Peng Liu, développeur statisticien de recherche principal JMP, SAS
Ce document présente quatre fonctionnalités qui ont été ajoutées à JMP 12. Le premier est la modélisation de la distribution mixte dans la plateforme Life Distribution. Le type de mélange peut être la distribution de mélange finie ou la distribution de mélange à risque latent concurrent. La modélisation de la distribution de mélange autorise un nombre arbitraire de types arbitraires de composants distributionnels. La seconde est une plateforme autonome de modélisation de la dégradation destructive. La plateforme fournit une interface utilisateur conviviale pour effectuer l'analyse. La troisième consiste à attribuer différents coûts à différents groupes dans la plateforme Reliability Forecast. Cela permet à l'utilisateur d'agréger les incertitudes monétaires provenant de ressources non homogènes. Le quatrième est un nouveau critère d’importance des composants dans la plateforme de diagrammes de fiabilité. Le nouveau critère intègre l'importance structurelle d'un composant dans le système et le risque de défaillance de ce composant à un instant donné.
Modélisation de mélanges dans la plateforme de distribution de vie
Nous proposons deux types de modèles de mélange dans cette version. Le premier est connu sous le nom de modèle de mélange fini. Le nom est communément connu dans la littérature. Le second est appelé modèle de mélange de risques concurrents. A notre connaissance, le modèle n’a pas encore de nom commun.
Le modèle de mélange fini prescrit une fonction de distribution cumulative sous la forme suivante :
où k est une constante connue, w je sont des poids et totalisent un, F je sont des fonctions de distribution cumulatives individuelles. Si F je sont des distributions normales, alors F est connu comme une distribution gaussienne finie. La recherche sur la distribution gaussienne finie reste active dans la littérature. Les recherches sur d’autres situations émergent. Dans notre logiciel, nous autorisons Fi à n'importe quelle distribution prise en charge, en plus de Normal. Et les Fi peuvent être de différents types, par exemple Lognormal et Weibull. Le modèle de mélange fini pourrait être approprié dans le analyse des données de fiabilité lorsque les sujets d’intérêt sont issus de sous-populations hétérogènes. Par exemple, les caractéristiques de durée de vie d'un produit sont affectées par des facteurs incontrôlables, dus aux différents fabricants, matériaux et environnements ; les caractéristiques de durée de vie d'un produit sont affectées par des situations d'utilisation peu claires, en raison des intensités et des conditions d'utilisation.
Le modèle de combinaison de risques concurrents est également appelé modèle des modes de défaillance latentes. Généralement, lorsque nous parlons de risques concurrents, nous discutons d’un sujet dont la cause de l’échec est due à une possibilité parmi plusieurs. Et les causes possibles s’affrontent. La première occurrence d'une cause détermine la cause de l'échec et l'heure de l'échec d'un objet. L'objet est généralement décrit comme un système en série, chaque cause de défaillance étant un nœud dans le graphe en série. La rupture d'un nœud du graphique rompt le lien du graphique, ce qui représente l'échec du système. Lorsque la cause de l'échec est connue pour chaque échec, les données sont généralement modélisées par le modèle de risque concurrent, pris en charge dans JMP pour de nombreuses versions. Parallèlement, le modèle de combinaison de risques concurrents est approprié lorsque les causes de défaillance sont inconnues. Cette situation est plausible si les informations sont perdues ou ne peuvent pas être collectées. Une autre situation plausible est celle où la cause de la défaillance ne peut pas être immédiatement identifiée, par exemple différencier une défaillance d'une usure due à un mauvais processus de fabrication ou à une usure due à la fatigue. Le modèle de combinaison de risques concurrents a une fonction de distribution cumulative de la forme suivante :
où k est une constante connue, les Fi sont des fonctions de distribution cumulatives individuelles. Notez que la forme de coïncide avec celle d'un modèle de risque concurrent. C'est le type de données et l'inférence qui sont différents.
