Tout ce mois-ci, j'écris à propos de George EP Box, dans le cadre de la célébration du Année internationale de la statistique . La semaine dernière, j'ai écrit à propos de Dessins Box-Behnken pour ajuster les modèles de surface de réponse. Dans cet article, je veux vous parler du papier que Box a écrit en 1959 avec HL “Curly” Lucas.
Cet article m'intéressait pour plusieurs raisons. Tout d'abord, Lucas est le père de l'un de mes collègues de SAS, Bob Lucas. Je viens de parler à Bob de ce billet de blog et il m'a dit que son père s'appelait Curly, non pas parce qu'il avait des boucles, mais parce qu'il ressemblait à Curly des Trois Stooges. Cet article m'intéressait également, car il s'agit de l'un des premiers articles sur la conception d'expériences pour des modèles non linéaires dans les paramètres.
Comment commence le papier?
Le document commence par un exemple du type de problème que les auteurs veulent aborder. Ils imaginent une réaction chimique dans laquelle une substance A se décompose pour former une substance B, qui à son tour se décompose pour former une substance C. Le rendement y de B en fonction du temps t est
y = θ 1 {exp (θ 2 t) - exp (θ 1 t)} / (θ 1 - θ 2 )
Le problème est de choisir les temps de réaction auxquels il faut observer le rendement pour obtenir les estimations les plus précises possibles des paramètres inconnus, θ 1 et θ 2 .
Qu'est-ce qui se passe ensuite?
Une courte sous-section aborde ensuite les aspects pratiques du choix des plages pour les facteurs. Par exemple, dans l'exemple de réaction, le temps doit être positif. La section suivante contient le développement analytique principal. Box et Lucas introduisent ici ce qui constitue un critère local D-optimalité pour le modèle non linéaire. Ils soulignent que les informations de la conception dépendent des valeurs inconnues des paramètres. Vous devez donc deviner les paramètres pour commencer.
Ils suggèrent également deux idées de travail ultérieur qui semblent pragmatiques. Une idée était de considérer une distribution préalable sur les paramètres inconnus. Ceci conduit naturellement à un critère bayésien de D-optimalité, qui est ce que JMP utilisations non linéaire de concepteur.
La deuxième idée était d’envisager une approche séquentielle dans laquelle le chercheur augmentait les données actuelles en ajoutant des points optimaux par rapport aux estimations de paramètres actuelles. Ensuite, de nouvelles réponses sont acquises et le modèle est mis à jour. En supposant que les paramètres ajustés changent, il y aurait un autre ensemble d'essais optimaux à faire. C'est la pratique courante dans certaines études de modélisation dose-réponse.
À ce stade, ils reviennent à leur exemple motivant, en devinant que θ 1 = 0,7 et θ 2 = 0,2. Étant donné ces valeurs de paramètre, ils tracent le rendement en fonction du temps.
La figure 1 présente le tracé de JMP Graph Builder de leur fonction. Les deux signes plus rouges sont aux deux moments optimaux pour obtenir des estimations précises des paramètres, étant donné que les suppositions initiales sont proches de l'exactitude.
La figure 2 montre comment entrer une fonction à utiliser avec le concepteur non linéaire dans JMP.
Le tableau 1 montre la conception localement optimale produite par JMP en utilisant les valeurs de paramètre initiales de 0,7 et 0,2.
Box et Lucas indiquent dans les journaux que les deux temps optimaux sont 1,23 et 6,86. Assez proche pour 1959!
Comment se termine le papier?
Le reste de l'article traite de l'application de leurs méthodes à d'autres exemples avec un ou deux paramètres inconnus. Dans leur discussion à la fin de l'article, ils soulèvent un autre point vraiment intéressant. Parfois, les paramètres entrent dans le modèle de telle sorte que même la meilleure conception est incapable de produire des estimations de paramètres précises. Ils soulignent que, dans de nombreux cas, les réponses prédites sont toujours bonnes, même si les paramètres ne sont pas définis en raison de la forte corrélation qui existe entre eux. À partir de là, il ne faudrait qu’un petit pas pour suggérer un critère d’optimalité minimisant la variance moyenne des réponses.
GEP Box et HL Lucas (1959) «Conception d'expériences dans des situations non linéaires» Biometrika Vol. 46 N ° 1 p. 77-80.
