En tant que membre de Année internationale de la statistique , le blog JMP honore chaque mois des statisticiens influents. Le professeur George EP Box est le lauréat du mois de mai. La semaine dernière, j’ai écrit sur le premier son papier en deux parties avec J. Stuart Hunter sur la famille des plans factoriels fractionnaires réguliers à deux niveaux publiée dans Technométrie en 1961.
Dans cet article, je me concentre sur les fameux modèles Box-Behnken, qui sont très populaires pour l’adaptation de surfaces à réponse quadratique. Les conceptions Box-Behnken sont remarquables en ce que chaque facteur est limité à trois niveaux - juste assez pour permettre l’adaptation d’un terme quadratique à chaque facteur. Une autre caractéristique notable de ces conceptions est que chaque exécution autre que celle centrale comporte au moins un facteur défini à zéro en unités mises à l'échelle. Cela signifie qu’il n’ya pas d’exécution où chaque facteur est à une de ses valeurs extrêmes. Cela contraste vivement avec les conceptions factorielles fractionnaires à deux niveaux habituelles, où chaque analyse a tous les facteurs à -1 ou +1 en unités mises à l'échelle.
Comment commence le papier?
Le document commence par souligner que des facteurs quantitatifs pourraient être définis sur un nombre théoriquement infini. Bien qu'ils admettent qu'il n'y a pas de «besoin essentiel de limiter» à quelques niveaux, ils soutiennent que la commodité nécessite l'utilisation de quelques niveaux seulement.
Ils introduisent ensuite le concept de « facteur de redondance, ”Qui correspond à la fraction par laquelle le nombre d'analyses dans une conception dépasse le nombre de paramètres dans le modèle considéré. Ils soulignent que le nombre de paramètres dans un polynôme de degré, d, dans k facteurs est (k + d)! / (K! D!). En règle générale, une conception factorielle complète comporte un nombre d'essais substantiellement supérieur au nombre nécessaire pour s'adapter au nombre de termes requis. Ils soulignent que l’utilisation de la conception factorielle complète à trois niveaux pour cinq facteurs permettant d’ajuster un modèle quadratique complet nécessite 243 analyses. Mais ce modèle n'a que 21 paramètres inconnus à estimer. Ainsi, la conception factorielle complète compte plus de 11 fois le nombre de cycles nécessaires. Ils concluent: «Dans les cas où la variance d'erreur expérimentale n'est pas assez grande pour nécessiter un grand nombre d'observations pour obtenir la précision nécessaire, des conceptions ayant de faibles facteurs de redondance sont souhaitables.
La possibilité de conserver un facteur de redondance réduit tout en offrant une conception permettant l’adaptation d’un modèle quadratique complet constitue la motivation pour leur nouvelle classe de conceptions.
Qu'est-ce qui se passe ensuite?
Après avoir motivé le besoin d'une nouvelle famille de conceptions comportant trois niveaux pour chaque facteur et capables de s'adapter à un modèle quadratique complet, ils se tournent vers la conception de construction intelligente qui aboutit à leur nouvelle classe de conceptions. Leur idée était de combiner des conceptions factorielles à deux niveaux avec des conceptions de blocs incomplets équilibrés "d'une manière particulière".
Un modèle Box-Behnken comporte des groupes d’analyses où, pour chaque exécution du groupe, seul un certain nombre de facteurs change. Pour ce groupe d'essais, tous les autres facteurs sont mis à zéro en unités mises à l'échelle. L'identité des facteurs qui varient dans chaque groupe d'exécutions change d'un groupe à l'autre. Par exemple, dans le premier groupe d'essais, x1 et x2 peuvent être modifiés, et dans le groupe d'essais suivant, x3 et x4 peuvent être les facteurs variables.
La structure complète de ces modifications est décrite par une conception de bloc incomplète équilibrée. Ces conceptions ont la propriété que chaque traitement a lieu le même nombre de fois et que chaque traitement a lieu dans un bloc avec tous les autres traitements le même nombre de fois. Dans la conception Box-Behnken, les «traitements» sont les facteurs variables d'un groupe. Les blocs correspondent au nombre de facteurs pouvant varier dans un groupe.
Pouvez-vous donner un exemple?
La figure 1 illustre un modèle Box-Behnken pour quatre facteurs qui apparaît dans le tableau 6. La première colonne est la colonne Block, qui montre comment bloquer le design Box-Behnken en trois blocs orthogonaux. Chaque bloc contient deux groupes de quatre pistes plus une piste centrale.
Notez que dans le premier groupe, x1 et x2 varient. Dans le deuxième groupe, x3 et x4 varient. Dans le troisième groupe (deuxième bloc), x1 et x4 varient. Dans le quatrième groupe, x2 et x3 varient. Dans le cinquième groupe, x2 et x4 varient, et dans le dernier groupe, x1 et x3 varient. Chaque facteur varie en trois groupes et chaque facteur varie une fois en combinaison avec tous les autres facteurs. Ce modèle de facteurs variés correspond à un plan de blocs incomplet équilibré avec quatre traitements (les identités de facteurs) et six blocs (les groupes d'essais), avec deux essais par bloc. Les deux «pistes» sont les deux facteurs qui varient dans les groupes.