Format des données
Le format de données à utiliser pour les deux modèles de mélange est identique à celui utilisé dans la distribution de vie régulière. Autrement dit, les données contiennent uniquement des informations sur le temps jusqu'à l'événement, y compris les schémas de temps et de censure.
Utiliser la fonctionnalité
Introduisez les données et lancez Life Distribution comme d'habitude. Le rapport résultant comporte deux nouveaux éléments de menu : Ajuster le mélange et Ajuster le mélange à risques concurrents, respectivement pour les modèles de mélange fini et de mélange à risques concurrents. En sélectionnant l'un des éléments de menu, la plate-forme ajoute un nœud de plan composé d'interfaces utilisateur de configuration et de rapports présentant les résultats finaux. Pour les deux types de modèles, les interfaces utilisateur de configuration sont identiques ; voir la figure 1. L'interface utilisateur de configuration permet de choisir les ingrédients et le nombre de chaque ingrédient. Pour les ingrédients, nous ne sommes pas limités à un seul type de distribution dans une distribution de mélange. Par exemple, on peut mélanger un Lognormal et un Weibull.
Le logiciel doit également connaître certaines hypothèses sur la manière dont les ingrédients sont mélangés, de sorte que le logiciel puisse déployer des efforts raisonnables pour trouver une solution. Nous supposons trois recettes pour mélanger les ingrédients. Ils sont illustrés dans les figures 2, 3 et 4. Dans la figure 2, deux ingrédients normaux sont mélangés, mais l'histogramme ne présente qu'un seul groupe de données. Sur la figure 3, deux ingrédients normaux sont mélangés et l'histogramme présente deux modes distincts. Par conséquent, le nombre de grappes est égal au nombre d’ingrédients. Sur la figure 4, trois ingrédients normaux sont mélangés, parmi lesquels deux sont bien séparables, mais le troisième ingrédient se gonfle dans les deux autres. De telle sorte que le nombre total de grappes soit inférieur au nombre total d'ingrédients. Sur la base des hypothèses sur la manière dont les ingrédients sont mélangés, nous pouvons calculer des valeurs de départ pour les paramètres, qui pourraient se rapprocher des estimations finales. Nous qualifions les présomptions de méthodes de valeur de départ et les remettons entre les mains des utilisateurs comme un choix ou une croyance.
En choisissant les types d'ingrédients, les quantités d'ingrédients et une méthode de calcul des valeurs de départ, la plateforme tentera de trouver les estimations du maximum de vraisemblance des paramètres. Et le temps de calcul augmente à mesure que les types d'ingrédients diffèrent, à mesure que les quantités d'ingrédients augmentent, à mesure que la méthode de la valeur de départ passe du cluster unique aux clusters séparables, puis aux clusters superposés. La méthode de valeur de départ Overlapping Clusters nécessite généralement un temps de calcul long. Le rapport résultant listera les estimations et les principaux graphiques. Et le rapport permet également de comparer différents modèles de mélange pour prendre une décision.
Plateforme autonome d'analyse de la dégradation destructive
La plateforme Degradation Destructive est issue de la plateforme Degradation. L’objectif est de faciliter l’utilisation des méthodologies existantes. L'analyse consiste à modéliser les données, en utilisant une distribution à l'échelle (log) de localisation, dont le paramètre de localisation est fonction du temps, avec ou sans d'autres facteurs.
Par exemple, la figure 5 représente les données de liaison adhésive, disponibles parmi les exemples de données dans JMP. Chaque point au carré est une lecture de mesure à un moment donné. La mesure ici est la force qui rompt le lien adhésif entre les deux surfaces dans chaque unité de test. La mesure peut être des valeurs censurées. Par exemple, sur la figure 5, les points supérieurs du triangle plein sont censurés à droite. Ils signifient que la force est d'une certaine valeur supérieure à celle qui a été enregistrée, probablement parce que la force désignée ne peut pas rompre le lien. Après avoir progressivement augmenté la résistance, la liaison s'est finalement rompue, mais la mesure de la résistance n'est pas précise dans le processus dynamique. Les couleurs du graphique indiquent différentes températures. Chaque unité de test a été placée dans un environnement à température constante.
