Christian Ritter , Geschäftsführer, Ritter und Danielson Consulting
Abstrakt
Nicht-triviale Modelle mit mehreren Eingabe- und Ausgabevariablen sind schwer zu visualisieren und die Kommunikation über statistische Signifikanz und wissenschaftliche Bedeutung ist alles andere als offensichtlich. Hier untersuchen wir den Übergang von Einzelantwortanzeigen, in denen die Auswirkungen mehrerer .
Schlüsselwörter
Antwortoberflächen, multivariate Analyse.
Motivierendes Beispiel: Polyurethanschäume
Beginnen wir mit einem praktischen Beispiel. Polyurethanschäume, die zur Herstellung von Matratzen verwendet werden, sind das Ergebnis einer einfachen chemischen Reaktion. Bei dieser chemischen Reaktion reagiert ein allgemeiner Alkohol namens Polyol mit Isocyanat unter Bildung eines elastischen Polymers. Gleichzeitig reagiert Wasser auch mit Isocyanat und bildet Harnstoff und CO2. Der Harnstoff verteilt sich im Polymer und härtet es aus, während das CO2 Blasen bildet, die irgendwann ineinander platzen und einen atmungsaktiven Schaum bilden. Zu den Parametern, die die Eigenschaften des Produkts definieren, gehören Härte, Dichte, Zugfestigkeit und Bruchdehnung. Die ersten beiden Parameter beziehen sich auf die allgemeine Härte und Preisklasse des Schaumstoffs, das zweite Paar auf seine elastischen Eigenschaften.
Obwohl die Chemie recht einfach ist, gibt es dennoch eine beträchtliche Anzahl von Variablen, die die Schaumeigenschaften bestimmen. Da ist die Menge an Isocyanat. Üblicherweise wird ein leichter Überschuss gewählt, um eine vollständige Reaktion sicherzustellen. Überschüssiges Isocyanat löst sich dann in den Harnstoffdomänen auf. Darüber hinaus erzeugt die Menge an Wasser im Verhältnis zum Polyol bei äquivalentem Überschuss an Isocyanat mehr Gas, was zu mehr und größeren Blasen und damit zu einem Schaum mit geringerer Dichte führt. Gleichzeitig wird das verbleibende Polymer härter, da es mehr Harnstoff enthält. Gleichzeitig haben weniger dichte Schäume weniger Material, um den Schaum zu halten, und sind im Allgemeinen weicher.
Weitere Faktoren bestimmen die Eigenschaften des Produkts. Zur Aushärtung des Schaums können zusätzliche Feststoffe hinzugefügt werden, zusätzliche gaserzeugende Materialien können die Dichte weiter verringern, Flammschutzmittel können erforderlich sein, um Sicherheitsvorschriften zu erfüllen, und Luftdruck und Luftfeuchtigkeit beeinflussen das Ergebnis. Das bedeutet, dass die Anzahl der Eingabevariablen und Antworten sowie die Komplexität der Beziehung hoch genug sind, um die Analyse der Beziehung recht schwierig zu machen.
Die folgende Grafik ist ein Versuch zu zeigen, wie sich die drei wichtigsten Variablen auf das Ergebnis auswirken:
Abbildung 1. Einzelantwortdiagramm für die IFD-Härte der von R. vorgestellten Modelle. Schiffauer [1].
Dies ist ein einzelnes Antwortdiagramm mit mehreren Eingabevariablen. Beachten Sie, dass die Beziehungen und ihre relativen Größen für jede Variable angezeigt und auch verglichen werden können. Es erscheint jedoch kein klares zusammenfassendes Bild. Auch ist es schwer vorstellbar, wie man mehr Eingabevariablen integrieren und Interaktionseffekte darstellen kann. Da wir schließlich verstehen möchten, wie sich die Eingaben auf mehrere Antworten auswirken, müssen mehrere dieser Diagramme gleichzeitig untersucht werden.
Viele von uns können sich an Stunden erinnern, in denen wir den Wissenschaftlern, mit denen wir Statistiker zusammenarbeiten und für die wir diese Modelle erstellt haben, solche Diagramme erklärt haben.
