Peng Liu, SAS JMP 수석 연구 통계 개발자
본 논문에서는 JMP 12에 추가된 4가지 기능을 소개합니다. 첫 번째는 Life Distribution 플랫폼의 혼합물 분포 모델링입니다. 혼합물의 유형은 유한한 혼합물 분포이거나 잠재적인 경쟁 위험 혼합물 분포일 수 있습니다. 혼합 분포 모델링에서는 임의 개수의 임의 유형의 분포 구성요소를 허용합니다. 두 번째는 독립형 파괴 열화 모델링 플랫폼입니다. 이 플랫폼은 분석을 수행하기 위한 친숙한 사용자 인터페이스를 제공합니다. 세 번째는 신뢰성 예측 플랫폼의 여러 그룹에 서로 다른 비용을 할당하는 것입니다. 이를 통해 사용자는 비동질적인 리소스로부터 금전적 불확실성을 집계할 수 있습니다. 네 번째는 신뢰성 블록 다이어그램 플랫폼의 새로운 구성 요소 중요도 기준입니다. 새로운 기준은 시스템 구성 요소의 구조적 중요성과 특정 시점에 해당 구성 요소의 오류 위험을 통합합니다.
생명유통 플랫폼의 혼합물 모델링
이번 릴리스에서는 두 가지 유형의 혼합 모델을 제공합니다. 첫 번째는 유한 혼합 모델로 알려져 있습니다. 그 이름은 문헌에서 일반적으로 알려져 있습니다. 두 번째는 경쟁 위험 혼합 모델이라고 합니다. 우리가 아는 바로는 모델에 아직 공통 이름이 없습니다.
유한 혼합 모델은 다음과 같은 형태로 누적 분포 함수를 규정합니다.
여기서 k는 알려진 상수, w 나 은 가중치이고 합은 1, F입니다. 나 은 개별 누적 분포 함수입니다. F라면 나 는 정규 분포이고, F는 유한 가우스 분포로 알려져 있습니다. 유한 가우스 분포에 대한 연구는 문헌에서 여전히 활발하게 진행되고 있습니다. 다른 상황에 대한 연구가 등장하고 있습니다. 우리 소프트웨어에서는 Fi가 Normal 외에 지원되는 모든 배포판이 되도록 허용합니다. 그리고 Fi는 다른 유형일 수 있습니다. 예를 들어 Lognormal과 Weibull이 있습니다. 유한 혼합 모델은 다음과 같은 경우에 적합할 수 있습니다. 신뢰성 데이터 분석 관심 대상이 이질적인 하위 모집단 출신인 경우. 예를 들어, 제품의 수명 특성은 제조업체, 재질, 환경이 다르기 때문에 통제할 수 없는 요인에 의해 영향을 받습니다. 제품의 수명 특성은 사용 강도 및 사용 조건에 따라 사용 상황이 불분명할 때 영향을 받습니다.
경쟁 위험 혼합 모델은 잠재 실패 모드 모델이라고도 합니다. 일반적으로 경쟁 위험을 언급할 때 실패 원인이 여러 가능성 중 하나로 인해 발생하는 주제를 논의합니다. 그리고 가능한 원인은 서로 경쟁합니다. 원인이 가장 먼저 발생하는 것이 개체의 고장 원인과 고장 시간을 결정합니다. 객체는 일반적으로 계열 시스템으로 설명되며, 각 오류 원인은 계열 그래프의 노드로 표시됩니다. 그래프의 노드가 끊어지면 그래프의 연결이 끊어지며 이는 시스템 오류를 나타냅니다. 모든 실패에 대해 실패 원인이 알려지면 데이터는 일반적으로 여러 버전의 JMP에서 지원되는 경쟁 위험 모델에 의해 모델링됩니다. 한편, 경쟁 위험 혼합 모델은 실패 원인을 알 수 없는 경우에 적합합니다. 정보가 손실되거나 수집할 수 없는 경우에는 그러한 상황이 발생할 수 있습니다. 또 다른 그럴듯한 상황은 고장 원인을 즉시 식별할 수 없는 경우입니다. 예를 들어 잘못된 제조 공정으로 인한 마모 또는 피로로 인한 마모와 고장을 구별하는 것입니다. 경쟁 위험 혼합 모델은 다음과 같은 형태의 누적 분포 함수를 갖습니다.
