Christian Ritter , directeur exécutif, Ritter and Danielson Consulting
Abstrait
Les modèles non triviaux avec de multiples variables d'entrée et de sortie sont difficiles à visualiser, et la communication sur la signification statistique et la signification scientifique est loin d'être évidente. Ici, nous étudions la transition des affichages à réponse unique dans lesquels les effets de plusieurs variables X sont affichés pour une seule variable Y vers deux classes de graphiques à double réponse : les squelettes et les tapis volants, puis nous explorons comment l'incertitude du modèle peut être intégrée. .
Mots clés
Surfaces de réponse, analyse multivariée.
Exemple motivant : les mousses de polyuréthane
Commençons par un exemple pratique. Les mousses de polyuréthane utilisées pour fabriquer les matelas sont le résultat d'une simple réaction chimique. Dans cette réaction chimique, un alcool généralisé appelé polyol réagit avec l'isocyanate pour former un polymère élastique. Dans le même temps, l'eau réagit également avec l'isocyanate et forme de l'urée et du CO2. L'urée se disperse dans le polymère et le durcit, tandis que le CO2 forme des bulles qui éclatent à un moment donné les unes dans les autres pour former une mousse respirante. Les paramètres qui définissent les caractéristiques du produit comprennent la dureté, la densité, la résistance à la traction et l'allongement à la rupture. Les deux premiers paramètres sont liés à la dureté générale et à la classe de prix de la mousse, le second à ses propriétés élastiques.
Bien que la chimie soit assez simple, il existe néanmoins un nombre considérable de variables qui déterminent les caractéristiques de la mousse. Il y a la quantité d'isocyanate. Il est couramment choisi en léger excès pour assurer une réaction complète. L'excès d'isocyanate se dissout alors dans les domaines d'urée. De plus, la quantité d'eau par rapport au polyol à excès équivalent d'isocyanate va créer plus de gaz qui fait des bulles plus nombreuses et plus grosses et donc une mousse de densité plus faible. Dans le même temps, le polymère restant sera plus dur car il contient plus d'urée. Dans le même temps, les mousses moins denses ont moins de matériau pour retenir la mousse et sont en général plus molles.
D'autres facteurs déterminent les caractéristiques du produit. Des solides supplémentaires peuvent être ajoutés pour durcir la mousse, des matériaux générateurs de gaz auxiliaires peuvent réduire davantage la densité, des retardateurs de flamme peuvent être nécessaires pour passer la réglementation de sécurité, et la pression de l'air et l'humidité affectent le résultat. Cela signifie que le nombre de variables d'entrée et de réponses et la complexité de la relation sont suffisamment élevés pour rendre l'analyse de la relation assez délicate.
Le graphique suivant tente de montrer comment les trois variables les plus importantes affectent le résultat :
Figure 1. Graphique à réponse unique pour la dureté IFD des modèles présentés par R. Schiffauer [1].
Il s'agit d'un graphique à réponse unique avec plusieurs variables d'entrée. Notez que les relations et leurs tailles relatives peuvent être vues pour chaque variable, et on peut aussi les comparer. Cependant, aucune image récapitulative claire n'apparaît. Il est également difficile d'imaginer comment intégrer davantage de variables d'entrée et comment montrer les effets d'interaction. Enfin, puisque nous souhaitons comprendre comment les entrées affectent les réponses multiples, plusieurs de ces graphiques doivent être étudiés simultanément.
Beaucoup d'entre nous peuvent se rappeler des heures passées à expliquer de tels ensembles de graphiques aux scientifiques avec lesquels nous, statisticiens, collaborons et pour qui nous avons construit ces modèles.
Squelettes
Une première alternative est le schéma squelette pour deux réponses, comme illustré dans l'exemple ci-dessous (Figure 2). Ici, on cherche d'abord une hiérarchie entre les variables X. Comme colonne vertébrale, on sélectionne la variable qui a le plus fort effet conjoint sur les deux réponses. Dans l'exemple, il s'agit de la teneur en eau. Ensuite, les effets d'autres variables se greffent sur l'épine dorsale. Les variables qui montrent peu ou pas d'interaction avec la variable dorsale sont greffées une fois, les variables qui interagissent avec la variable dorsale sont greffées deux fois. Des interactions d'ordre supérieur peuvent être ajoutées sous forme d'« os » greffés à un deuxième niveau (ceci n'est pas illustré ici).
On obtient ainsi une représentation d'une situation très complexe d'une manière qui reste interprétable par les scientifiques. Dans l'exemple, l'épine dorsale est parfaitement logique : à mesure que le niveau d'eau augmente, la mousse devient moins dense (plus de gaz) et plus molle (moins de matière). Pourtant, plus d'eau signifie également un polymère plus dur. Un excès d'isocyanate plus élevé (indice) ou des solides supplémentaires augmentent la dureté avec peu ou pas d'effet sur la densité et leurs effets sont un peu différents pour les mousses à haute densité fabriquées avec peu d'eau (urée) par rapport aux mousses à faible densité à forte teneur en urée. Les agents gonflants auxiliaires (ici MeCl) et la pression d'air agissent de façon logique et opposée... Nous voyons que les relations principales, bien que complexes, peuvent être facilement expliquées et d'une manière beaucoup plus facile et plus claire que via une paire de graphiques à réponse unique.
Figure 2. Diagramme squelette de la dureté et de la densité IFD basé sur les modèles publiés par R. Schiffauer [1].
