クリスチャン・リッター、エグゼクティブ ディレクター、リッター アンド ダニエルソン コンサルティング
概要
複数の入力変数と出力変数を持つ自明でないモデルは視覚化が難しく、統計的有意性と科学的意味についてのコミュニケーションは明らかではありません。 ここでは、複数の X 変数の効果が 1 つの Y 変数に対して示される単一応答表示から、2 つのクラスの二重応答グラフ (スケルトンとフライング カーペット) への移行を研究し、モデルの不確実性をどのように統合できるかを調べます。 .
キーワード
応答曲面、多変量解析。
動機付けの例: ポリウレタンフォーム
実際の例から始めましょう。 マットレスの製造に使用されるポリウレタンフォームは、単純な化学反応の結果です。 この化学反応では、ポリオールと呼ばれる一般化されたアルコールがイソシアネートと反応して弾性ポリマーを形成します。 同時に、水もイソシアネートと反応し、尿素と CO2 を生成します。 尿素はポリマー内に分散して硬化しますが、CO2 は気泡を形成し、それが互いに破裂して通気性のある泡を形成します。 製品の特性を定義するパラメーターには、硬度、密度、引張強度、破断伸びなどがあります。 最初の 2 つのパラメーターは、フォームの一般的な硬度と価格クラスに関連し、2 番目のペアはその弾性特性に関連しています。
化学は非常に単純ですが、それにもかかわらず、フォームの特性を決定するかなりの数の変数があります。 イソシアネートの量があります。 完全な反応を確保するために、通常はわずかに過剰に選択されます。 過剰なイソシアネートは尿素ドメインに溶解します。 さらに、等量の過剰イソシアネートでのポリオールに対する水の量は、より多くのガスを生成し、より多くのより大きな気泡を形成し、したがってフォームの密度を低下させる。 同時に、残りのポリマーはより多くの尿素を含むため、より硬くなります。 同時に、密度の低いフォームは、フォームを保持する材料が少なく、一般的に柔らかいです。
さらに別の要因によって、製品の特性が決まります。 追加の固体を追加してフォームを硬化させることができ、補助ガス発生材料は密度をさらに下げることができ、安全規制に合格するために難燃剤が必要になる場合があり、空気圧と湿度が結果に影響を与えます. これは、入力変数と応答の数、および関係の複雑さが十分に高く、関係の分析が非常に難しいことを意味します。
次のグラフは、最も重要な 3 つの変数が結果にどのように影響するかを示しています。
図1。 R によって提示されたモデルの IFD 硬さの単一応答グラフ。 シフォー [1]。
これは、複数の入力変数を持つ単一の応答グラフです。 変数ごとに関係とその相対的なサイズを確認でき、それらを比較することもできます。 ただし、明確な要約画像は表示されません。 また、より多くの入力変数を統合する方法と、相互作用効果を示す方法を想像することも困難です。 最後に、入力が複数の応答にどのように影響するかを理解したいので、これらのグラフのいくつかを同時に調査する必要があります。
私たちの多くは、私たち統計学者が協力しており、これらのモデルを構築した科学者に、そのようなグラフのセットを何時間も説明したことを思い出すことができます.
スケルトン
最初の選択肢は、以下の例に示すように、2 つの応答のスケルトン プロットです (図 2)。 ここでは、まず X 変数間の階層を探します。 バックボーンとして、両方の応答に最も強い結合効果を持つ変数を選択します。 例では、これは水分量です。 次に、他の変数の効果がバックボーンに移植されます。 バックボーン変数との相互作用がほとんどまたはまったくない変数は 1 回移植され、バックボーン変数と相互作用する変数は 2 回移植されます。 高次の相互作用は、2 番目のレベルで移植された「骨」として追加できます (これはここには示されていません)。
その結果、科学者が解釈可能な方法で、非常に複雑な状況を表示することができます。 この例では、バックボーンは完全に論理的です。水位が上がると、泡は密度が低くなり (ガスが多くなり)、柔らかくなります (物質が少なくなります)。 しかし、より多くの水はより硬いポリマーを意味します。 より高いイソシアネート過剰（インデックス）または追加の固形物は、密度にほとんどまたはまったく影響を与えずに硬度を増加させ、それらの効果は、尿素含有量の高い低密度フォームよりも少量の水（尿素）で作られた高密度フォームで少し異なります. 補助発泡剤 (ここでは MeCl) と空気圧は、論理的かつ反対の方法で作用します … 主な関係はわかりますが、複雑なものは簡単に説明でき、単一の応答グラフのペアよりもはるかに簡単で明確な方法で説明できます。
図 2. R によって公開されたモデルに基づく IFD 硬度と密度のスケルトン グラフ。 シフォー [1]。