Skelette
Eine erste Alternative ist das Skelettdiagramm für zwei Antworten, wie im folgenden Beispiel dargestellt (Abbildung 2). Dabei wird zunächst nach einer Hierarchie zwischen den X-Variablen gesucht. Als Rückgrat wählt man die Variable aus, die gemeinsam den stärksten Einfluss auf beide Antworten hat. Im Beispiel ist dies der Wassergehalt. Dann werden die Auswirkungen anderer Variablen auf das Grundgerüst übertragen. Variablen, die wenig oder keine Interaktion mit der Backbone-Variablen zeigen, werden einmal gepfropft, Variablen, die mit der Backbone-Variablen interagieren, werden zweimal gepfropft. Wechselwirkungen höherer Ordnung können als „Knochen“ auf einer zweiten Ebene hinzugefügt werden (dies wird hier nicht gezeigt).
Dadurch erhalten wir eine für Wissenschaftler interpretierbare Darstellung einer sehr komplexen Sachlage. Im Beispiel ist das Grundgerüst vollkommen logisch: Mit zunehmendem Wasserstand wird der Schaum weniger dicht (mehr Gas) und weicher (weniger Substanz). Doch mehr Wasser bedeutet auch härteres Polymer. Ein höherer Isocyanatüberschuss (Index) oder zusätzliche Feststoffe erhöhen die Härte bei geringem oder keinem Einfluss auf die Dichte und ihre Auswirkungen sind bei Schaumstoffen mit hoher Dichte, die mit wenig Wasser (Harnstoff) hergestellt werden, etwas anders als bei Schaumstoffen mit niedriger Dichte und hohem Harnstoffgehalt. Hilfstreibmittel (hier MeCl) und Luftdruck wirken logisch und gegensätzlich … Wir sehen, dass die Hauptzusammenhänge, auch wenn sie komplex sind, leicht und viel einfacher und klarer erklärt werden können als über ein Paar Einzelantwortdiagramme.
Figur 2. Skelettdiagramm der IFD-Härte und -Dichte basierend auf den von R. veröffentlichten Modellen. Schiffauer [1].
Das folgende Diagrammpaar zeigt eine Ansicht von zwei Skelettdiagrammen, die es ermöglichen, die vier Antworten gleichzeitig zu untersuchen. Diese Anzeige zeigt gleichzeitig die Stärke der Methode und identifiziert eine Schwierigkeit: Das Rückgrat eines Skelettdiagramms ist möglicherweise nicht ideal für ein anderes, das für unterschiedliche Antwortpaare erstellt wurde. Es müssen noch Methoden zur automatischen Auswahl dieser Variablen entwickelt werden.
Figur 3. Ein Paar Skelettdiagramme für dieselben Eingabevariablen.
Von Skeletten bis zu fliegenden Teppichen
Skelette helfen bei der Darstellung von Input-Output-Beziehungen, ihrer Größe und ihren Interaktionen. Sie zeigen keinen Bereich an Eigenschaften an, die erreicht werden können (unter der Bedingung, dass das Modell gilt). Einem Skelett fehlt Fleisch. Das Ausarbeiten der Skelette bedeutet, dass wir die Dimension der Knochen auf mindestens 2 erhöhen müssen, und das bringt uns zu fliegenden Teppichen. Eine Herausforderung bei dieser Anzeige besteht darin, einen Ankerpunkt auf optisch unaufdringliche Weise zu identifizieren.
Abbildung 4a und b. Konkretisierung des Grundgerüsts, das den Wassereffekt durch die Wirkung des Isocyanatindex darstellt.
Und wie sollen wir vorgehen, wenn es drei Eingabevariablen gibt? Es gibt zwei Möglichkeiten: Wir könnten von einem zweidimensionalen Objekt (Mannigfaltigkeit) zu einem dreidimensionalen übergehen oder wir könnten zweidimensionale Objekte wiederholen. Das heißt, wir könnten zu einer Ausstellung fliegender Würste oder zu mehreren fliegenden Teppichen gehen. Der erste Ansatz basiert auf einer optischen Täuschung: der Darstellung eines dreidimensionalen Objekts durch die Darstellung einer visuell kommentierten zweidimensionalen Form. Das ist sehr schwer umzusetzen und auch schwer zu erkennen. Der zweite Ansatz führt zu einfacheren Darstellungen auf der Konstruktions- und Betrachtungsebene.
Abbildung 5. Anordnung fliegender Teppiche.
