크리스티안 리터 , 전무이사, Ritter and Danielson Consulting
추상적인
여러 입력 및 출력 변수가 있는 사소하지 않은 모델은 시각화하기 어렵고 통계적 유의성과 과학적 의미에 대한 의사 소통은 분명하지 않습니다. 여기서 우리는 단일 Y 변수에 대해 여러 X 변수의 효과가 표시되는 단일 응답 디스플레이에서 두 클래스의 이중 응답 그래프(골격 및 날아다니는 카펫)로의 전환을 연구하고 모델의 불확실성을 통합할 수 있는 방법을 탐색합니다. .
키워드
반응 표면, 다변량 분석.
동기 부여 사례: 폴리우레탄 폼
실용적인 예부터 시작하겠습니다. 매트리스를 만드는 데 사용되는 폴리우레탄 폼은 간단한 화학 반응의 결과입니다. 이 화학 반응에서 폴리올이라고 하는 일반화된 알코올이 이소시아네이트와 반응하여 탄성 중합체를 형성합니다. 동시에 물도 이소시아네이트와 반응하여 요소와 CO2를 형성합니다. 요소는 폴리머에 분산되어 폴리머를 경화시키는 반면 CO2는 기포를 형성하고 이 기포는 때때로 서로 터져 숨쉬는 거품을 형성합니다. 제품의 특성을 정의하는 매개변수에는 경도, 밀도, 인장 강도 및 파단 연신율이 포함됩니다. 처음 두 매개변수는 발포체의 일반 경도 및 가격 등급과 관련이 있으며, 두 번째 매개변수는 탄성 특성과 관련이 있습니다.
화학은 매우 간단하지만 그럼에도 불구하고 발포체 특성을 결정하는 상당한 수의 변수가 있습니다. 이소시아네이트의 양이 있습니다. 완전한 반응을 보장하기 위해 일반적으로 약간 초과하여 선택됩니다. 과잉 이소시아네이트는 요소 도메인으로 용해됩니다. 또한, 동등한 과량의 이소시아네이트에서 폴리올에 대한 물의 양은 더 많은 가스를 생성하여 더 많은 거품을 만들고 따라서 더 낮은 밀도의 거품을 만듭니다. 동시에 남은 폴리머는 더 많은 우레아를 함유하고 있기 때문에 더 단단해집니다. 동시에 밀도가 낮은 발포체는 발포체를 지탱할 재료가 적고 일반적으로 더 부드럽습니다.
추가 요소가 제품의 특성을 결정합니다. 폼을 단단하게 하기 위해 추가 고체를 추가할 수 있고, 보조 가스 생성 재료는 밀도를 더 줄일 수 있으며, 안전 규정을 통과하기 위해 난연제가 필요할 수 있으며, 기압과 습도가 결과에 영향을 미칩니다. 이는 입력 변수 및 응답의 수와 관계의 복잡성이 충분히 높아 관계를 분석하기가 매우 까다롭다는 것을 의미합니다.
다음 그래프는 세 가지 가장 중요한 변수가 결과에 어떤 영향을 미치는지 보여주기 위한 시도입니다.
그림 1. R로 제시된 모델의 IFD 경도에 대한 단일 응답 그래프. 쉬파우어 [1].
이것은 여러 입력 변수가 있는 단일 응답 그래프입니다. 각 변수에 대한 관계와 상대적인 크기를 볼 수 있으며 비교할 수도 있습니다. 그러나 명확한 요약 그림이 나타나지 않습니다. 더 많은 입력 변수를 통합하고 상호 작용 효과를 표시하는 방법도 상상하기 어렵습니다. 마지막으로 입력이 여러 응답에 어떻게 영향을 미치는지 이해하고 싶기 때문에 이러한 그래프 중 여러 개를 동시에 연구해야 합니다.
우리 중 많은 사람들은 통계학자인 우리와 협력하고 있으며 우리가 이러한 모델을 구축한 과학자들에게 그러한 그래프 세트를 설명하는 데 몇 시간을 기억할 수 있습니다.