여기서 k는 알려진 상수이고 Fi는 개별 누적 분포 함수입니다. 의 형태가 경쟁 위험 모델의 형태와 일치한다는 점에 주목하십시오. 데이터의 유형과 추론이 다릅니다.
데이터 형식
두 가지 혼합 모델에 사용되는 데이터 형식은 일반 생명 분포에서 사용된 것과 동일합니다. 즉, 데이터에는 시간 및 검열 방식을 포함하여 이벤트 발생 시간 정보만 포함되어 있습니다.
기능 사용
평소와 같이 데이터를 공급하고 Life Distribution을 시작합니다. 결과 보고서에는 각각 유한 혼합 및 경쟁 위험 혼합 모델에 대한 Fit Mixture 및 Fit Competing Risk Mixture라는 두 가지 새로운 메뉴 항목이 있습니다. 메뉴 항목 중 하나를 선택하면 플랫폼은 구성 사용자 인터페이스와 최종 결과를 표시하는 보고서로 구성된 개요 노드를 추가합니다. 두 모델 유형 모두 구성 사용자 인터페이스는 동일합니다. 그림 1을 참조하세요. 구성 사용자 인터페이스를 통해 재료와 각 재료의 수를 선택할 수 있습니다. 성분의 경우 혼합물 분포에서 단일 유형 분포에 국한되지 않습니다. 예를 들어 Lognormal과 Weibull을 혼합할 수 있습니다.
소프트웨어는 또한 소프트웨어가 솔루션을 찾기 위해 합리적인 노력을 기울일 수 있도록 성분이 어떻게 혼합되는지에 대한 몇 가지 가정을 알아야 합니다. 재료를 섞기 위해 세 가지 레시피를 가정합니다. 그림 2, 3, 4에 설명되어 있습니다. 그림 2에서는 두 개의 일반 성분이 함께 혼합되어 있지만 히스토그램은 단일 데이터 클러스터만 나타냅니다. 그림 3에서는 두 가지 일반 성분이 혼합되어 있으며 히스토그램은 두 가지 모드를 나타냅니다. 따라서 클러스터의 수는 성분의 수와 같습니다. 그림 4에서는 세 가지 노멀 성분이 혼합되어 있는데, 그 중 두 개는 잘 분리가 되지만, 세 번째 성분이 다른 두 개로 부풀어오르는 모습을 보여줍니다. 클러스터의 총 개수가 성분의 총 개수보다 적습니다. 성분이 어떻게 혼합되는지에 대한 가정을 기반으로 매개변수의 시작 값을 계산할 수 있으며, 이는 최종 추정치에 근접할 수 있습니다. 우리는 가정을 시작 가치 방법으로 분류하고 선택이나 신념으로 사용자의 손에 맡깁니다.
성분 유형, 성분 수량, 시작 값 계산 방법을 선택함으로써 플랫폼은 매개변수의 최대 우도 추정치를 찾으려고 시도합니다. 그리고 시작 값 방법이 단일 클러스터에서 분리 가능한 클러스터, 더 나아가 중첩 클러스터로 이동함에 따라 성분의 유형이 다르고 성분의 양이 증가함에 따라 계산 시간이 늘어납니다. 중첩 클러스터 시작 값 방법은 일반적으로 계산 시간이 오래 걸립니다. 결과 보고서에는 추정치, 주요 그래프가 나열됩니다. 그리고 이 보고서를 통해 다양한 혼합 모델을 비교하여 결정을 내릴 수도 있습니다.
독립형 파괴 열화 분석 플랫폼
Destructive Degradation 플랫폼은 Degradation 플랫폼에서 성장합니다. 목적은 기존 방법론의 사용을 용이하게 하는 것입니다. 분석은 다른 요인의 유무에 관계없이 위치 매개변수가 시간의 함수인 (로그) 위치 규모 분포를 사용하여 데이터를 모델링하는 것입니다.
