Christian Ritter , director ejecutivo, Ritter and Danielson Consulting
Abstracto
Los modelos no triviales con múltiples variables de entrada y salida son difíciles de visualizar, y la comunicación sobre la importancia estadística y el significado científico está lejos de ser obvia. Aquí estamos estudiando la transición de pantallas de respuesta única en las que se muestran los efectos de múltiples variables X para una sola variable Y hacia dos clases de gráficos de respuesta dual: esqueletos y alfombras voladoras y luego exploramos cómo se puede integrar la incertidumbre del modelo. .
Palabras clave
Superficies de respuesta, análisis multivariado.
Ejemplo motivador: espumas de poliuretano
Comencemos con un ejemplo práctico. Las espumas de poliuretano utilizadas para fabricar colchones son el resultado de una simple reacción química. En esta reacción química, un alcohol generalizado llamado poliol reacciona con el isocianato para formar un polímero elástico. Al mismo tiempo, el agua también reacciona con el isocianato y forma urea y CO2. La urea se dispersa en el polímero y lo endurece, mientras que el CO2 forma burbujas que en algún momento estallan entre sí para formar una espuma respirable. Los parámetros que definen las características del producto incluyen dureza, densidad, resistencia a la tracción y alargamiento a la rotura. Los dos primeros parámetros están relacionados con la dureza general y la clase de precio de la espuma, el segundo par con sus propiedades elásticas.
Aunque la química es bastante simple, existe un número considerable de variables que determinan las características de la espuma. Está la cantidad de isocianato. Por lo general, se elige en un ligero exceso para garantizar una reacción completa. El exceso de isocianato luego se disuelve en los dominios de urea. Además, la cantidad de agua con respecto al poliol en un exceso equivalente de isocianato creará más gas que formará más burbujas y más grandes y, por lo tanto, una espuma de menor densidad. Al mismo tiempo, el polímero restante será más duro ya que contiene más urea. Al mismo tiempo, las espumas menos densas tienen menos material para sostener la espuma y, en general, son más blandas.
Otros factores determinan las características del producto. Se pueden agregar sólidos adicionales para endurecer la espuma, los materiales generadores de gas auxiliar pueden reducir aún más la densidad, es posible que se necesiten retardadores de llama para pasar la regulación de seguridad y la presión del aire y la humedad afectan el resultado. Esto significa que la cantidad de variables de entrada y respuestas y la complejidad de la relación es lo suficientemente alta como para que el análisis de la relación sea bastante complicado.
El siguiente gráfico es un intento de mostrar cómo las tres variables más importantes afectan el resultado:
Figura 1. Gráfico de respuesta única para la dureza IFD de los modelos presentados por R. Schiffauer[1].
Este es un gráfico de respuesta única con múltiples variables de entrada. Tenga en cuenta que las relaciones y sus tamaños relativos se pueden ver para cada variable, y también se pueden comparar. Sin embargo, no aparece una imagen de resumen clara. También es difícil imaginar cómo integrar más variables de entrada y cómo mostrar efectos de interacción. Finalmente, dado que deseamos comprender cómo las entradas afectan las respuestas múltiples, varios de estos gráficos deben estudiarse simultáneamente.
Muchos de nosotros podemos recordar horas de explicar tales conjuntos de gráficos a los científicos con quienes nosotros, los estadísticos, estamos colaborando y para quienes hemos construido estos modelos.
esqueletos
Una primera alternativa es el diagrama esqueleto para dos respuestas, como se muestra en el ejemplo a continuación (Figura 2). Aquí, primero se busca una jerarquía entre las variables X. Como columna vertebral, se selecciona la variable que tiene el efecto conjunto más fuerte en ambas respuestas. En el ejemplo, este es el contenido de agua. Luego, los efectos de otras variables se injertan en la columna vertebral. Las variables que muestran poca o ninguna interacción con la variable principal se injertan una vez, las variables que interactúan con la variable principal se injertan dos veces. Se pueden agregar interacciones de orden superior como 'huesos' injertados en un segundo nivel (esto no se muestra aquí).
Como resultado, obtenemos una visualización de una situación muy compleja de una manera que sigue siendo interpretable para los científicos. En el ejemplo, la columna vertebral es perfectamente lógica: a medida que aumenta el nivel del agua, la espuma se vuelve menos densa (más gas) y más suave (menos sustancia). Sin embargo, más agua también significa un polímero más duro. Un mayor exceso de isocianato (índice) o sólidos adicionales aumentan la dureza con poco o ningún efecto sobre la densidad y sus efectos son un poco diferentes en espumas de alta densidad hechas con poca agua (urea) que en espumas de baja densidad con un alto contenido de urea. Los agentes de expansión auxiliares (aquí MeCl) y la presión del aire actúan de manera lógica y opuesta... Vemos, las relaciones principales, aunque complejas, se pueden explicar fácilmente y de una manera que es mucho más fácil y clara que a través de un par de gráficos de respuesta única.
Figura 2. Gráfico de esqueleto de dureza y densidad IFD basado en los modelos publicados por R. Schiffauer[1].