해골
첫 번째 대안은 아래 예(그림 2)에 표시된 두 응답에 대한 스켈레톤 플롯입니다. 여기에서 먼저 X 변수 사이에서 계층 구조를 찾습니다. 백본으로 두 응답 모두에 가장 강한 결합 효과가 있는 변수를 선택합니다. 예에서 이것은 수분 함량입니다. 그런 다음 다른 변수의 효과가 백본에 접목됩니다. 백본 변수와 거의 또는 전혀 상호 작용하지 않는 변수는 한 번 그래프트되고, 백본 변수와 상호 작용하는 변수는 두 번 그래프트됩니다. 더 높은 수준의 상호 작용은 두 번째 수준에서 이식된 '뼈'로 추가될 수 있습니다(여기에는 표시되지 않음).
결과적으로 우리는 과학자들이 해석할 수 있는 방식으로 매우 복잡한 상황을 표시합니다. 이 예에서 백본은 완벽하게 논리적입니다. 수위가 증가함에 따라 폼의 밀도가 낮아지고(가스 증가) 부드러워집니다(물질 감소). 그러나 더 많은 물은 또한 더 단단한 중합체를 의미합니다. 더 높은 이소시아네이트 과잉(지수) 또는 추가 고형물은 밀도에 거의 또는 전혀 영향을 미치지 않고 경도를 증가시키며 그 효과는 요소 함량이 높은 저밀도 폼에서보다 적은 물(요소)로 만든 고밀도 폼에서 약간 다릅니다. 보조 발포제(여기서 MeCl)와 공기압은 논리적이고 반대 방식으로 작용합니다... 비록 복잡한 것이 한 쌍의 단일 응답 그래프를 통하는 것보다 훨씬 쉽고 명확한 방식으로 쉽게 설명될 수 있지만 주요 관계를 봅니다.
그림 2. R에서 발표한 모델을 기반으로 한 IFD 경도 및 밀도의 골격 그래프. 쉬파우어 [1].
다음 그래프 쌍은 네 가지 응답을 동시에 탐색할 수 있는 두 개의 스켈레톤 플롯 보기를 보여줍니다. 이 디스플레이는 방법의 강점을 동시에 보여주고 한 가지 어려움을 식별합니다. 하나의 스켈레톤 그래프의 백본이 다른 응답 쌍에 적합하지 않을 수 있습니다. 이 변수를 자동으로 선택하는 개발 방법은 여전히 설계해야 합니다.
그림 3. 동일한 입력 변수에 대한 한 쌍의 스켈레톤 플롯.
스켈레톤에서 플라잉 카펫까지
스켈레톤은 입력 출력 관계, 크기 및 상호 작용을 그리는 데 도움이 됩니다. 그들은 달성할 수 있는 속성의 범위를 표시하지 않습니다(모델이 유지하는 조건에서). 골격에는 살이 없습니다. 스켈레톤을 다듬는다는 것은 뼈의 크기를 최소 2로 늘려야 한다는 것을 의미하며 이것은 우리를 날아다니는 양탄자로 만듭니다. 이 디스플레이의 과제는 시각적으로 방해가 되지 않는 방식으로 기준점을 식별하는 것입니다.
그림 4a 및 b. 이소시아네이트 지수의 영향으로 수분 효과를 나타내는 백본을 살살 빼냅니다.
그리고 입력 변수가 3개일 때 어떻게 진행해야 할까요? 두 가지 가능성이 있습니다. 2차원 개체(다양체)에서 3차원 개체로 이동하거나 2차원 개체를 반복할 수 있습니다. 즉, 우리는 날아다니는 소시지나 여러 개의 날아다니는 융단이 전시된 곳으로 갈 수 있습니다. 첫 번째 접근 방식은 시각적으로 주석이 달린 2차원 모양을 보여줌으로써 3차원 물체를 나타내는 착시에 기반합니다. 이것은 하기가 매우 어렵고 또한 보기도 어렵습니다. 두 번째 접근 방식은 구성 및 보기 수준에서 더 쉽게 표시되도록 합니다.