次のグラフのペアは、4 つの応答を同時に調べることができる 2 つのスケルトン プロットのビューを示しています。 この表示は、メソッドの強さを同時に示し、1 つの問題を特定します。1 つのスケルトン グラフのバックボーンは、異なる応答のペアに対して作成された別のスケルトン グラフにとって理想的ではない場合があります。 この変数を自動的に選択する方法の開発は、まだ設計する必要があります。
図 3. 同じ入力変数の一対のスケルトン プロット。
スケルトンからフライング カーペットまで
スケルトンは、入出力の関係、サイズ、および相互作用を描くのに役立ちます。 （モデルが成り立つ条件下で）得られる特性の範囲を示すものではありません。 スケルトンには肉がありません。 スケルトンを肉付けするということは、ボーンの次元を少なくとも 2 に増やす必要があることを意味し、これにより空飛ぶじゅうたんを作成できます。 この表示の課題は、視覚的に邪魔にならない方法でアンカー ポイントを識別することです。
図 4a および b。 イソシアナートインデックスの効果で水の効果を表現した骨格を肉付け。
入力変数が 3 つある場合、どのように進めればよいでしょうか。 2 つの可能性があります。2 次元のオブジェクト (多様体) から 3 次元のオブジェクトに移行するか、2 次元のオブジェクトを繰り返すことができます。 つまり、空飛ぶソーセージの展示や複数の空飛ぶじゅうたんに行くことができます。 最初のアプローチは目の錯覚に基づいています。つまり、視覚的に注釈を付けた 2 次元の形状を示すことで 3 次元のオブジェクトを表現します。 これは実行するのが非常に難しく、表示するのも困難です。 2 番目のアプローチは、構築と表示のレベルでより簡単な表示につながります。
図 5. フライング カーペットの配置。
そして、これはそれがどこで終わるかについてです。 ここでは、2 つの応答と 4 つの入力変数を示して、選択した配合範囲でカバーできる密度と硬度の特性範囲を示します。 スケルトン プロットは、多様体 (フライング カーペット) の配置よりもいくつかの変数に対応できます。 この例では、6 つの入力変数と 2 つの応答があります。 これらの 2 種類の表示は、次の意味で最適です。より多くの変数とより多くの関係を理解しやすい方法で表示することにより、単一の応答表示よりも大幅に改善されます。 一方、奥行きの錯覚を利用する必要があるため、1 回の表示で 3 つの応答を表示することはできません。 同じ理由で、表示オブジェクトで使用できる次元の数は 2 を超えることはできません。
2 つの応答を超えるには、2 次元投影の配置またはグラフのアニメーションを表示する必要があります。
リッジ体操
これまで、既知のモデルの場合のスケルトン グラフを紹介し、説明してきました。 実際には、モデルはデータから構築する必要があり、そのパラメーターは不確実性に左右されます。 モデルとデータに関して不確実性をどのように統合できますか?
この目的のために、Box Box と Liu [2] で報告された複雑な例を再検討します。 これは、ベンチから落としたときに飛行し、飛行のばらつきが少ない紙のヘリコプターを設計するプロセスの最適化段階で収集されたデータに関するものです。 Y で示されるセンチ秒単位の飛行時間と、LS で示される変動性の尺度 100*log10(stdev(Y)) の 2 つの応答があります。 入力変数は、翼面積 (A)、翼の長さと幅の比 (Q)、胴体の長さ (L)、胴体の幅 (W) の 4 つです。 実験計画は、これらの 4 つの要因でブロックされた中央複合体でした。
次のデュアル レスポンス ディスプレイのセット (フライング カーペットとスケルトンの組み合わせ) は、生データとメイン パターンを表示する方法を示しています。 左上のグラフは、全体的な線形効果が最大である 2 つの変数、体長 (L) と翼の長さ/幅の比率 (Q) に対して作成されたスライスを示しています。 翼の長さ/幅の比率が大きいヘリコプターは、変動性を犠牲にしてより長く飛行する傾向があります. 体長については、短い方が良いようです (「長い」または「短い」は、選択した実験範囲に関するものであることに注意してください。 線形近似を完全なモデル (交互作用と二次項を含む) の近似とブレンドすると、完全なモデルのみが表示されると、スライスが分離し、非常に不規則になることがわかります。 完全なモデルはオーバー フィットであり、妥当なフィットはおそらくその中間のどこかにあります。
図 6. 生データとモデル。 左上: 線形効果のみ、翼と胴体の長さのスライス。 右上: 0.8 パーツの線形モデルと 0.2 パーツのフル モデルの混合。 左下: 線形モデルと完全モデルの偶数混合、右下: 完全モデル。
参考文献
[1] Reinhart Schiffauer (1994)、軟質ポリウレタン フォームの数学的特性予測モデル、Proceedings of the 35番目年次ポリウレタン技術/マーケティング会議、225-238。
[2] GEP ボックスと P. 劉。 科学的方法による学習の触媒としての統計 パート I – 例。 品質技術ジャーナル、31(1):1-15、1999年。