El siguiente par de gráficos muestra una vista de dos diagramas de esqueleto que permiten explorar las cuatro respuestas simultáneamente. Esta pantalla muestra al mismo tiempo la fuerza del método e identifica una dificultad: la columna vertebral de un gráfico de esqueleto puede no ser ideal para otro, hecho para diferentes pares de respuestas. Aún queda por diseñar métodos de desarrollo para elegir automáticamente esta variable.
Figura 3. Un par de diagramas de esqueleto para las mismas variables de entrada.
De esqueletos a alfombras voladoras
Los esqueletos ayudan a representar las relaciones de entrada y salida, sus tamaños y sus interacciones. No muestran el rango de propiedades que se pueden lograr (bajo la condición que tiene el modelo). Un esqueleto carece de carne. Desarrollar los esqueletos significa que tenemos que aumentar la dimensión de los huesos al menos a 2 y esto nos lleva a las alfombras voladoras. Un desafío para esta pantalla es identificar un punto de anclaje de una manera visual no intrusiva.
Figura 4a y b. Desarrollando la columna vertebral que representa el efecto del agua por el efecto del índice de isocianato.
Y cuando hay tres variables de entrada, ¿cómo debemos proceder? Hay dos posibilidades: Podríamos pasar de un objeto bidimensional (manifold) a uno tridimensional, o podríamos repetir objetos bidimensionales. Es decir, podríamos acudir a exhibiciones de salchichas voladoras oa múltiples alfombras voladoras. El primer enfoque se basa en una ilusión óptica: representar un objeto tridimensional mostrando una forma bidimensional anotada visualmente. Esto es muy difícil de hacer y también difícil de ver. El segundo enfoque conduce a visualizaciones más sencillas en los niveles de construcción y visualización.
Figura 5. Arreglo de Alfombras Voladoras.
Y aquí es donde termina. Aquí mostramos dos respuestas y cuatro variables de entrada para representar el rango de propiedades en densidad y dureza que puede cubrir el rango de formulación seleccionado. Los diagramas de esqueleto pueden acomodar algunas variables más que los arreglos de variedades (alfombras voladoras). En el ejemplo, tenemos seis variables de entrada y dos respuestas. Estos dos tipos de pantallas son óptimos en el siguiente sentido: mejoran en gran medida las pantallas de respuesta única al mostrar más variables y más relaciones de una manera que es más fácil de entender. Por otro lado, no es posible mostrar tres respuestas en una sola pantalla ya que esto requiere usar la ilusión de profundidad. Por la misma razón, el número de dimensiones que se pueden utilizar en el objeto de visualización no puede exceder de dos.
Ir más allá de dos respuestas requiere mostrar arreglos de proyecciones bidimensionales o animación de los gráficos.
Gimnasia de cresta
Hasta ahora, hemos presentado y discutido los gráficos de esqueleto en el caso de un modelo conocido. En la práctica, los modelos deben construirse a partir de datos y sus parámetros están sujetos a incertidumbre. ¿Cómo se puede integrar la incertidumbre con respecto al modelo y los datos?
Para este propósito, revisaremos un ejemplo complejo reportado por Box y Liu [2]. Se trata de datos recogidos en la etapa de optimización en el proceso de diseño de helicópteros de papel que vuelan cuando se dejan caer desde un banco y cuya variabilidad de vuelo es baja. Hay dos respuestas, el tiempo de vuelo en centisegundos indicado por Y y una medida de variabilidad, 100*log10(stdev(Y)), indicada por LS. Hay cuatro variables de entrada, área del ala (A), relación largo/ancho del ala (Q), largo del cuerpo (L) y ancho del cuerpo (W). El diseño experimental fue un compuesto central bloqueado en estos cuatro factores.
El siguiente conjunto de pantalla de respuesta dual (una mezcla de alfombras voladoras y esqueletos) muestra una forma de mostrar datos sin procesar y patrones principales. El gráfico superior izquierdo muestra cortes hechos para las dos variables que tienen los efectos lineales generales más grandes, la longitud del cuerpo (L) y la relación longitud/anchura del ala (Q). Vemos una tendencia a que los helicópteros con una mayor relación largo/ancho de ala vuelen más tiempo a expensas de la variabilidad. Para la longitud del cuerpo, más corto parece mejor (tenga en cuenta que 'largo' o 'corto' son con respecto a los rangos experimentales elegidos. Cuando combinamos los ajustes lineales con los ajustes de un modelo completo (incluidas las interacciones y los términos cuadráticos), vemos que los cortes se separan y se vuelven bastante irregulares cuando solo se muestra el modelo completo. El modelo completo se ajusta demasiado y un ajuste razonable probablemente se encuentre en algún punto intermedio.
Figura 6. Datos brutos y modelos. Arriba a la izquierda: solo efectos lineales, cortes en ala y longitud del cuerpo. Arriba a la derecha: combinación de 0,8 partes de modelo lineal y 0,2 partes de modelo completo. Abajo a la izquierda: mezcla uniforme de modelo lineal y completo, abajo a la derecha: modelo completo.
Bibliografia
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Modelos de predicción de propiedades matemáticas para espumas de poliuretano flexibles, Actas de la 35 el Conferencia técnica/de marketing anual sobre poliuretano, 225-238.
[2] Casilla GEP y P. Liu. La estadística como catalizador del aprendizaje por método científico Parte I: un ejemplo. Revista de tecnología de calidad , 31(1):1-15, 1999.