예를 들어, 그림 5에는 JMP의 샘플 데이터에서 사용할 수 있는 접착제 결합 데이터가 표시되어 있습니다. 각 제곱 점은 특정 시간의 측정값입니다. 여기서 측정한 값은 각 테스트 장치의 두 표면 사이의 접착 결합을 끊는 강도입니다. 측정값은 검열된 값일 수 있습니다. 예를 들어, 그림 5에서 상단의 실선 삼각형 점은 오른쪽 관측 중단됩니다. 강도가 기록된 것보다 어느 정도 큰 값이라는 뜻입니다. 아마도 지정된 강도로는 결합을 끊을 수 없기 때문일 것입니다. 점차적으로 강도를 높인 후 마침내 결합이 끊어졌지만 동적 과정에서는 강도 측정이 정확하지 않습니다. 그래프의 색상은 서로 다른 온도를 나타냅니다. 각 테스트 장치는 일정한 온도의 환경에 배치되었습니다.
분석을 통해 답변해야 할 질문은 다음과 같습니다.
- 관심 있는 연구 주제는 시간이 지남에 따라 어떻게 저하됩니까?
- 주어진 시간에 주어진 임계값을 초과하는 성능 저하 측정 확률은 얼마입니까?
- 특정 단위의 성능 저하 측정이 주어진 임계값을 초과하는 시간은 언제입니까?
모델의 그럴듯한 용도는 성능이 저하된 장치를 교체할 시기를 결정하는 것입니다.
데이터가 주어지면 플랫폼은 네 가지 선택 사항에 대한 옵션을 제공합니다. 첫 번째는 유통이다. 분석에서는 고정된 조건에서 주어진 시간에 성능 저하 측정값이 어떻게 분포되는지에 관심이 있습니다. 두 번째와 세 번째는 열화 측정값과 시간의 변환입니다. 데이터는 분석되기 전에 변환될 수 있습니다. 네 번째는 저하의 정의로, 선택한 분포의 위치 매개변수를 정의하는 함수입니다.
데이터 형식
플랫폼은 최소한 성능 저하 조치 및 조치가 취해진 관련 시간을 포함하는 데이터를 기대합니다. 저하 측정값은 검열될 수 있으며 검열 방식은 단위가 시간과 관련되지 않는다는 점을 제외하면 Life Distribution 플랫폼 및 Survival 플랫폼에서 정의된 것과 동일합니다. 플랫폼은 하나의 선택적 X 역할을 사용합니다. 이는 온도, 전압 또는 배치 표시일 수 있습니다. 일반적으로 우리가 더 관심을 갖는 것은 X가 포함된 데이터이며, 특히 X가 연속형인 경우 더욱 그렇습니다.
플랫폼 사용
플랫폼의 그래픽 사용자 인터페이스는 데이터와 현재 모델의 오버레이, 모델 구성 위젯 패널, 세부 모델 보고서를 수집하는 장소로 구성됩니다. 데이터 포인트와 현재 모델의 오버레이를 통해 모델이 얼마나 적절한지 신속하게 평가할 수 있습니다.
분포, 변환 및 경로 정의의 선택은 아마도 도메인 지식에 따라 달라질 수 있습니다. 워크플로는 표시된 순서대로 진행될 수 있습니다. 그러나 경험적으로 애초에 좋은 후보 모델이 하나도 없는 경우 역방향으로 작업하는 것이 실현 가능한 대안이 될 수 있습니다.
경로 정의 패널에는 위치 매개변수에 대해 지원되는 모든 기능 정의가 나열됩니다. 각 기능에는 표현 이미지 외에 최종적으로 장착된 기능을 묘사하는 썸네일 이미지가 있습니다. 피팅된 함수의 모양과 실제 데이터를 비교하면 어떤 경로 정의가 더 적합한지 더 잘 알 수 있습니다. 경로 정의를 선택한 후 변환 작업을 수행할 수 있습니다. 변환에는 9가지 조합이 있습니다. 마지막으로 분포를 변경할 수 있습니다. 그 중 8 개가 있습니다.
총 13개의 경로 정의가 있습니다. 처음 6개는 모두 선형 매개변수입니다. 그림 7을 참조하세요. 그리고 분포가 위치 척도군에 속하는 경우 적합 함수는 변환된 공간에서 직선입니다. 로그-위치-척도 분포를 선택하면 그래프의 실선이 곡선이 됩니다. 그래프에 그려진 실선의 점은 각 분포, 시간 및 기타 요인과 관련된 중앙값입니다. 음영 경계의 점은 하위 백분위수와 상위 백분위수입니다.