그림 5. 플라잉 카펫의 배열.
그리고 이것이 끝나는 곳입니다. 여기서 우리는 선택한 제제 범위에 포함될 수 있는 밀도 및 경도의 특성 범위를 묘사하기 위해 2개의 응답과 4개의 입력 변수를 보여줍니다. 스켈레톤 플롯은 다양체(플라잉 카펫)의 배열보다 몇 가지 더 많은 변수를 수용할 수 있습니다. 예제에는 6개의 입력 변수와 2개의 응답이 있습니다. 이 두 가지 유형의 표시는 다음과 같은 의미에서 최적입니다. 이해하기 쉬운 방식으로 더 많은 변수와 더 많은 관계를 표시하여 단일 응답 표시보다 크게 향상됩니다. 반면 깊이 착시를 사용해야 하므로 단일 디스플레이에 세 가지 응답을 표시하는 것은 불가능합니다. 같은 이유로 표시 개체에서 사용할 수 있는 차원의 수는 2를 초과할 수 없습니다.
두 가지 응답을 넘어서려면 그래프의 2차원 투영 또는 애니메이션 배열을 보여줘야 합니다.
능선 체조
지금까지 알려진 모델의 경우 스켈레톤 그래프를 소개하고 논의했습니다. 실제로 모델은 데이터로 구성해야 하며 해당 매개변수는 불확실성의 영향을 받습니다. 모델과 데이터에 대한 불확실성을 어떻게 통합할 수 있습니까?
이를 위해 Box와 Liu가 보고한 복잡한 사례를 다시 살펴보겠습니다[2]. 그것은 벤치에서 떨어졌을 때 비행하고 비행 변동성이 낮은 종이 헬리콥터를 설계하는 과정에서 최적화 단계에서 수집된 데이터에 관한 것입니다. 두 가지 응답이 있습니다. Y로 표시되는 센티초 단위의 비행 시간과 LS로 표시되는 가변성 측정값 100*log10(stdev(Y))입니다. 날개 면적(A), 날개 길이/너비 비율(Q), 몸통 길이(L), 몸통 너비(W)의 4가지 입력 변수가 있습니다. 실험 설계는 이 네 가지 요소에서 차단된 중앙 합성물이었습니다.
다음 이중 응답 디스플레이 세트(플라잉 카펫과 스켈레톤 혼합)는 원시 데이터와 기본 패턴을 표시하는 방법을 보여줍니다. 왼쪽 상단 그래프는 전체 선형 효과가 가장 큰 두 변수인 몸통 길이(L)와 날개 길이/너비 비율(Q)에 대해 만든 슬라이스를 보여줍니다. 날개 길이/너비 비율이 더 높은 헬리콥터는 가변성을 희생하면서 더 오래 비행하는 경향이 있습니다. 몸 길이의 경우 짧은 것이 더 좋아 보입니다('길다' 또는 '짧다'는 선택한 실험 범위에 관한 것입니다. 선형 피팅을 전체 모델의 피팅(상호작용 및 2차 항 포함)과 혼합하면 전체 모델만 표시될 때 조각이 분리되고 매우 불규칙해집니다. 전체 모델이 과적합되고 합리적인 핏은 아마도 중간 어딘가에 있을 것입니다.
그림 6. 원시 데이터 및 모델. 왼쪽 위: 선형 효과만, 날개와 몸통 길이의 슬라이스. 오른쪽 상단: 0.8파트 선형 모델과 0.2파트 전체 모델의 혼합. 왼쪽 아래: 선형 모델과 전체 모델의 균일한 혼합, 오른쪽 아래: 전체 모델.
참고문헌
[1] Reinhart Schiffauer(1994), 연질 폴리우레탄 폼의 수학적 특성 예측 모델, Proceedings of the 35 일 연례 폴리우레탄 기술/마케팅 회의, 225-238.
[2] GEP 박스와 P. 류. 과학적 방법으로 학습하는 촉매제로서의 통계 1부 - 예. 품질기술 저널 , 31(1):1-15, 1999.