La paire de graphiques suivante montre une vue de deux diagrammes squelettes qui permettent d'explorer les quatre réponses simultanément. Cet affichage montre à la fois la force de la méthode et identifie une difficulté : l'ossature d'un squelette graphique peut ne pas être idéale pour un autre, faite pour différentes paires de réponses. Le développement de méthodes permettant de choisir automatiquement cette variable reste à concevoir.
Figure 3. Une paire de diagrammes squelettes pour les mêmes variables d'entrée.
Des squelettes aux tapis volants
Les squelettes aident à représenter les relations d'entrée-sortie, leurs tailles et leurs interactions. Ils n'affichent pas la gamme de propriétés qui peuvent être atteintes (sous la condition que le modèle soit respecté). Un squelette manque de chair. Faire étoffer les squelettes signifie que nous devons augmenter la dimension des os à au moins 2 et cela nous amène à des tapis volants. Un défi pour cet affichage est d'identifier un point d'ancrage d'une manière visuellement non intrusive.
Figures 4a et b. Élargissement de l'épine dorsale représentant l'effet de l'eau par l'effet de l'indice isocyanate.
Et lorsqu'il y a trois variables d'entrée, comment procéder ? Il y a deux possibilités : nous pourrions passer d'un objet bidimensionnel (manifold) à un objet tridimensionnel, ou nous pourrions répéter des objets bidimensionnels. C'est-à-dire que nous pourrions aller à des étalages de saucisses volantes ou à de multiples tapis volants. La première approche est basée sur une illusion d'optique : représenter un objet tridimensionnel en montrant une forme bidimensionnelle visuellement annotée. C'est très difficile à faire et aussi difficile à voir. La deuxième approche conduit à des affichages plus faciles au niveau de la construction et de la visualisation.
Figure 5. Disposition des tapis volants.
Et c'est à peu près là où ça se termine. Ici, nous montrons deux réponses et quatre variables d'entrée pour représenter la gamme de propriétés de densité et de dureté qui peut être couverte par la gamme de formulation sélectionnée. Les tracés squelettes peuvent accueillir un peu plus de variables que les arrangements de collecteurs (tapis volants). Dans l'exemple, nous avons six variables d'entrée et deux réponses. Ces deux types d'affichages sont optimaux dans le sens suivant : ils s'améliorent considérablement par rapport aux affichages à réponse unique en montrant plus de variables et plus de relations d'une manière plus facile à comprendre. En revanche, il n'est pas possible d'afficher trois réponses en un seul affichage car cela nécessite d'utiliser l'illusion de profondeur. Pour la même raison, le nombre de dimensions utilisables dans l'objet d'affichage ne peut excéder deux.
Aller au-delà de deux réponses nécessite de montrer des arrangements de projections bidimensionnelles ou d'animation des graphiques.
Gymnastique de crête
Jusqu'à présent, nous avons introduit et discuté les graphes squelettes dans le cas d'un modèle connu. En pratique, les modèles doivent être construits à partir de données et leurs paramètres sont sujets à incertitude. Comment intégrer l'incertitude vis-à-vis du modèle et des données ?
Pour cela, nous allons reprendre un exemple complexe rapporté box Box et Liu [2]. Il s'agit de données collectées en phase d'optimisation dans le processus de conception d'hélicoptères en papier qui volent au largage d'un banc et dont la variabilité de vol est faible. Il y a deux réponses, le temps de vol en centi-secondes noté Y et une mesure de variabilité, 100*log10(stdev(Y)), notée LS. Il y a quatre variables d'entrée, la surface de l'aile (A), le rapport longueur/largeur de l'aile (Q), la longueur du corps (L) et la largeur du corps (W). Le dispositif expérimental était un composite central bloqué dans ces quatre facteurs.
L'ensemble suivant d'affichage à double réponse (un mélange de tapis volants et de squelettes) montre une manière d'afficher les données brutes et les principaux modèles. Le graphique en haut à gauche montre les tranches faites pour les deux variables qui ont les effets linéaires globaux les plus importants, la longueur du corps (L) et le rapport longueur/largeur des ailes (Q). Nous constatons une tendance pour les hélicoptères avec un rapport longueur/largeur d'aile plus élevé à voler plus longtemps au détriment de la variabilité. Pour la longueur du corps, plus court semble préférable (notez que 'long' ou 'court' sont par rapport aux plages expérimentales choisies. Lorsque nous mélangeons les ajustements linéaires avec les ajustements d'un modèle complet (y compris les interactions et les termes quadratiques), nous constatons que les tranches se séparent et deviennent assez irrégulières lorsque seul le modèle complet est affiché. Le modèle complet sur-adapte et un ajustement raisonnable se situe probablement quelque part au milieu.
Figure 6. Données brutes et modèles. En haut à gauche : effets linéaires uniquement, tranches en longueur d'aile et de corps. En haut à droite : mélange de 0,8 parties linéaires et de 0,2 parties de modèle complet. En bas à gauche : même mélange de modèle linéaire et complet, en bas à droite : modèle complet.
Bibliographie
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Mathematical Property Prediction Models for Flexible Polyurethane Foams, Actes de la 35 e Conférence technique/marketing annuelle du polyuréthane, 225-238.
[2] Encadré GEP et P. Liu. Les statistiques comme catalyseur de l'apprentissage par la méthode scientifique Partie I – Un exemple. Journal de la technologie de la qualité , 31(1):1-15, 1999.