다음 네 개는 비슷한 표현을 가지고 있습니다. 그림 8을 참조하세요. 썸네일 이미지를 보면 세로 위치와 단조로움이 다르다는 것을 알 수 있습니다. 이는 Meeker and Escobar(1998)의 21장에 있는 일반 모델의 사전 구성된 버전입니다. 여기의 각 버전은 경로 정의가 축소판 이미지와 일치하도록 특정 매개변수가 제한되는 방식으로 구성됩니다. 그리고 네 개의 이미지를 비교하여 차이점을 쉽게 알 수 있습니다. 첫 번째는 0이 아닌 값에서 시작하여 점근선에 도달할 때까지 증가합니다. 두 번째 것은 0에서 시작하여 점근선에 도달할 때까지 증가합니다. 세 번째와 네 번째는 비슷하지만 증가하는 대신 감소합니다. 처음 6개의 선형 경로 정의와 비교할 때 이러한 4개의 축소판 이미지에는 추가 점선 곡선이 있습니다. 대시 곡선은 모델이 X 변수를 따라 추정될 수 있음을 나타냅니다. 예를 들어 X가 온도인 경우 이 네 가지 모델을 사용하여 데이터 세트에 없는 값인 온도 하에서 수량을 예측할 수 있습니다.
마지막 3개도 모양이 비슷해요. 축소판에서는 시간상 직선으로 나타납니다. 그러나 해당 경로 정의는 매개변수에서 선형이 아닙니다. 직선으로 보이는 이유는 기울기가 매개변수와 X 변수의 함수이기 때문입니다. 또한 모델을 X 변수를 따라 추정할 수 있습니다. 따라서 썸네일에 점선이 있는 것을 볼 수 있습니다.
모델을 구성하고 데이터 포인트의 오버레이와 피팅된 모델이 적절해 보이면 경로 정의 패널 바로 아래에 있는 보고서 생성 버튼을 클릭하여 모델을 저장해야 합니다. 그런 다음 플랫폼은 경로 정의의 공식 그림, 추정 보고서, 앞서 언급한 질문에 답변할 수 있는 세 가지 프로파일러를 포함하여 해당 모델에 대한 자세한 보고서를 생성합니다. 또한 모델 비교를 위해 모델 요약 정보가 모델 목록 패널에 추가됩니다. 여기서는 세 가지 프로파일러를 해석하는 방법을 이해하기 위해 접착 본드 데이터의 보고서를 살펴봅니다.
첫 번째 프로파일러는 Degradation Profiler입니다. 첫 번째 프레임은 두 번째 프레임에 지정된 온도 60을 기준으로 전체 분해 경로의 추정치를 보여줍니다. 분해 측정에 대한 분포의 중앙값과 95% 하한 및 상한 백분위수는 그래프에서 실선과 점선으로 표시됩니다. 그림 10에서 세로 축의 판독값은 8번째 지점에서 성능 저하 측정 분포의 중앙값과 95% 백분위수를 나타냅니다. 일 일주일, 일정한 60도 환경에서.
두 번째 프로파일러는 Crossing Probability Profiler입니다. 세 번째 프레임은 누적 밀도 함수(CDF)를 그립니다. 이는 주어진 시간과 주어진 조건 하에서 성능 저하 측정 분포의 추정을 나타냅니다. 그림 11에서는 기간이 8주, 조건이 60도이다. 세로축의 판독값은 측정값의 약 91%가 58.5 미만임을 나타냅니다. 그리고 구간은 해당 추정값에 대한 신뢰 구간입니다.
세 번째 프로파일러는 Crossing Time Profiler입니다. 프로파일러는 세 가지 곡선을 제공하지만 세로 축의 판독값은 주어진 조건에서 특정 비율의 측정값이 주어진 임계값에 속하는 시간의 추정 및 신뢰 구간으로만 해석됩니다. 그림 12에서 백분율은 50%, 온도 조건은 60도, 임계값은 약 58.5입니다.
신뢰성 예측 플랫폼의 그룹별 변동비
신뢰성 예측에서 그룹별 변동비는 그 이름 그대로 실패와 관련된 금전적 금액을 예측하는 데 유용합니다. 즉, 실패 유형에 따라 결과의 심각도가 다를 수 있으며, 심각도에 따라 비용이 달라질 수 있습니다. 금전적 예측 작업에서는 특정 유형의 실패로 인한 금액뿐만 아니라 모든 유형의 실패로 인한 총 금액도 고려합니다. 그리고 총액의 일부 수량은 개별 수량의 합계가 아닙니다. 다음 단락에서 가상의 예를 들어 보겠습니다.
