Christian Ritter , direttore esecutivo, Ritter e Danielson Consulting
Astratto
I modelli non banali con più variabili di input e output sono difficili da visualizzare e la comunicazione sulla significatività statistica e sul significato scientifico è tutt'altro che ovvia. Qui stiamo studiando la transizione dai display a risposta singola in cui vengono mostrati gli effetti di più variabili X per una singola variabile Y verso due classi di grafici a doppia risposta: scheletri e tappeti volanti e quindi esploriamo come l'incertezza del modello può essere integrata .
Parole chiave
Superfici di risposta, analisi multivariata.
Esempio motivante: schiume poliuretaniche
Cominciamo con un esempio pratico. Le schiume poliuretaniche utilizzate per realizzare i materassi sono il risultato di una semplice reazione chimica. In questa reazione chimica, un alcool generalizzato chiamato poliolo, reagisce con l'isocianato per formare un polimero elastico. Allo stesso tempo, l'acqua reagisce anche con l'isocianato e forma urea e CO2. L'urea si disperde nel polimero e lo indurisce, mentre la CO2 forma bolle che a un certo punto scoppiano l'una nell'altra formando una schiuma traspirante. I parametri che definiscono le caratteristiche del prodotto includono durezza, densità, resistenza alla trazione e allungamento a rottura. I primi due parametri sono legati alla durezza generale e alla classe di prezzo della schiuma, il secondo paio alle sue proprietà elastiche.
Sebbene la chimica sia abbastanza semplice, ci sono comunque un numero considerevole di variabili che determinano le caratteristiche della schiuma. C'è la quantità di isocianato. Viene comunemente scelto in leggero eccesso per garantire una reazione completa. L'isocianato in eccesso si dissolve quindi nei domini dell'urea. Inoltre, la quantità di acqua rispetto al poliolo a un isocianato in eccesso equivalente creerà più gas che produce bolle più grandi e quindi schiuma di densità inferiore. Allo stesso tempo, il restante polimero sarà più duro poiché contiene più urea. Allo stesso tempo, le schiume meno dense hanno meno materiale per sostenere la schiuma e sono generalmente più morbide.
Ulteriori fattori determinano le caratteristiche del prodotto. È possibile aggiungere solidi aggiuntivi per indurire la schiuma, materiali ausiliari che generano gas possono ridurre ulteriormente la densità, potrebbero essere necessari ritardanti di fiamma per superare le norme di sicurezza e la pressione dell'aria e l'umidità influiscono sul risultato. Ciò significa che il numero di variabili di input e risposte e la complessità della relazione sono sufficientemente elevati da rendere l'analisi della relazione piuttosto complicata.
Il grafico seguente è un tentativo di mostrare come le tre variabili più importanti influenzano il risultato:
Figura 1. Grafico a risposta singola per la durezza IFD dei modelli presentati da R. Schiffauer [1].
Questo è un grafico a risposta singola con più variabili di input. Si noti che le relazioni e le loro dimensioni relative possono essere viste per ciascuna variabile e si possono anche confrontare. Tuttavia, non appare una chiara immagine riassuntiva. È anche difficile immaginare come integrare più variabili di input e come mostrare gli effetti dell'interazione. Infine, poiché desideriamo capire come gli input influenzano le risposte multiple, molti di questi grafici devono essere studiati simultaneamente.
Molti di noi ricordano ore passate a spiegare tali insiemi di grafici agli scienziati con cui noi, statistici, stiamo collaborando e per i quali abbiamo costruito questi modelli.
Scheletri
Una prima alternativa è lo scheletro grafico per due risposte, come mostrato nell'esempio seguente (Figura 2). Qui, si cerca prima una gerarchia tra le variabili X. Come spina dorsale, si seleziona la variabile che ha il più forte effetto congiunto su entrambe le risposte. Nell'esempio, questo è il contenuto d'acqua. Quindi gli effetti di altre variabili vengono innestati sulla spina dorsale. Le variabili che mostrano poca o nessuna interazione con la variabile backbone vengono innestate una volta, le variabili che interagiscono con la variabile backbone vengono innestate due volte. Le interazioni di ordine superiore possono essere aggiunte come "ossa" innestate a un secondo livello (questo non è mostrato qui).
Come risultato, otteniamo una visualizzazione di una situazione molto complessa in un modo che rimane interpretabile per gli scienziati. Nell'esempio, la spina dorsale è perfettamente logica: all'aumentare del livello dell'acqua, la schiuma diventa meno densa (più gas) e più morbida (meno sostanza). Tuttavia, più acqua significa anche polimero più duro. Un eccesso maggiore di isocianato (indice) o solidi aggiuntivi, aumentano la durezza con un effetto scarso o nullo sulla densità e i loro effetti sono leggermente diversi su schiume ad alta densità prodotte con poca acqua (urea) rispetto a schiume a bassa densità con un alto contenuto di urea. Gli agenti espandenti ausiliari (qui MeCl) e la pressione dell'aria agiscono in modi logici e opposti... Vediamo che le relazioni principali, sebbene complesse, possono essere facilmente spiegate e in un modo molto più semplice e chiaro rispetto a una coppia di grafici a risposta singola.
Figura 2. Grafico scheletro di durezza e densità IFD basato sui modelli pubblicati da R. Schiffauer [1].
