Todo este mes, estoy escribiendo sobre George EP Box, como parte de la celebración de la Año Internacional de la Estadística . La semana pasada escribí sobre Diseños de caja-Behnken Para ajustar modelos de superficie de respuesta. En este post, quiero contarles acerca del papel que Box escribió en 1959 con HL "Curly" Lucas.
Me interesó este artículo por varias razones. Primero, Lucas es el padre de uno de mis colegas en SAS, Bob Lucas. Estaba hablando con Bob sobre esta publicación del blog, y él me dijo que su padre se llamaba Curly, no porque tuviera rizos, sino porque se parecía a Curly de los Tres Chiflados. También me interesó este artículo porque es uno de los primeros artículos sobre cómo diseñar experimentos para modelos que no son lineales en los parámetros.
¿Cómo empieza el papel?
El documento comienza con un ejemplo del tipo de problema que los autores desean abordar. Imaginan una reacción química en la que una sustancia A se descompone para formar la sustancia B, que a su vez se descompone para formar la sustancia C. El rendimiento, y, de B en función del tiempo, t, es
y = θ 1 {exp (θ 2 t) - exp (θ 1 t)} / (θ 1 - θ 2 )
El problema es elegir los tiempos de reacción en los cuales observar el rendimiento para obtener las estimaciones más precisas posibles de los parámetros desconocidos, 1 y θ 2 .
¿Qué pasa después?
Una subsección corta luego trata los aspectos prácticos de la elección de rangos para los factores. Por ejemplo, en el ejemplo de reacción, el tiempo debe ser positivo. La siguiente sección contiene el desarrollo analítico principal. Aquí, Box y Lucas introducen lo que equivale a un criterio de D-optimalidad local para el modelo no lineal. Señalan que la información en el diseño depende de los valores desconocidos de los parámetros, por lo que necesita una estimación inicial de los parámetros para comenzar.
También sugieren dos ideas para un trabajo posterior que parece profético. Una idea era considerar una distribución previa en los parámetros desconocidos. Esto conduce naturalmente a un criterio de Bayesian D-optimality, que es lo que el JMP Usos no lineales de diseño.
Su segunda idea fue considerar un enfoque secuencial en el que el investigador aumente los datos actuales agregando puntos que sean óptimos con respecto a las estimaciones de los parámetros actuales. Luego, se adquieren nuevas respuestas y se actualiza el modelo. Suponiendo que los parámetros ajustados cambien, habrá otro conjunto de ejecuciones óptimas para hacer. Esta es la práctica actual en algunos estudios de modelos de dosis-respuesta.
En este punto, vuelven a su ejemplo motivador, haciendo suposiciones de eso 1 = 0.7 y θ 2 = 0.2. Dados estos valores de parámetros, trazan el rendimiento en función del tiempo.
La Figura 1 muestra el diagrama de JMP Graph Builder de su función. Los dos signos más rojos están en los dos tiempos óptimos para obtener estimaciones precisas de los parámetros, dado que las estimaciones iniciales están cerca de ser correctas.
La Figura 2 muestra la forma de ingresar una función para usar con el diseñador no lineal en JMP.
La Tabla 1 muestra el diseño óptimo localmente producido por JMP usando valores de parámetros iniciales de 0.7 y 0.2.
En el artículo, Box y Lucas informan que los dos tiempos óptimos son 1.23 y 6.86. ¡Muy cerca de 1959!
¿Cómo termina el papel?
El resto del documento trata sobre la aplicación de métodos a otros ejemplos con uno o dos parámetros desconocidos. En su discusión al final del artículo, hacen un punto más interesante. A veces, los parámetros ingresan al modelo de tal manera que incluso el mejor diseño es incapaz de producir estimaciones de parámetros precisas. Señalan que, en muchos casos, las respuestas pronosticadas siguen siendo buenas, incluso si los parámetros no están definidos debido a las altas correlaciones entre ellos. A partir de ahí, solo sería necesario dar un pequeño paso para sugerir un criterio de optimización que minimice la varianza promedio de las respuestas.
GEP Box y HL Lucas (1959) "Diseño de experimentos en situaciones no lineales" Biometrika Vol. 46 No. 1 pp. 77-80.