아직 보증 기간이 남아 있는 두 가지 노트북 모델을 수리하는 데 드는 총 비용을 예측한다고 가정해 보겠습니다. 논의를 단순화하기 위해 모든 노트북이 1년 전에 판매되었으며 각 유형의 n1 및 n2에는 여전히 2년 보증이 적용된다고 가정합니다. 두 가지 유형의 평균 수리 비용이 다릅니다. 비용이 각각 m1과 m2라고 가정합니다. 내년에 반환되는 수량은 N1과 N2가 됩니다. 다음 해에 반환되는 양은 고정된 숫자가 아니기 때문에 확률 변수를 나타내기 위해 대문자를 사용합니다. N1과 N2의 기대값을 계산하는 것은 쉽습니다. 그리고 합의 기대값은 기대값의 합과 같습니다. 이는 쉽습니다. 그러나 이러한 확률변수의 변화와 확률변수의 합도 매우 중요합니다.
여러 확률 변수의 합의 변화를 계산할 때 일반적으로 덧셈 규칙은 작동하지 않습니다. 예를 들어, 여러 확률 변수의 합의 분산은 개별 확률 변수의 분산의 합과 같지 않습니다.
. 분산과 같은 양을 계산하기 위해 N1+N2의 분산이 닫힌 형태를 가지지 않는 경우 시뮬레이션 방법을 사용해야 하는 경우가 많습니다. 다양한 비용을 허용함으로써 Var(m1N1), Var(m2N2) 및 Var(m1N1+m2N2)와 같은 해당 수량의 확장된 버전을 계산합니다. 대부분의 계산은 여전히 시뮬레이션을 통해 이루어지므로 일반적으로 사용자가 자체 스크립트를 작성하지 않는 한 설정하기가 쉽지 않습니다.
기능 사용
기본적으로 플랫폼은 실패 수량을 예측하는 것이 분석 작업이라고 가정합니다. 작업을 비용 예측으로 전환하려면 "예측" 개요 노드 메뉴 아래의 "실패 비용 사용" 메뉴 항목을 선택해야 합니다. 그림 13의 첫 번째 스크린샷을 참조하세요. 확인 후 플랫폼은 모든 그룹의 비용 값을 요청합니다. 합리적인 값을 입력한 다음 확인 버튼을 클릭하여 확인해야 합니다. 메뉴 시스템은 변경이 가능하도록 새로운 메뉴 항목 “Set Failure Cost”를 추가합니다. 그림 13의 두 번째 스크린샷을 참조하세요.
비용을 적용한 후 그래프를 통해 각 그룹의 향후 생산, 자체 계약 기간 및 적절한 실패 분포를 구성할 수 있습니다. 결과에는 개별 그룹의 예상 비용과 총액이 포함됩니다. 간격 표시 옵션을 선택하면 예측의 하한 및 상한이 음영 영역으로 나타납니다.
신뢰성 블록 다이어그램에서 구성 요소 통합 중요성
CII(구성요소 통합 중요도)는 시스템에서 구성요소의 중요성을 평가하는 데 사용할 수 있는 새로운 기준입니다. 이전 릴리스에서 이미 가지고 있는 Birnbaum의 구성 요소 중요도(BCI)를 비교하면 CII를 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 일반 언어로 특정 구성요소 Ci의 BCI는 Ci의 실패로 인해 전체 시스템이 실패할 확률입니다. BCI를 기반으로 엔지니어는 일반적으로 더 큰 BCI 값과 관련된 구성 요소의 신뢰성을 높이는 것을 고려합니다.
CII는 우리 구현에서 확률이 아니며 위험률과 관련이 있습니다. 그것은 다양한 맥락에서 다양한 형태를 가지고 있습니다. Si et.의 원래 형태. 알. (2012)은 개별 위험 전이율을 갖는 다중 상태 시스템을 고려합니다. 신뢰성 블록 다이어그램에서는 실패와 생존이라는 두 가지 상태만 고려합니다. 그리고 우리의 위험 전이율은 연속적이며 이는 위험 함수로 표시됩니다. 공식에서 동등한 요소를 식별한 후 구성 요소 Ci의 CII 구현은 BCI와 구성 요소 Ci의 위험 함수를 곱하는 것입니다.
