克里斯蒂安·里特，執行董事，里特和丹尼爾森諮詢公司
抽象的
具有多個輸入和輸出變數的非平凡模型很難視覺化，關於統計顯著性和科學意義的交流也遠非顯而易見。 在這裡，我們正在研究從單響應顯示（其中顯示多個 X 變量對單個 Y 變量的影響）到兩類雙響應圖（骨架和飛毯）的過渡，然後探索如何整合模型的不確定性。
關鍵字
響應面，多變量分析。
激勵範例：聚氨酯泡沫
讓我們從一個實際的例子開始。 用於製造床墊的聚氨酯泡棉是簡單化學反應的結果。 在這種化學反應中，一種稱為多元醇的廣義醇與異氰酸酯反應形成彈性聚合物。 同時，水也與異氰酸酯反應，生成尿素和CO2。 尿素分散在聚合物中並使其硬化，而二氧化碳則形成氣泡，有時會相互破裂，形成透氣的泡沫。 定義產品特性的參數包括硬度、密度、拉伸強度和斷裂伸長率。 前兩個參數與泡棉的一般硬度和價格等級有關，第二個參數與泡棉的彈性特性有關。
儘管化學原理非常簡單，但仍有相當多的變數決定泡沫特性。 有異氰酸酯的量。 通常選擇稍微過量以確保充分反應。 然後過量的異氰酸酯溶解到脲域。 此外，當異氰酸酯過量時，相對於多元醇的水量將產生更多的氣體，從而產生更多更大的氣泡，並因此產生更低密度的泡沫。 同時，剩餘的聚合物會更硬，因為它含有更多的尿素。 同時，密度較低的泡沫具有較少的支撐泡沫的材料，並且通常更軟。
其他因素決定了產品的特性。 可以添加額外的固體來硬化泡沫，輔助氣體發生材料可以進一步降低密度，可能需要阻燃劑來通過安全法規，氣壓和濕度會影響結果。 這意味著輸入變數和反應的數量以及關係的複雜性足夠高，使得分析關係變得相當棘手。
下圖試圖顯示三個最重要的變數如何影響結果：
圖1。 R 提出的模型的 IFD 硬度的單一響應圖。 希福爾[1]。
這是具有多個輸入變數的單一響應圖。 請注意，可以看到每個變數的關係及其相對大小，也可以對它們進行比較。 然而，沒有出現清晰的摘要圖片。 也很難想像如何整合更多的輸入變數以及如何展現互動效果。 最後，由於我們希望了解輸入如何影響多個響應，因此必須同時研究其中幾個圖表。
我們中的許多人都記得花幾個小時向與我們（統計學家）合作的科學家解釋這些圖表，並為他們建立了這些模型。
骷髏
第一個替代方案是兩個反應的骨架圖，如下例所示（圖 2）。 在這裡，我們首先尋找 X 變數之間的層次結構。 作為骨幹，選擇對兩種反應具有最強聯合效應的變數。 在範例中，這是水含量。 然後其他變數的影響被嫁接到主幹。 與主幹變數很少或沒有交互作用的變數被嫁接一次，與主幹變數相互作用的變數被嫁接兩次。 更高階的相互作用可以添加為在第二級嫁接的“骨骼”（此處未顯示）。
結果，我們以科學家仍然可以解釋的方式展示了非常複雜的情況。 在這個例子中，主幹是完全合乎邏輯的：隨著水位的增加，泡沫變得不那麼稠密（更多的氣體）並且更柔軟（更少的物質）。 然而，更多的水也意味著更硬的聚合物。 較高的異氰酸酯過量（指數）或額外的固體會增加硬度，而對密度影響很小或沒有影響，並且它們的影響在用少量水（尿素）製成的高密度泡沫中與在高尿素含量的低密度泡棉中略有不同。 輔助發泡劑（此處為 MeCl）和氣壓以邏輯且相反的方式發揮作用… 我們看到，主要關係雖然複雜，但可以很容易地解釋，並且比透過一對單一響應圖更容易和更清晰。
圖 2. 基於 R. 發布的模型的 IFD 硬度和密度骨架圖。 希福爾[1]。
