dass jede Behandlung dieselbe Anzahl von Malen und jede Behandlung in einem Block mit jeder anderen Behandlung dieselbe Anzahl von Malen auftritt. Im Box-Behnken-Design sind die „Behandlungen“ die unterschiedlichen Faktoren in einer Gruppe. Die Blöcke geben an, wie viele Faktoren in einer Gruppe variieren dürfen.
Kannst du ein Beispiel zeigen?
Abbildung 1 zeigt ein Box-Behnken-Design für vier Faktoren, die in ihrem Artikel als Tabelle 6 aufgeführt sind. Die erste Spalte ist die Block-Spalte, die zeigt, wie der Box-Behnken-Entwurf in drei orthogonale Blöcke blockiert wird. Jeder Block enthält zwei Gruppen von vier Läufen plus einem Zentrallauf.
Beachten Sie, dass in der ersten Gruppe x1 und x2 variieren. In der zweiten Gruppe variieren x3 und x4. In der dritten Gruppe (zweiter Block) variieren x1 und x4. In der vierten Gruppe variieren x2 und x3. In der fünften Gruppe variieren x2 und x4 und in der letzten Gruppe variieren x1 und x3. Jeder Faktor variiert in drei Gruppen und jeder Faktor variiert einmal in Kombination mit jedem anderen Faktor. Dieses Muster der unterschiedlichen Faktoren entspricht einem ausgeglichenen unvollständigen Blockplan mit vier Behandlungen (den Faktoridentitäten) und sechs Blöcken (den Gruppen von Läufen), wobei zwei Läufe pro Block vorhanden sind. Die zwei "Läufe" sind die zwei Faktoren, die in den Gruppen variieren.
Die Gruppen von Läufen sind eine 2x2 volle Fakultät in den zwei Faktoren, die variieren.
Wie läuft der Rest der Zeitung ab?
Nach der Einführung der Grundidee zeigen sie, wie diese Entwürfe orthogonal blockiert werden und wie Zentralläufe hinzugefügt werden, um die Vorhersagevarianz in der Mitte des Entwurfsbereichs zu reduzieren. Sie geben Beispiele für ihre Designfamilie für 3-7, 9-12 und 16 Faktoren. Die Designs für mehr als sieben Faktoren erfordern wesentlich mehr als 100 Läufe und werden in den Response Surface-Designoptionen in JMP nicht als Optionen angezeigt.
Nach der Einführung der Designs zeigen sie auch, wie Daten analysiert werden, die mit diesen Designs generiert wurden. Dazu gehört, die Schätzungen der Koeffizienten mit den zugehörigen Standardfehlern zu versehen. In diesem Teil des Papiers wird die Matrixformulierung nicht zur Ermittlung der Schätzungen der kleinsten Quadrate und ihrer Standardfehler verwendet. Der in Abbildung 1 dargestellte Vier-Faktoren-Fall weist 15 zu schätzende Koeffizienten auf - den Achsenabschnitt, vier lineare Effekte, sechs Zwei-Faktor-Wechselwirkungseffekte und vier quadratische Effekte. Der moderne Ansatz besteht darin, die Modellmatrix X mit 15 Spalten (eine für jeden Koeffizienten) und so vielen Zeilen zu erstellen, wie es Läufe im Entwurf gibt. Der Teil, den Computer aus dem Jahr 1960 nicht ohne weiteres tun konnten, bestand darin, das Inverse der Matrix X'X zu finden, das sowohl für die Berechnung der Koeffizientenschätzungen als auch für deren Standardfehler erforderlich ist. Um diese Berechnungskomplikation zu vermeiden, stellen sie eine Tabelle mit Konstanten für jedes Design und einen rechnerischen Ansatz bereit, der diese Konstanten und verschiedene Summen von Produkten der y- und x-Werte verwendet.
Abbildung 2 zeigt die Parameterschätzungen und die zugehörigen Standardfehler für die Tabelle in Abbildung 1. Alle Koeffizienten stimmen mit denen im Papier überein. Der Artikel berechnet jedoch den Standardfehler der quadratischen Effekte für das Vier-Faktoren-Beispiel nicht korrekt. Das Papier meldet diese Standardfehler als 0,66, wenn der korrekte Wert 0,63 ist
Haben Box-Behnken-Entwürfe den Test der Zeit bestanden?
Box-Behnken-Designs sind immer noch sehr beliebt. Ich würde die Drei- und Vier-Faktor-Ausführungen mit einigen Vorbehalten empfehlen.
Es ist wichtig zu wissen, dass diese Designs dies tun nicht Tests an den Extremen eines jeden Faktors durchführen. Vorhersagen an diesen Punkten sind also Extrapolationen außerhalb des experimentellen Bereichs. Box-Behnken-Entwürfe werden eher als Entwürfe auf einer Kugel als als Entwürfe auf einem Würfel gedacht. Ich vermute jedoch, dass viele Praktizierende diese Konstruktionen tatsächlich verwenden, um vorherzusagen, wobei jeder Faktor in skalierten Einheiten zwischen -1 und 1 variieren kann. Das heißt, sie denken an diese Designregion als kubisch.
Abbildung 3 zeigt die Einstellungen eines I-optimalen Designs für 4 Faktoren in 27 Durchläufen - dieselbe Anzahl wie im Box-Behnken-Design in Abbildung 1.
Beachten Sie, dass vier der Läufe alle vier Faktoren in ihren extremen Einstellungen haben. Es gibt auch fünf Mittelläufe. Nur zwei der Läufe (außer den Mittenläufen) haben mehr als einen Faktor beim 0-Wert in skalierten Einheiten.
Abbildung 4 zeigt den Anteil des Design Space Plot für das Box-Behnken-Design. Die rote Kurve zeigt die relative Vorhersagevarianz für das Box-Behnken-Design, und die blaue Kurve zeigt die relative Vorhersagevarianz für das I-optimale Design.
Die maximale Vorhersagevarianz für das Box-Behnken-Design beträgt 2.3333σ 2 und jeder Scheitelpunkt des Faktorraums hat diese Varianz. Für das I-optimale Design beträgt die maximale Vorhersagevarianz 0,832647σ 2 bei der Faktoreinstellung [1, 1, 1, 1] ua. Die durchschnittliche Varianz der Vorhersage über den Würfel für das Box-Behnken-Design beträgt 0,4 σ 2 . Für das I-optimale Design ist es 0,273 σ 2 . Es ist ziemlich klar, dass das Box-Behnken-Design durch das I-optimale Design erheblich übertroffen wird, wenn Sie die Vorhersage für den gesamten Cube durchführen möchten.
Wenn Sie sich dagegen auf Vorhersagen in einer Kugel mit einem quadratischen Radius von 2 beschränken, ist das Box-Behnken-Design sehr effizient. Eine letzte Bemerkung ist, dass, selbst wenn Sie die Region von Interesse für das Box-Behnken-Design als kubisch betrachten, dieses Design gegenüber Vorhersagen durch aktive Effekte der dritten Ordnung relativ resistent ist.
Verweise
Box, GEP und Hunter, JS (1961) "The 2 kp Fraktionierte faktorielle Entwürfe Teil I " Technometrie Band 3, Nr. 3 311-351.
Box, GEP & Behnken, DW (1960). Einige neue Drei-Level-Designs zur Untersuchung quantitativer Variablen. Technometrie 2, S. 455-475.