Les questions auxquelles l’analyse doit répondre comprennent :
- Comment un sujet d’étude qui vous intéresse se dégrade-t-il avec le temps ?
- Quelle est la probabilité que la mesure de la dégradation franchisse un seuil donné à un instant donné ?
- Quel est le moment où la mesure de la dégradation d’une certaine fraction d’unités franchira un seuil donné ?
Une utilisation plausible du modèle consiste à déterminer le moment où il faudra remplacer les unités dégradées.
Compte tenu des données, la plateforme propose quatre options. Le premier est la répartition. L'analyse s'intéresse à la manière dont les mesures de dégradation sont réparties à un moment donné et dans des conditions fixes. La deuxième et la troisième sont des transformations des mesures de dégradation et du temps. Les données peuvent être transformées avant d'être analysées. Le quatrième est la définition de la dégradation, qui est une fonction qui définit le paramètre de localisation de la distribution choisie.
Format des données
La plateforme attend des données comprenant au moins les mesures de dégradation et les moments associés auxquels les mesures sont prises. Les mesures de dégradation peuvent être censurées, et les schémas de censure sont identiques à ceux définis dans la plateforme Life Distribution et la plateforme Survival, sauf que l'unité n'est pas liée au temps. La plateforme prend un rôle X facultatif. Cela peut être la température, la tension ou simplement un indicateur de lot. Habituellement, ce sont les données avec X qui nous intéressent davantage, surtout lorsque X est continu.
Utiliser la plateforme
L'interface utilisateur graphique de la plateforme se compose d'une superposition de données et du modèle actuel, d'un panneau de widgets de configuration du modèle et d'un emplacement de collecte de rapports de modèle détaillés. La superposition des points de données et du modèle actuel permet d'évaluer rapidement l'adéquation du modèle.
Le choix des distributions, des transformations et des définitions de chemin dépend probablement de la connaissance du domaine. Le flux de travail peut être dans cet ordre tel qu'affiché. Cependant, empiriquement, lorsqu’il n’existe pas de modèle candidat unique, l’élaboration à rebours pourrait être une alternative réalisable.
Le panneau Path Definition répertorie toutes les définitions de fonctions prises en charge pour le paramètre d'emplacement. Pour chaque fonction, outre son image d'expression, il existe une image miniature qui représente la fonction finale ajustée. En comparant la forme de la fonction ajustée et les données réelles, on peut avoir une meilleure idée de la définition de chemin la plus appropriée. Après avoir choisi la définition du chemin, on peut alors jouer avec les transformations. Il existe neuf combinaisons différentes de transformations. Enfin, on peut changer la répartition. Ils sont huit.
Il existe au total treize définitions de chemin. Les six premiers sont tous linéaires en termes de paramètres ; voir la figure 7. Et les fonctions ajustées sont des lignes droites dans l’espace transformé, si la distribution appartient à la famille des échelles de localisation. Si l'on choisit une distribution à l'échelle log-emplacement, les lignes pleines du graphique seront courbes. Les points sur les lignes continues tracées dans le graphique sont des médianes associées à chaque distribution, temps et autres facteurs. Les points situés aux limites des nuances sont les percentiles inférieur et supérieur.