下面的一對圖顯示了兩個骨架圖的視圖，可以同時探索四個響應。 此顯示同時顯示了該方法的強度並確定了一個困難：一個骨架圖的主幹對於另一個針對不同的反應對而製作的骨架圖可能並不理想。 仍然需要設計自動選擇該變數的開發方法。
圖 3. 相同輸入變數的一對骨架圖。
從骷髏到飛毯
骨架有助於描繪輸入輸出關係、它們的大小以及它們的交互作用。 它們不會顯示可以獲得的屬性範圍（在模型成立的條件下）。 骷髏沒有肉。 充實骨骼意味著我們必須將骨骼的尺寸增加到至少 2，這樣我們就可以實現飛毯了。 該顯示的一個挑戰是以視覺上不侵入的方式識別錨點。
圖4a和b。 透過異氰酸酯指數的影響，充實代表水效應的骨架。
當有三個輸入變數時，我們該如何進行？ 有兩種可能性：我們可以從二維物件（流形）變成三維對象，或者我們可以重複二維對象。 也就是說，我們可以去看飛香腸展示或多個飛毯。 第一種方法是基於視錯覺：透過顯示視覺註釋的二維形狀來表示三維物件。 這很難做到，也很難看到。 第二種方法可以在建構和觀看層面上實現更輕鬆的顯示。
圖 5. 飛毯的佈置。
這就是結束的地方。 在這裡，我們顯示了兩個響應和四個輸入變量，以描繪所選配方範圍可以涵蓋的密度和硬度屬性範圍。 骨架圖比流形（飛毯）的排列可以容納更多的變數。 在範例中，我們有六個輸入變數和兩個回應。 這兩種類型的顯示在以下意義上是最佳的：它們透過以更容易理解的方式顯示更多變數和更多關係，大大改進了單一回應顯示。 另一方面，不可能在單一顯示器中顯示三個響應，因為這需要使用深度錯覺。 基於同樣的原因，顯示物件中可以使用的維度數不能超過兩個。
超越兩個反應需要顯示二維投影或圖形動畫的排列。
山脊體操
到目前為止，我們已經介紹並討論了已知模型情況下的骨架圖。 在實踐中，模型必須根據數據構建，且其參數存在不確定性。 如何整合模型和數據的不確定性？
為此，我們將重新審視 Box 和 Liu 報告的複雜範例 [2]。 它涉及設計紙直升機過程中優化階段收集的數據，該直升機從長凳上掉落時會飛行，並且飛行變異性較低。 有兩個反應，以厘秒為單位的飛行時間（以 Y 表示）和變異度量 100*log10(stdev(Y))（以 LS 表示）。 有四個輸入變量，機翼面積 (A)、機翼長/寬比 (Q)、體長 (L) 和體寬 (W)。 實驗設計是這四個因素的封閉中心組合。
下面一組雙重響應顯示（飛毯和骷髏的混合）展示了一種顯示原始數據和主要模式的方式。 左上圖顯示了針對總體線性效應最大的兩個變數（體長 (L) 和翼長/寬比 (Q)）製作的切片。 我們發現機翼長寬比較高的直升機傾向於以犧牲可變性為代價來飛行更遠的距離。 對於身體長度，較短似乎更好（請注意，“長”或“短”是相對於所選的實驗範圍而言的。 當我們將線性擬合與完整模型的擬合（包括交互作用和二次項）混合時，我們發現當僅顯示完整模型時，切片會分離並變得非常不規則。 完整模型過度擬合，合理擬合可能介於兩者之間。
圖 6. 原始數據和模型。 左上：僅線性效果，翅膀和身體長度的切片。 右上：0.8 部分線性模型和 0.2 部分完整模型的混合。 左下：線性模型和完整模型的均勻混合，右下：完整模型。
參考書目
[1] Reinhart Schiffauer (1994)，柔性聚氨酯泡沫的數學特性預測模型，第 35 屆會議論文集th年度聚氨酯技術/行銷會議，225-238。
[2] GEP 框和 P. 劉. 統計作為科學方法學習的催化劑第一部分—一個例子。 品質技術雜誌，31（1）：1-15，1999。
