Ich schreibe den ganzen Monat über George EP Box als Teil der Feier der Internationales Jahr der Statistik . Letzte Woche habe ich darüber geschrieben Box-Behnken-Designs zur Montage von Antwortflächenmodellen. In diesem Beitrag möchte ich Ihnen etwas über das Papier erzählen, das Box 1959 mit HL "Curly" Lucas geschrieben hat.
Ich habe mich aus mehreren Gründen für dieses Papier interessiert. Erstens, Lucas ist der Vater eines meiner Kollegen bei SAS, Bob Lucas. Ich habe gerade mit Bob über diesen Blog-Post gesprochen, und er sagte mir, dass sein Vater Curly hieß, nicht weil er Locken hatte, sondern weil er wie Curly aus den Drei Handlern aussah. Ich habe mich auch für dieses Papier interessiert, weil es eines der ersten ist, wie Experimente für Modelle entworfen werden sollen, die in den Parametern nichtlinear sind.
Wie fängt das Papier an?
Die Arbeit beginnt mit einem Beispiel für das Problem, mit dem sich die Autoren befassen möchten. Sie stellen sich eine chemische Reaktion vor, bei der sich eine Substanz A zu Substanz B zersetzt, die wiederum zu Substanz C zerfällt. Die Ausbeute y von B als Funktion der Zeit t ist
y = θ 1 {exp (θ 2 t) - exp (θ 1 t)} / (θ 1 - θ 2 )
Das Problem besteht darin, Reaktionszeiten zu wählen, an denen die Ausbeute beobachtet werden soll, um möglichst genaue Schätzungen der unbekannten Parameter θ zu erhalten 1 und θ 2 .
Was passiert als nächstes?
Ein kurzer Unterabschnitt befasst sich dann mit den Praktiken der Auswahl von Bereichen für die Faktoren. Zum Beispiel muss die Zeit im Reaktionsbeispiel positiv sein. Der folgende Abschnitt enthält die wichtigsten analytischen Entwicklungen. Hier stellen Box und Lucas vor, was für das nichtlineare Modell ein lokales D-Optimalitätskriterium darstellt. Sie weisen darauf hin, dass die Informationen im Design von den unbekannten Werten der Parameter abhängen, daher benötigen Sie zunächst einen ersten Eindruck der Parameter, um zu beginnen.
Sie schlagen auch zwei Ideen für die weitere Arbeit vor, die vorzeitig erscheinen. Eine Idee war, eine vorherige Verteilung der unbekannten Parameter zu berücksichtigen. Dies führt natürlich zu einem Bayes'schen D-Optimalitätskriterium, welches dem entspricht JMP Nichtlineare Designeranwendungen.
Ihre zweite Idee war die Betrachtung eines sequentiellen Ansatzes, bei dem der Forscher die aktuellen Daten durch Hinzufügen von Punkten ergänzt, die im Hinblick auf die aktuellen Parameterschätzungen optimal sind. Dann werden neue Antworten erfasst und das Modell aktualisiert. Unter der Annahme, dass sich die angepassten Parameter ändern, wäre ein weiterer Satz optimaler Läufe erforderlich. Dies ist gängige Praxis in einigen Dosis-Antwort-Modellierungsstudien.
An diesem Punkt kehren sie zu ihrem motivierenden Beispiel zurück und machen Vermutungen dieses θ 1 = 0,7 und θ 2 = 0,2. Bei diesen Parameterwerten wird die Ausbeute als Funktion der Zeit dargestellt.
Abbildung 1 zeigt den JMP Graph Builder-Plot ihrer Funktion. Die beiden roten Pluszeichen sind zwei Mal optimal, um eine genaue Abschätzung der Parameter zu erhalten, vorausgesetzt, dass die anfänglichen Vermutungen beinahe korrekt sind.
Abbildung 2 zeigt die Eingabe einer Funktion zur Verwendung mit dem nichtlinearen Designer in JMP.
Tabelle 1 zeigt das lokal optimale Design, das von JMP mit anfänglichen Parameterwerten von 0,7 und 0,2 erstellt wurde.
In der Zeitung geben Box und Lucas die beiden optimalen Zeiten als 1,23 und 6,86 an. Ziemlich nah für 1959!
Wie endet das Papier?
Der Rest der Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung von Methoden auf andere Beispiele mit einem oder zwei unbekannten Parametern. In ihrer Diskussion am Ende des Artikels machen sie noch einen wirklich interessanten Punkt. Manchmal werden die Parameter so in das Modell eingegeben, dass selbst das beste Design nicht in der Lage ist, genaue Parameterschätzungen zu erstellen. Sie weisen darauf hin, dass die vorhergesagten Reaktionen in vielen Fällen immer noch gut sind, auch wenn die Parameter aufgrund der hohen Korrelationen zwischen ihnen nicht festgenagelt werden. Von dort aus wäre es nur ein kleiner Schritt, um ein Optimalitätskriterium vorzuschlagen, das die durchschnittliche Abweichung der Antworten minimiert.
GEP Box und HL Lucas (1959) "Entwurf von Experimenten in nichtlinearen Situationen" Biometrika Vol. 46 Nr. 1, S. 77-80.