Les quatre suivants ont des expressions similaires ; voir la figure 8. En regardant les images miniatures, on peut remarquer qu'elles sont différentes en termes de positions verticales et de monotonie. Il s'agit d'une version préconfigurée du modèle général du chapitre 21 de Meeker et Escobar (1998). Chaque version ici est configurée de manière à ce que certains paramètres soient contraints, de sorte que les définitions de chemin correspondent à leurs images miniatures. Et il est facile de comparer quatre images pour faire ressortir leurs différences. La première part d’une valeur non nulle et augmente jusqu’à atteindre une asymptote. La seconde part de zéro et augmente, jusqu’à atteindre une asymptote. Les troisième et quatrième sont similaires, mais ils diminuent au lieu d’augmenter. Par rapport aux six premières définitions de chemin linéaire, ces quatre images miniatures comportent des courbes en pointillés supplémentaires. La courbe en tirets montre que le modèle peut être extrapolé le long de la variable X. Par exemple, si X est la température, ces quatre modèles peuvent être utilisés pour prédire des quantités sous une température dont la valeur ne figure pas dans l'ensemble de données.
Les trois derniers ont également des formes similaires. Elles apparaissent comme des lignes droites dans le temps sur les vignettes. Cependant, leurs définitions de chemin ne sont pas linéaires en termes de paramètres. La raison pour laquelle elles semblent être des lignes droites est que leurs pentes sont fonction uniquement des paramètres et de la variable X. Cela permet également d'extrapoler le modèle le long de la variable X. Par conséquent, nous pouvons voir qu’il y a des lignes pointillées dans les vignettes.
Après avoir configuré le modèle et que la superposition des points de données et du modèle ajusté semble appropriée, il faut enregistrer le modèle en cliquant sur le bouton Générer un rapport juste en dessous du panneau Définition du chemin. La plateforme génère ensuite un rapport détaillé de ce modèle, comprenant une image de formule de la définition du chemin, un rapport d'estimations et trois profileurs pouvant répondre à nos questions mentionnées précédemment. Les informations récapitulatives du modèle sont également ajoutées à un panneau Liste des modèles pour les comparaisons de modèles. Ici, nous examinons le rapport des données de liaison adhésive pour comprendre comment interpréter les trois profileurs.
Le premier profileur est le profileur de dégradation. Sa première image montre l'estimation de l'ensemble du chemin de dégradation, compte tenu de la température 60, spécifiée dans la deuxième image. La médiane et les percentiles inférieur et supérieur à 95 % de la distribution pour la mesure de la dégradation sont représentés par la courbe continue et les courbes pointillées dans le graphique. Dans la figure 10, les lectures sur l'axe vertical indiquent la médiane et les percentiles à 95 % de la distribution de la mesure de dégradation au 8 ème semaine, dans un environnement constant de 60 degrés.
Le deuxième profileur est le Crossing Probability Profiler. Sa troisième image dessine une fonction de densité cumulée (CDF). Cela représente l'estimation de la distribution des mesures de dégradation dans des conditions données, à un moment donné. Sur la figure 11, le temps est de 8 semaines, la condition est de 60 degrés. La lecture sur l'axe vertical indique qu'environ 91 % des mesures seront inférieures à 58,5. Et l'intervalle est l'intervalle de confiance pour cette estimation.
Le troisième profileur est le Crossing Time Profiler. Bien que le profileur présente trois courbes, nous interprétons uniquement la lecture sur l'axe vertical comme l'estimation et l'intervalle de confiance du temps pendant lequel un certain pourcentage de mesures, dans des conditions données, tomberont en dessous d'un seuil donné. Dans la figure 12, le pourcentage est de 50 %, la condition de température est de 60 degrés et le seuil est d'environ 58,5.
Coûts variables par groupe dans la plateforme de prévision de fiabilité
Les coûts variables par groupe dans Reliability Forecasting, de par leur nom, sont utiles pour prévoir le montant monétaire associé aux pannes. En d’autres termes, différents types de défaillances peuvent avoir des conséquences de différentes gravités, et différentes gravités coûtent différentes sommes d’argent. La tâche de prévision monétaire ne concerne pas seulement le montant dû à un type spécifique de défaillances, mais également le montant total de tous les types de défaillances. Et certaines quantités sur le montant total ne sont pas la somme de ces quantités sur un montant individuel. Nous faisons un exemple hypothétique dans le paragraphe suivant.
