今月中、私はGeorge EP Boxについて書いています。国際統計年 。先週、私は書いた Box-Behnkenデザイン応答曲面モデルの近似用。この記事では、Boxが1959年にHL“ Curly” Lucasと書いた論文についてお伝えします。
私はいくつかの理由でこの論文に興味がありました。まず、LucasはSASの私の同僚の1人、Bob Lucasの父です。私はちょうどこのブログ記事についてボブと話していました、そして、彼はカールがあったからではなく、彼がスリーバカからのカーリーのように見えたので彼の父がカーリーと呼ばれたと私に言いました。この論文は、パラメータが非線形なモデルの実験計画法に関する最初の論文の1つであるため、この論文にも興味がありました。
論文はどのように始まりますか？
本稿は、著者が取り上げたい問題の種類の例から始めます。彼らは、物質Aが分解して物質Bを形成するという化学反応を想像しています。物質Bは次に分解して物質Cを形成します。時間tの関数としてのBの収率yは、
y =θ 1 {exp（θ 2 t） - exp（θ） 1 t）} /（θ 1 - θ 2 ）
問題は、未知パラメータθの最も正確な推定値を得るために、収率を観察するための反応時間を選択することである。 1 とθ 2 。
次は何が起こる？
それから短い小区分は要因のために範囲を選ぶことの実用性を扱います。例えば、反応例では、時間は正である必要があります。次のセクションは主な分析開発を含みます。ここで、BoxとLucasは、非線形モデルの局所的なD最適性基準になるものを紹介します。彼らは、デザイン内の情報はパラメータの未知の値に依存していることを指摘しているので、最初にパラメータを推測する必要があります。
彼らはまた、先見性があると思われる、さらなる作業のための2つのアイデアを提案しています。1つの考えは、未知のパラメータに関する事前分布を考慮することでした。これは必然的にベイズのD最適性基準につながります。 JMP 非線形デザイナーが使用します。
彼らの第二の考えは、現在のパラメータ推定値に関して最適である点を追加することによって研究者が現在のデータを増大させる逐次アプローチを検討することでした。そして、新たな回答が取得され、モデルが更新される。フィットしたパラメータが変化したと仮定すると、もう1組の最適な実行があります。これはいくつかの用量反応モデリング研究における現在の慣習である。
この時点で、彼らは彼らのやる気を起こさせる例に戻り、そのθの推測をします 1 = 0.7、θ 2 ＝ ０．２。これらのパラメータ値が与えられると、彼らは時間の関数として収量をプロットします。
図1は、それらの機能のJMPグラフビルダープロットを示しています。2つの赤いプラス記号は、最初の推測が正しいことに近いことを考えると、パラメーターの正確な推定値を得るのに最適な2倍です。
図2は、JMPでノンリニアデザイナーを使用するための関数を入力する方法を示しています。
表1は、初期パラメーター値0.7および0.2を使用してJMPによって作成されたローカル最適設計を示しています。
本稿では、BoxとLucasは、2つの最適時間を1.23と6.86と報告しています。1959年にはかなり近いです！
紙はどうやって終わるの？
本稿の残りの部分では、1つか2つの未知のパラメータを持つ他の例にそこでの方法を適用することを扱います。記事の終わりにある彼らの議論で、彼らはもう一つ本当に興味深い点を挙げています。時には、最良の設計でも正確なパラメータ推定値を生成できないような方法でパラメータがモデルに入力されます。彼らは、多くの場合、それらの間の高い相関のためにパラメータが決定されていなくても予測された応答はまだ良好であると指摘している。そこから、応答の平均分散を最小にする最適性基準を提案するために少しのステップしかかかりません。
GEP Box and HL Lucas（1959）「非線形状況における実験計画法」 バイオメトリカ Ｖｏｌ。４６ Ｎｏ．１ ｐｐ．７７−８０。