La seguente coppia di grafici mostra una vista di due diagrammi scheletrici che consentono di esplorare le quattro risposte contemporaneamente. Questa visualizzazione mostra allo stesso tempo la forza del metodo e identifica una difficoltà: la spina dorsale di un grafico scheletro potrebbe non essere l'ideale per un altro, fatto per diverse coppie di risposte. Devono ancora essere progettati metodi di sviluppo per la scelta automatica di questa variabile.
Figura 3. Una coppia di diagrammi scheletro per le stesse variabili di input.
Dagli scheletri ai tappeti volanti
Gli scheletri aiutano a rappresentare le relazioni input-output, le loro dimensioni e le loro interazioni. Non mostrano la gamma di proprietà che possono essere raggiunte (a condizione che il modello sia valido). Uno scheletro manca di carne. Rimpolpare gli scheletri significa che dobbiamo aumentare la dimensione delle ossa ad almeno 2 e questo ci porta ai tappeti volanti. Una sfida per questo display è identificare un punto di ancoraggio in modo visivamente non intrusivo.
Figura 4a e b. Rimpolpando la spina dorsale che rappresenta l'effetto acqua per effetto dell'indice di isocianato.
E quando ci sono tre variabili di input, come dovremmo procedere? Ci sono due possibilità: potremmo passare da un oggetto bidimensionale (molteplicità) a uno tridimensionale, oppure potremmo ripetere oggetti bidimensionali. Cioè, potremmo andare a esibizioni di salsicce volanti oa più tappeti volanti. Il primo approccio si basa su un'illusione ottica: rappresentare un oggetto tridimensionale mostrando una forma bidimensionale annotata visivamente. Questo è molto difficile da fare e anche difficile da vedere. Il secondo approccio porta a visualizzazioni più semplici a livello di costruzione e visualizzazione.
Figura 5. Disposizione dei tappeti volanti.
E questo è più o meno dove finisce. Qui mostriamo due risposte e quattro variabili di input per rappresentare l'intervallo di proprietà in densità e durezza che può essere coperto dall'intervallo di formulazione selezionato. I grafici dello scheletro possono ospitare alcune variabili in più rispetto alla disposizione delle varietà (tappeti volanti). Nell'esempio, abbiamo sei variabili di input e due risposte. Questi due tipi di visualizzazioni sono ottimali nel seguente senso: migliorano notevolmente rispetto alle visualizzazioni a risposta singola mostrando più variabili e più relazioni in un modo più facile da capire. D'altra parte, non è possibile mostrare tre risposte in un'unica visualizzazione poiché ciò richiede l'uso dell'illusione della profondità. Per lo stesso motivo, il numero di dimensioni utilizzabili nell'oggetto di visualizzazione non può superare due.
Per andare oltre le due risposte è necessario mostrare la disposizione delle proiezioni bidimensionali o l'animazione dei grafici.
Ginnastica di cresta
Finora abbiamo introdotto e discusso i grafi scheletro nel caso di un modello noto. In pratica, i modelli devono essere costruiti a partire dai dati ei loro parametri sono soggetti a incertezza. Come integrare l'incertezza rispetto al modello e ai dati?
A tal fine, rivisiteremo un esempio complesso riportato dalla casella Box e Liu [2]. Si tratta di dati raccolti nella fase di ottimizzazione nel processo di progettazione di elicotteri di carta che volano quando vengono fatti cadere da un banco e la cui variabilità di volo è bassa. Ci sono due risposte, il tempo di volo in centisecondi indicato con Y e una misura di variabilità, 100*log10(stdev(Y)), indicata con LS. Sono disponibili quattro variabili di input, area alare (A), rapporto lunghezza/larghezza ala (Q), lunghezza del corpo (L) e larghezza del corpo (W). Il disegno sperimentale era un composito centrale bloccato in questi quattro fattori.
Il seguente set di display a doppia risposta (un mix di tappeti volanti e scheletri) mostra un modo di visualizzare dati grezzi e modelli principali. Il grafico in alto a sinistra mostra le sezioni realizzate per le due variabili che hanno gli effetti lineari complessivi maggiori, la lunghezza del corpo (L) e il rapporto lunghezza/larghezza dell'ala (Q). Vediamo una tendenza per gli elicotteri con un rapporto lunghezza/larghezza dell'ala maggiore a volare più a lungo a scapito della variabilità. Per la lunghezza del corpo, più corto sembra migliore (si noti che 'lungo' o 'corto' sono rispetto agli intervalli sperimentali scelti. Quando mescoliamo gli adattamenti lineari con gli adattamenti di un modello completo (comprese le interazioni ei termini quadratici), vediamo che le fette si separano e diventano piuttosto irregolari quando viene mostrato solo il modello completo. Il modello completo si adatta eccessivamente e una vestibilità ragionevole è probabilmente da qualche parte nel mezzo.
Figura 6. Dati grezzi e modelli. In alto a sinistra: solo effetti lineari, fette in ala e lunghezza del corpo. In alto a destra: mix di 0,8 parti lineari e 0,2 parti di modello completo. In basso a sinistra: mix uniforme di modello lineare e completo, in basso a destra: modello completo.
Bibliografia
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Modelli di previsione delle proprietà matematiche per schiume poliuretaniche flessibili, Atti del 35 th Conferenza annuale tecnica/marketing del poliuretano, 225-238.
[2] Scatola GEP e P. Liu. La statistica come catalizzatore per l'apprendimento con il metodo scientifico Parte I - Un esempio. Giornale di tecnologia di qualità , 31(1):1-15, 1999.
