Tutto questo mese, sto scrivendo su George EP Box, come parte della celebrazione del Anno internazionale delle statistiche . La settimana scorsa, ho scritto su Disegni Box-Behnken per il montaggio di modelli di superficie di risposta. In questo post, voglio parlarvi della scatola di carta scritta nel 1959 con HL "Curly" Lucas.
Ero interessato a questo documento per diversi motivi. Innanzitutto, Lucas è il padre di uno dei miei colleghi di SAS, Bob Lucas. Stavo solo parlando con Bob di questo post sul blog, e lui mi ha detto che suo padre si chiamava Curly non perché aveva i riccioli ma perché somigliava a Curly dei Tre marmittoni. Mi interessava anche questo articolo perché è uno dei primi lavori su come progettare esperimenti per modelli non lineari nei parametri.
Come inizia la carta?
Il documento inizia con un esempio del tipo di problema che gli autori desiderano affrontare. Immaginano una reazione chimica in cui una sostanza A si decompone per formare la sostanza B, che a sua volta si decompone per formare la sostanza C. La resa, y, di B in funzione del tempo, t, è
y = θ 1 {exp (θ 2 t) - exp (θ 1 t)} / (θ 1 - θ 2 )
Il problema è scegliere i tempi di reazione a cui osservare la resa per ottenere le stime più precise possibili dei parametri sconosciuti, θ 1 e θ 2 .
Cosa succede dopo?
Una breve sottosezione tratta quindi degli aspetti pratici della scelta degli intervalli per i fattori. Ad esempio, nell'esempio di reazione, il tempo deve essere positivo. La seguente sezione contiene il principale sviluppo analitico. Qui, Box e Lucas introducono ciò che equivale a un criterio di ottimalità D locale per il modello non lineare. Sottolineano che le informazioni nel progetto dipendono dai valori sconosciuti dei parametri, quindi è necessario un primo tentativo di indizio sui parametri per iniziare.
Suggeriscono anche due idee per ulteriori lavori che sembrano preveggenti. Un'idea era di considerare una distribuzione precedente sui parametri sconosciuti. Questo naturalmente porta a un criterio di ottimalità della D Bayesiana, che è ciò che il JMP usi del progettista non lineare.
La loro seconda idea era di considerare un approccio sequenziale in cui il ricercatore aumentasse i dati attuali aggiungendo punti che sono ottimali rispetto alle attuali stime dei parametri. Quindi, vengono acquisite nuove risposte e il modello viene aggiornato. Supponendo che i parametri adattati cambino, ci sarebbe un altro set di run ottimali da fare. Questa è la pratica corrente in alcuni studi di modellazione della dose-risposta.
A questo punto, ritornano al loro esempio motivante, facendo congetture su quel θ 1 = 0,7 e θ 2 = 0,2. Dati questi valori di parametro, tracciano il rendimento in funzione del tempo.
La Figura 1 mostra il grafico di JMP Graph Builder della loro funzione. I due segni rossi più sono due volte ottimali per ottenere stime precise dei parametri, dato che le ipotesi iniziali sono vicine alla correttezza.
La Figura 2 mostra come inserire una funzione da utilizzare con il designer non lineare in JMP.
La Tabella 1 mostra il progetto localmente ottimale prodotto da JMP utilizzando i valori dei parametri iniziali di 0,7 e 0,2.
Nel documento, Box e Lucas riportano i due tempi ottimali come 1,23 e 6,86. Abbastanza vicino per il 1959!
Come finisce la carta?
Il resto del lavoro riguarda l'applicazione di questi metodi ad altri esempi con uno o due parametri sconosciuti. Nella loro discussione alla fine dell'articolo, fanno un altro punto davvero interessante. A volte, i parametri entrano nel modello in modo tale che persino il miglior design non sia in grado di produrre stime parametriche precise. Sottolineano che in molti casi le risposte previste sono ancora buone anche se i parametri non sono inchiodati a causa di alte correlazioni tra loro. Da lì, ci vorrebbe solo un piccolo passo per suggerire un criterio di ottimalità che minimizzi la varianza media delle risposte.
GEP Box e HL Lucas (1959) "Progetto di esperimenti in situazioni non lineari" Biometrika Vol. 46 n. 1 pagg. 77-80.
