이번 달에 저는 George EP Box에 대해 글을 쓰고 있습니다. 국제 통계 연보 . 지난 주에 나는 Box-Behnken 디자인 피팅 응답 표면 모델. 이 글에서는 1959 년 HL "Curly"Lucas와 함께 작성한 Box Box에 관해 알려 드리고자합니다.
몇 가지 이유로이 백서에 관심이있었습니다. 첫째, 루카스는 나의 동료 중 한 명인 SAS, Bob Lucas의 아버지입니다. 나는이 블로그 게시물에 대해 Bob과 이야기를하고 있었는데, 그는 자신의 아버지가 곱슬을 썼기 때문에가 아니라 Curly of the Three Stooges처럼 보였다고 말했습니다. 또한이 논문이 매개 변수에서 비선형 인 모델에 대한 실험을 설계하는 방법에 대한 첫 번째 논문 중 하나이기 때문에이 보고서에도 관심이있었습니다.
논문은 어떻게 시작됩니까?
이 논문은 저자가 해결하고자하는 종류의 문제의 예에서 출발합니다. 그들은 물질 A가 분해되어 물질 B를 형성하고 다시 분해되어 물질 C를 형성하는 화학 반응을 상상합니다. 시간 t의 함수로서의 B의 수율 y는 다음과 같습니다.
y = θ 1 {exp (θ 2 t) - exp (θ 1 t)} / (θ 1 - θ 2 )
문제는 알 수없는 매개 변수 θ의 가능한 가장 정확한 추정치를 얻기 위해 수율을 관찰하는 반응 시간을 선택하는 것입니다 1 및 θ 2 .
다음에 어떻게 될까요?
짧은 하위 섹션에서는 요인 범위 선택의 실용성을 다룹니다. 예를 들어, 반응 예에서 시간은 양수 여야합니다. 다음 섹션에서는 주요 분석 개발에 대해 설명합니다. 여기서 Box와 Lucas는 비선형 모델에 대한 로컬 D- 최적 성 기준에 해당하는 것을 소개합니다. 그들은 디자인의 정보가 매개 변수의 알려지지 않은 값에 달려 있다고 지적하므로 시작하기 위해 매개 변수에 대한 초기 추측이 필요합니다.
그들은 또한 선견지명이있는 더 많은 연구를위한 두 가지 아이디어를 제안한다. 하나의 아이디어는 알려지지 않은 매개 변수에 대한 사전 분포를 고려하는 것이 었습니다. 이것은 자연스럽게 Bayesian D-optimality 기준으로 이어집니다. JMP 비선형 디자이너가 사용합니다.
두 번째 아이디어는 연구자가 현재 매개 변수 추정치와 관련하여 최적 인 점을 추가하여 현재 데이터를 확대하는 순차적 접근법을 고려하는 것입니다. 그런 다음 새 응답이 수집되고 모델이 업데이트됩니다. 맞는 매개 변수가 변경된다고 가정하면, 수행 할 최적의 실행 집합이 또 하나있을 것입니다. 이것은 일부 용량 반응 모델링 연구에서 현재의 관행입니다.
이 시점에서, 그들은 동기 부여 예제로 돌아와서 θ의 추측을한다. 1 = 0.7 및 θ 2 = 0.2이다. 이 매개 변수 값이 주어지면 시간의 함수로 수율을 그립니다.
그림 1은 JMP 그래프 빌더의 기능을 보여줍니다. 초기 추측이 정확하다는 점을 감안할 때, 두 개의 빨간색 더하기 부호는 최적의 두 번 매개 변수의 정확한 추정치를 얻는 데 적합합니다.
그림 2는 JMP에서 비선형 디자이너와 함께 사용할 함수를 입력하는 방법을 보여줍니다.
표 1은 0.7과 0.2의 초기 매개 변수 값을 사용하여 JMP에 의해 생성 된 국부 최적 디자인을 보여줍니다.
이 논문에서 Box와 Lucas는 두 최적 시간을 1.23과 6.86으로보고합니다. 1959 년 꽤 가깝다!
그 종이는 어떻게 끝나나요?
나머지 논문에서는 하나 또는 두 개의 알려지지 않은 매개 변수를 사용하여 다른 예제에 메소드를 적용하는 방법을 다룹니다. 기사 마지막 부분의 토론에서 그들은 한 가지 더 흥미로운 점을 제시합니다. 때로는 매개 변수가 모델을 입력하여 최상의 설계라도 정확한 매개 변수 추정을 생성 할 수 없게됩니다. 그들은 많은 경우에 매개 변수가 높은 상관 관계로 인해 못 박히지 않더라도 예측 된 응답이 여전히 양호하다고 지적합니다. 거기에서 응답의 평균 분산을 최소화하는 최적 성 기준을 제안하는 데는 작은 단계 만 거치게됩니다.
GEP Box and HL Lucas (1959) "비선형 상황에서의 실험 설계" Biometrika Vol. 46 1 pp. 77-80.