Und hier endet es. Hier zeigen wir zwei Antworten und vier Eingabevariablen, um den Eigenschaftsbereich in Dichte und Härte darzustellen, der durch den ausgewählten Formulierungsbereich abgedeckt werden kann. Skelettdiagramme können etwas mehr Variablen aufnehmen als Anordnungen von Mannigfaltigkeiten (fliegende Teppiche). Im Beispiel haben wir sechs Eingabevariablen und zwei Antworten. Diese beiden Darstellungsarten sind in folgendem Sinne optimal: Sie sind gegenüber Einzelantwortdarstellungen deutlich besser, da sie mehr Variablen und mehr Zusammenhänge auf eine leichter verständliche Weise darstellen. Andererseits ist es nicht möglich, drei Antworten in einer einzigen Anzeige anzuzeigen, da hierfür die Illusion von Tiefe erforderlich ist. Aus dem gleichen Grund darf die Anzahl der Dimensionen, die im Anzeigeobjekt verwendet werden können, zwei nicht überschreiten.
Um über zwei Antworten hinauszugehen, müssen Anordnungen zweidimensionaler Projektionen oder Animationen der Diagramme angezeigt werden.
Gratgymnastik
Bisher haben wir Skelettgraphen für ein bekanntes Modell eingeführt und diskutiert. In der Praxis müssen Modelle aus Daten erstellt werden und ihre Parameter unterliegen Unsicherheiten. Wie kann man Unsicherheiten in Bezug auf das Modell und die Daten integrieren?
Zu diesem Zweck werden wir uns ein komplexes Beispiel noch einmal ansehen, über das Box und Liu [2] berichten. Dabei handelt es sich um Daten, die in der Optimierungsphase beim Entwurf von Papierhubschraubern gesammelt wurden, die fliegen, wenn sie von einer Bank fallen gelassen werden und deren Flugvariabilität gering ist. Es gibt zwei Antworten: die Flugzeit in Centisekunden, bezeichnet mit Y, und ein Maß für die Variabilität, 100*log10(stdev(Y)), bezeichnet mit LS. Es gibt vier Eingabevariablen: Flügelfläche (A), Verhältnis von Flügellänge zu Flügelbreite (Q), Körperlänge (L) und Körperbreite (W). Das Versuchsdesign war in Bezug auf diese vier Faktoren ein blockierter zentraler Verbund.
Der folgende Satz von Dual-Response-Anzeigen (eine Mischung aus fliegenden Teppichen und Skeletten) zeigt eine Möglichkeit, Rohdaten und Hauptmuster anzuzeigen. Das Diagramm oben links zeigt Schnitte, die für die beiden Variablen erstellt wurden, die insgesamt die größten linearen Effekte haben: Körperlänge (L) und Flügellängen-/-breitenverhältnis (Q). Wir sehen eine Tendenz bei Hubschraubern mit einem höheren Verhältnis von Flügellänge zu Länge, auf Kosten der Variabilität länger zu fliegen. Für die Körperlänge scheint kürzer besser zu sein (beachten Sie, dass sich „lang“ oder „kurz“ auf die gewählten experimentellen Bereiche beziehen. Wenn wir die linearen Anpassungen mit Anpassungen eines vollständigen Modells (einschließlich Wechselwirkungen und quadratischer Terme) mischen, sehen wir, dass sich die Schichten trennen und ziemlich unregelmäßig werden, wenn nur das vollständige Modell angezeigt wird. Das vollständige Modell passt zu gut und eine angemessene Passform liegt wahrscheinlich irgendwo in der Mitte.
Abbildung 6. Rohdaten und Modelle. Oben links: nur lineare Effekte, Schnitte in Flügel- und Körperlänge. Oben rechts: Mischung aus 0,8 Teilen linearem und 0,2 Teilen vollständigem Modell. Unten links: gleichmäßige Mischung aus linearem und vollständigem Modell, unten rechts: vollständiges Modell.
Bibliographie
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Mathematical Property Prediction Models for Flexible Polyurethane Foams, Proceedings of the 35 Th Jährliche Polyurethan-Technik-/Marketing-Konferenz, 225-238.
[2] GEP Box und P. Liu. Statistik als Katalysator für wissenschaftliches Lernen Teil I – Ein Beispiel. Zeitschrift für Qualitätstechnologie , 31(1):1-15, 1999.
