作為一部分國際統計年 ，JMP博客每月都會向有影響力的統計人員表示敬意。George EP Box教授是五月的獲獎者。上週，我寫了第一篇文章他的兩篇論文與J. Stuart Hunter一起出版的常規兩級分數階乘設計族 Technometrics 在1961年。
在這篇文章中，我將重點介紹著名的Box-Behnken設計，這些設計是用於擬合二次響應曲面的非常流行的設計。Box-Behnken的設計值得注意的是，每個因素都限制在三個級別 - 足以允許在每個因子中擬合二次項。這些設計的另一個值得注意的特徵是，除了中心運行之外的每個運行在縮放單位中具有至少一個設置為零的因子。這意味著沒有運行，其中每個因子都處於其極值之一。這與常規的兩級分數階乘設計形成鮮明對比，其中每次運行的每個因子在縮放單位中均為-1或+1。
論文是如何開始的？
本文首先指出，可以將定量因子設置為理論上無窮大的數值。儘管他們承認沒有“基本需要限制”到一些水平，但他們認為便利性只需要使用幾個級別。
他們繼續介紹“概念” 冗餘因子， “這是設計中的運行次數超過感興趣的模型中的參數數量的分數。他們指出，k因子中度數d的多項式中的參數個數是（k + d）！/（k！d！）。通常，全因子設計具有比滿足所需數量的術語所必需的更多的運行。他們指出，使用三級全因子設計來擬合完整二次模型的五個因子需要243次運行。但這個模型只有21個未知參數可供估算。因此，全因子設計的運行次數是所需運行次數的11倍以上。他們得出結論：“在實驗誤差方差不大到需要大量觀測來獲得必要精度的情況下，需要具有小冗餘因子的設計。”我完全同意！
在提供允許擬合完整二次模型的設計的同時保持冗餘因子較小的能力為其新類設計提供了動力。
接下來發生什麼？
由於需要為每個因素設計三個級別並且能夠擬合完整二次模型的新系列設計，他們轉向巧妙的設計構造理念，從而產生新的設計類別。他們的想法是將“兩級因子設計”與“以特定方式”平衡的不完整塊設計相結合。
Box-Behnken設計具有一組運行，其中對於組中的每次運行，僅一定數量的因素改變。對於這組運行，所有其他因子都以縮放單位設置為零。每組運行中不同因素的身份從一組變為另一組。例如，在第一組運行中，x1和x2可能會發生變化，而在下一組運行中，x3和x4可能是變量因子。
這些變化的完整模式由平衡的不完整區塊設計描述。這些設計具有以下特性：每次處理都發生相同的次數，並且每次處理都在一個區塊中進行，每隔一次處理的次數相同。在Box-Behnken設計中，“治療”是一組中的變化因素。這些塊是允許在一組中改變的因素。
你能舉個例子嗎？
圖1顯示了Box-Behnken設計的四個因子，如表6所示。第一列是Block列，它顯示瞭如何將Box-Behnken設計阻塞為三個正交塊。每個塊包含兩組，每組四次運行加中心運行。
注意，在第一組中，x1和x2不同。在第二組中，x3和x4不同。在第三組（第二組）中，x1和x4不同。在第四組中，x2和x3不同。在第五組中，x2和x4變化，並且在最後一組中，x1和x3變化。每個因素在三組中變化，並且每個因子與每個其他因子組合變化一次。這種不同因素的模式匹配平衡的不完整區塊計劃，其中包括四個處理（因子標識）和六個區塊（運行組），其中每個區塊有兩個運行。兩個“運行”是兩個因素在組中變化。
在兩個變化的因子中，運行組是2x2全因子。
本文的其餘部分如何進行？
在介紹了基本思想之後，他們展示瞭如何正交地阻止這些設計，以及如何添加中心運行以減少設計區域中心的預測方差。他們給出了他們的設計系列的例子，包括3-7,9-12和16個因素。超過七個因子的設計需要大於100次運行，並且在JMP的響應曲面設計選項中不作為選項出現。
在介紹設計之後，他們還展示瞭如何分析使用這些設計生成的數據。這包括提供係數的估計值及其伴隨的標準誤差。本文的這一部分不使用矩陣公式來找出最小二乘估計值及其標準誤差。圖1所示的四因子情形有15個估計係數 - 截距，四個線性效應，六個雙因素相互作用效應和四個二次效應。現代方法是創建模型矩陣X，其具有15列（每個係數一列）以及與設計中的運行一樣多的行。1960年的計算機不能輕易做到的部分是找到矩陣的逆矩陣X'X，它是計算係數估計值和標準誤差所必需的。為了避免這種計算複雜性，它們提供了每個設計的常量表和使用這些常數和y和x的各種乘積的計算方法。
圖2顯示了圖1中表格的參數估計值及其相關的標準誤差。所有係數都與論文中的係數相匹配。但是，本文沒有正確計算四因子示例的二次效應的標準誤差。因此，當正確值為.63時，本文將這些標準誤差報告為.66
Box-Behnken的設計經得起時間的考驗嗎？
Box-Behnken設計仍然非常受歡迎。我會推薦三因素和四因素設計，但需要注意幾點。
重要的是要記住這些設計不在每個因素的極端運行測試。因此，這些點的預測實際上是在實驗區域之外的推斷。Box-Behnken設計更適合被認為是球體上的設計，而不是立方體上的設計。但是，我懷疑許多從業者實際上使用這些設計進行預測，同時允許每個因子在縮放單位中在-1和1之間變化。也就是說，他們認為這個設計區域是立方體。
圖3顯示了27次運行中4個因子的I優化設計的設置 - 與圖1中的Box-Behnken設計中的數量相同。
請注意，其中四個運行在極端設置下具有所有四個因子。還有五個中心跑。只有兩個運行（中心運行除外）在縮放單位的0值處有多個因子。
圖4顯示了Box-Behnken設計的設計空間圖的分數。紅色曲線顯示Box-Behnken設計的相對預測方差，藍色曲線顯示I-優化設計的相對預測方差。
Box-Behnken設計的最大預測方差為2.3333σ 2 因子空間的每個頂點都有這種方差。對於I-最優設計，最大預測方差為0.832647σ 2 在因子設置[1,1,1,1]等。Box-Behnken設計的立方體預測平均方差為0.4σ 2 。對於I優化設計，它是0.273σ 2 。很明顯，如果你想能夠預測整個立方體，Box-Behnken的設計正在通過I-optimal設計大大超越。
另一方面，如果您將自己局限於半徑為2的球體內的預測，那麼Box-Behnken設計非常有效。最後要注意的是，即使您認為Box-Behnken設計的感興趣區域是立方體，該設計也會因為有效的三階效應而對預測偏差產生相對抵抗。
參考
Box，GEP和Hunter，JS（1961）“The 2 KP 分數因子設計第一部分“ Technometrics 第3卷，第3期，311-351。
Box，GEP ＆Behnken，DW （1960年）。一些新的三級設計用於定量變量的研究。 Technometrics 2，pp.455-475。
慶祝統計學家：非線性模型的設計實驗中寫道：
[...] Box，作為慶祝國際統計年的一部分。上週，我寫了關於Box-Behnken設計的擬合響應曲面模型。在這篇文章中，我想告訴你Box在[...]寫的文章。