Les groupes de tests sont une factorielle complète 2x2 dans les deux facteurs qui varient.
Comment se passe le reste du papier?
Après avoir introduit l'idée de base, ils montrent comment bloquer ces conceptions orthogonalement et comment ajouter des exécutions centrales pour réduire la variance de prédiction au centre de la région de conception. Ils donnent des exemples de leur famille de conceptions pour 3 à 7, 9 à 12 et 16 facteurs. Les conceptions de plus de sept facteurs nécessitent beaucoup plus de 100 exécutions et n'apparaissent pas en tant qu'options dans les options de conception de Surface de réponse dans JMP.
Après avoir présenté les conceptions, ils montrent également comment analyser les données générées à l'aide de ces conceptions. Cela comprend la fourniture des estimations des coefficients avec les erreurs-types les accompagnant. Cette partie du document n'utilise pas la formulation matricielle pour rechercher les estimations des moindres carrés et leurs erreurs standard. Le cas à quatre facteurs illustré à la figure 1 comporte 15 coefficients à estimer: l'intercept, quatre effets linéaires, six effets d'interaction à deux facteurs et quatre effets quadratiques. L'approche moderne consiste à créer la matrice de modèle, X, comportant 15 colonnes (une pour chaque coefficient) et autant de lignes qu'il y a de passes dans la conception. La partie que les ordinateurs de 1960 ne pouvaient pas facilement faire était de trouver l'inverse de la matrice, X'X, qui est nécessaire à la fois pour calculer les estimations de coefficients et leurs erreurs standard. Pour éviter cette complication de calcul, ils fournissent un tableau de constantes pour chaque conception et une approche de calcul utilisant ces constantes et diverses sommes de produits des y et des x.
La figure 2 présente les estimations des paramètres et les erreurs types associées pour le tableau de la figure 1. Tous les coefficients correspondent à ceux du document. Toutefois, le document ne calcule pas correctement l'erreur type des effets quadratiques pour l'exemple à quatre facteurs. Ainsi, l’article signale ces erreurs standard sous la forme 0,66 lorsque la valeur correcte est 0,63.
Les conceptions Box-Behnken ont-elles résisté à l'épreuve du temps?
Les designs Box-Behnken sont toujours très populaires. Je recommanderais les conceptions à trois et quatre facteurs avec quelques mises en garde.
Il est important de se rappeler que ces dessins ne ne pas exécuter des tests aux extrêmes de chaque facteur. Ainsi, les prévisions à ces points sont en fait des extrapolations en dehors de la région d'expérimentation. Les conceptions Box-Behnken sont plutôt considérées comme des dessins sur une sphère plutôt que des dessins sur un cube. Cependant, je soupçonne que de nombreux praticiens utilisent réellement ces conceptions pour prévoir tout en permettant à chaque facteur de varier entre -1 et 1 en unités dimensionnées. C'est-à-dire qu'ils pensent à cette région de conception comme étant cubique.
La figure 3 montre les paramètres d'une conception I-optimale pour 4 facteurs sur 27 analyses - le même nombre que dans la conception Box-Behnken de la figure 1.
Notez que quatre des exécutions ont les quatre facteurs à leurs réglages extrêmes. Il y a aussi cinq pistes centrales. Seules deux des exécutions (autres que les exécutions centrales) ont plus d'un facteur à la valeur 0 en unités mises à l'échelle.
La figure 4 montre la fraction du tracé de l'espace de conception pour la conception Box-Behnken. La courbe rouge montre la variance de prédiction relative pour le plan de Box-Behnken, et la courbe bleue montre la variance de prédiction relative pour le plan I-optimal.
La variance de prédiction maximale pour la conception Box-Behnken est de 2,3333σ 2 et chaque sommet de l'espace de facteurs a cette variance. Pour la conception I-optimale, la variance de prédiction maximale est 0.832647σ 2 au réglage du facteur [1, 1, 1, 1] entre autres. La variance moyenne de la prédiction sur le cube pour la conception Box-Behnken est de 0.4σ 2 . Pour la conception I-optimale, la valeur est 0.273σ 2 . Il est assez clair que si vous voulez pouvoir prédire sur tout le cube, le design Box-Behnken est considérablement surperformé par le design I-optimal.
D'autre part, si vous vous limitez aux prédictions à l'intérieur d'une sphère de rayon carré 2, alors le design Box-Behnken est très efficace. Une dernière remarque est que même si vous considérez que la région d’intérêt pour le design Box-Behnken est cubique, ce design est relativement résistant aux biais de prédiction dus aux effets de troisième ordre actifs.
Références
Box, GEP et Hunter, JS (1961) "Le 2 kp Plans factoriels fractionnaires, partie I " Technométrie Vol 3, N ° 3 311-351.
Box, GEP & Behnken, DW (1960). Quelques nouveaux modèles à trois niveaux pour l’étude des variables quantitatives. Technométrie 2, pages 455 à 475.