Supposons que nous prévoyions le coût total de réparation de deux modèles d’ordinateurs portables encore sous garantie. Pour simplifier la discussion, nous supposons que tous les ordinateurs portables ont été vendus il y a un an et qu'il y a toujours des n1 et n2 de chaque type qui sont toujours sous garantie de deux ans. Les coûts de réparation moyens des deux types sont différents. Supposons que les coûts soient respectivement m1 et m2. Les quantités restituées l’année prochaine seront N1 et N2. Nous utilisons des lettres majuscules pour représenter les variables aléatoires, car les quantités renvoyées l'année suivante ne seront pas des nombres fixes. Le calcul des valeurs attendues de N1 et N2 est facile. Et la valeur attendue de la somme est égale à la somme des valeurs attendues, ce qui est simple. Cependant, les variations de ces variables aléatoires et la somme de ces variables aléatoires sont également très importantes.
Lors du calcul de la variation de la somme de plusieurs variables aléatoires, la règle additive ne fonctionne généralement pas. Par exemple, la variance de la somme de plusieurs variables aléatoires n'est pas égale à la somme des variances de variables aléatoires individuelles, c'est-à-dire
. Afin de calculer une quantité telle que la variance, nous devons souvent utiliser des méthodes de simulation, si la variance de N1+N2 n'a pas de forme fermée. En autorisant différents coûts, nous calculons les versions mises à l'échelle de ces quantités, telles que Var(m1N1), Var(m2N2) et Var(m1N1+m2N2). La plupart des calculs se font encore par simulation, qui n'est normalement pas facile à configurer par les utilisateurs à moins qu'ils n'écrivent leurs propres scripts.
Utiliser la fonctionnalité
Par défaut, la plateforme suppose que la prévision des quantités de pannes est la tâche de l'analyse. Afin de passer à la tâche de prévision des coûts, il convient de cocher l'élément de menu « Utiliser le coût d'échec » dans le menu du nœud de plan « Prévision » ; voir la première capture d'écran de la figure 13. Après vérification, la plateforme demandera les valeurs des coûts de tous les groupes. Il faut saisir des valeurs raisonnables, puis cliquer sur le bouton Ok pour confirmer. Le système de menu ajoutera un nouvel élément de menu « Définir le coût d'échec » pour permettre d'apporter des modifications ; voir la deuxième capture d'écran de la figure 13.
Après avoir appliqué les coûts, le graphique permettra de configurer les futures productions pour chaque groupe, leurs propres durées de contrat et leurs propres distributions d'échecs appropriées. Les résultats comprendront les coûts prévus des groupes individuels et le total. Si l'option « Afficher l'intervalle » est cochée, les limites inférieure et supérieure de la prévision apparaîtront sous forme de zones ombrées.
Importance intégrée des composants dans le diagramme de fiabilité
L'importance intégrée des composants (CII) est un nouveau critère qui peut être utilisé pour évaluer l'importance d'un composant dans un système. Il est plus facile de comprendre CII en comparant ce que nous avions déjà dans la version précédente, à savoir l'importance des composants de Birnbaum (BCI). En langage clair, le BCI d'un composant particulier Ci est la probabilité de faire échouer l'ensemble du système en faisant échouer Ci. Sur la base du BCI, les ingénieurs envisagent généralement d'augmenter la fiabilité des composants associés à des valeurs BCI plus élevées.
Le CII n'est pas une probabilité dans notre implémentation, il est lié au taux de risque. Il prend différentes formes selon les contextes. La forme originale dans Si et. Al. (2012) considèrent un système à plusieurs États avec des taux de transition de risque discrets. Dans notre diagramme de fiabilité, nous ne considérons que deux états : l’échec et la survie. Et notre taux de transition des risques est continu, ce qui est représenté par la fonction de risque. Après avoir identifié les éléments équivalents dans leur formulation, notre implémentation du CII du composant Ci est une multiplication du BCI et de la fonction de hasard du composant Ci.