예
BCI와 CII의 차이점을 설명하기 위해 예를 사용합니다. 그림 14는 항공기의 블록 다이어그램 설계를 보여줍니다. 다이어그램이 단순화되었습니다. 전반적으로 이 다이어그램은 조종석, 한 블록에 4개의 엔진, 제어 시스템, 별도 블록에 2개의 날개를 포함하는 일련의 시스템입니다. 블록이 실패하면 항공기가 충돌합니다. 하위 다이어그램인 4개의 엔진은 기본적으로 병렬입니다. 우리는 각 날개에 두 개의 엔진을 구성하고 각 날개에 최소한 하나의 엔진이 작동하는 한 항공기는 엔진으로부터 충분한 스로틀을 얻을 수 있어야 한다고 생각합니다.
첫 번째 실패의 분포는 그림 15에 나와 있습니다. 그리고 우리는 0시부터 200시 사이의 시스템 성능에 관심이 있습니다.
BCI 오버레이를 보려면 설명서의 지침을 따르고 다이어그램과 관련된 "BCI 표시" 메뉴 항목을 확인해야 합니다. 그림 16은 0에서 200 사이의 시간 범위에 대한 이 다이어그램의 BCI 오버레이 그래프를 그립니다. 그래프에서는 엔진 3개, 날개 1개 등 중복된 요소가 숨겨집니다. 그래프에서 중요도가 높은 것부터 낮은 것 순으로 조종석, 제어 시스템, 날개, 엔진임을 알 수 있습니다. 제어 시스템과 날개의 중요성은 서로 가깝습니다.
CII 오버레이를 보려면 해당 메뉴 항목은 "Show Component Integrated Importance"이고 두 번째 메뉴 항목은 "Show BCI"입니다. 그림 17에는 이 다이어그램의 CII 오버레이 그래프가 그려져 있는데, 여기서 Wing의 중요성은 그래프 하단의 Engine에 가깝습니다. 그 이유는 각 구성요소의 위험 함수를 살펴볼 때까지 명확하지 않습니다. 그림 18을 참조하세요. 우리는 이 항공기에서 Wing의 고장률이 항상 가장 작은 것을 볼 수 있습니다.
CII는 시스템 신뢰성 엔지니어링에 대한 결정을 내리는 대안이 아닌 보충 자료로 제공됩니다. BCI와 함께 조건부 BCI를 제공하므로 CII에는 조건부 대응 항목이 없다는 것을 곧 알 수 있습니다. 먼저 다른 소프트웨어에는 존재하지 않는 조건부 BCI를 제공하는 이유를 살펴보겠습니다. 우리의 BCI는 업계에서 종종 시간 의존형 BCI라고 불리며, 모든 구성요소의 중요도 지수를 0부터 미래의 임의 시점까지 시간의 함수로 도출합니다. 그래프의 관점은 시스템이 전혀 사용되지 않은 시점 0입니다. 조건부 BCI는 시점이 0 이후 언제든지 될 수 있는 동적 전방 관점을 제공합니다. 조건부 BCI의 계산은 생존 시간을 추가 인수로 고려하여 단순히 신뢰도를 조건부 신뢰도로 대체하는 것입니다. 반면에 우리는 CII의 조건부 버전을 제공하지 않습니다. 한 가지 이유는 위험 함수의 개념에 이미 생존 시간이 포함되어 있기 때문입니다. CII를 계산할 때 생존 시간을 다른 부분에 도입하면 무슨 의미인지 이해가 되지 않습니다.
참고자료
Luis Escobar 및 William Q. Meeker, 가속 파괴 분해 테스트: 데이터, 모델 및 분석., 게시되지 않은 수동 스크립트.
Shubin Si, Hongyan Dui, Xibin Zhao, Shenggui Zhang 및 Shudong Sun, 2012, 시스템 성능 손실을 기반으로 한 구성 요소 상태의 통합 중요도 측정, 신뢰성에 대한 IEEE 트랜잭션, Vol. 61, 1호.