Un exemple
Nous utilisons un exemple pour illustrer la différence entre BCI et CII. La figure 14 représente une conception de schéma fonctionnel pour un aéronef. Le schéma a été simplifié. Dans l’ensemble, le schéma est un système en série comprenant un cockpit, quatre moteurs dans un bloc, un système de contrôle et deux ailes dans des blocs séparés. Si un bloc échoue, l'avion s'écrase. Pour les quatre moteurs en tant que sous-schéma, ils sont fondamentalement en parallèle. Nous configurons deux moteurs sur chaque aile, et tant qu'au moins un moteur fonctionne sur chaque aile, nous considérons que l'avion devrait pouvoir obtenir suffisamment de puissance des moteurs.
La répartition du premier échec est illustrée à la figure 15. Et nous nous intéressons aux performances du système entre le temps zéro et le temps 200.
Pour voir la superposition BCI, il faut suivre les instructions de la documentation et vérifier l'élément de menu « Afficher BCI » associé au diagramme. La figure 16 dessine le graphique de superposition BCI de ce diagramme, sur une plage de temps comprise entre zéro et 200. Le graphique masque les éléments dupliqués, tels que trois moteurs et une aile. Dans le graphique, nous pouvons voir que l’ordre d’importance de haut en bas est : cockpit, système de contrôle, aile et moteur. L'importance du système de contrôle et de l'aile sont proches l'une de l'autre.
Pour voir la superposition CII, l'élément de menu correspondant est « Afficher l'importance intégrée du composant », le deuxième vers le bas « Afficher BCI ». La figure 17 dessine le graphique de superposition CII de ce diagramme, dans lequel l'importance de l'aile est plutôt proche de celle du moteur, qui se trouvent au bas du graphique. La raison n’est pas évidente tant que l’on n’examine pas la fonction de risque de chaque composant ; voir la figure 18. Nous pouvons voir que Wing a le plus faible taux de défaillance de tous les temps sur cet avion.
Le CII est fourni comme un complément plutôt qu'une alternative à la prise de décision dans l'ingénierie de la fiabilité du système. On remarquera peut-être bientôt que CII n'a pas d'équivalent conditionnel, car nous fournissons un BCI conditionnel en plus du BCI. Nous devrions d’abord examiner pourquoi nous fournissons un BCI conditionnel, qui n’existe probablement pas dans d’autres logiciels. Notre BCI est souvent appelé Time Dependent BCI dans l'industrie, qui dessine les indices d'importance de tous les composants en fonction du temps de zéro à tout moment dans le futur. La perspective du graphique est au point zéro, lorsque le système n’a pas été utilisé du tout. Le BCI conditionnel fournit une perspective prospective dynamique, dont le point temporel peut être à tout moment après zéro. Le calcul d'un BCI conditionnel se fait simplement en remplaçant la fiabilité par la fiabilité conditionnelle, en prenant comme argument supplémentaire le temps de survie. En revanche, nous ne proposons pas de version conditionnelle de CII. L’une des raisons est que la fonction de risque inclut déjà le temps de survie dans son concept. Nous ne comprenons pas ce que cela signifie si nous introduisons la durée de survie dans d’autres parties du calcul du CII.
Les références
Luis Escobar et William Q. Meeker, Tests de dégradation destructive accélérée : données, modèles et analyses., Script manuel non publié.
Shubin Si, Hongyan Dui, Xibin Zhao, Shenggui Zhang et Shudong Sun, 2012, Mesure de l'importance intégrée des états des composants basée sur la perte de performances du système, Transactions IEEE sur la fiabilité, Vol. 61, n° 1.
