En esto Año Internacional de la Estadística , nosotros en JMP somos celebrando estadísticos famosos sobre una base mensual. Este mes es mi turno, y a principios de este año elegí al Profesor George EP Box como el tema de mi celebración. Tenía muchas ganas de escribir esta pieza porque conocía a George personalmente y he sido un admirador suyo desde el principio de mi carrera.
Lamentablemente, George falleció a fines de marzo y escribí un recuerdo de él para el blog de JMP en ese momento. Esa publicación del blog expresa lo que habría escrito en una publicación que lo celebraba. Entonces, en lugar de hablar en general sobre su vida y sus logros, en este post me centraré en uno de sus muchos y excelentes trabajos. Mi plan es escribir varias publicaciones de blog de este tipo este mes, cada una enfatizando una diferente de sus maravillosas publicaciones. Uno de los beneficios para mí es que puedo volver a leer estos documentos.
En este post, quiero centrarme en la primera parte de su artículo de dos partes con J. Stuart Hunter sobre la familia de diseños factoriales fraccionarios regulares de dos niveles que se publicó en Tecnometría en 1961.
Este artículo seminal tiene 40 páginas, y una cosa que encontré notable fue que el contenido matemático no pasó de aritmética y ¡un poco de álgebra! A pesar de esto, hay muchos resultados fundamentales en este documento, pero todos se expresan en lenguaje natural sin pruebas formales. Eso fue refrescante.
¿Cómo empieza el papel?
El artículo comienza con una breve exposición del diseño factorial completo de dos niveles en k Factores Muestra cómo estos diseños pueden estimar las interacciones de todos los pedidos hasta el k -actividad del factor. Esto proporciona la motivación y los antecedentes para introducir una media fracción del diseño factorial completo. Ilustran el método de construcción utilizando los 2 (4-1) el diseño muestra cómo se comienza con el diseño factorial completo en tres factores y luego se agrega un cuarto factor al calcular el producto elementwise de los tres primeros factores.
¿Puedes mostrar esto en JMP?
Para reconstruir su ejemplo de la manera en que lo hicieron usando JMP, Empezamos utilizando el diseñador de factorial completo. Llamamos a nuestros factores 1, 2 y 3 ya nuestra respuesta Y. Calculamos la cuarta columna con el editor de fórmulas. La columna Y en nuestra Tabla 1 a continuación tiene los mismos valores que los que usan en su Tabla 3.
Por supuesto, también podríamos utilizar el Diseñador de cribado en JMP para ingresar 4 factores. El diseño que queremos es el primero en la lista. 
¿Qué pasa después?
Ahora tienen un diseño con 8 carreras que es la mitad de las carreras que están en el diseño factorial completo con cuatro factores. Con el diseño factorial completo, puede estimar 16 efectos: el promedio general, 4 efectos principales, 6 interacciones de dos factores, 4 interacciones de tres factores y 1 interacción de cuatro factores (16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1) . Ahora con 8 carreras, solo puedes estimar 8 efectos. Resulta que la construcción que usan los autores confunde los 16 efectos del factorial completo en 8 pares de efectos. El promedio se confunde con la interacción de cuatro factores. Los 4 efectos principales se confunden con una de las 4 interacciones de tres factores. Finalmente, las 6 interacciones de dos factores se confunden en 3 pares (8 = 1 + 4 + 3).
La Figura 1 a continuación muestra el análisis de la plataforma de selección de JMP. Los valores que reportan JMP son la mitad de las cantidades que Box y Hunter reportan, porque definen sus efectos como la diferencia en la respuesta cuando se cambia de un nivel del factor a otro. JMP define un efecto como el cambio en la respuesta debido a un cambio de una unidad en el factor. Dado que un nivel del factor se codifica -1 y el otro se codifica +1, cada factor cambia en dos unidades que van de su nivel bajo a su nivel alto. Por lo tanto, el efecto de un cambio de una unidad es la mitad del efecto de ir de bajo a alto.
¿Cómo va el resto del papel?
Por supuesto, el papel es demasiado largo para que cubra todo lo que Box y Hunter presentan, especialmente en este nivel de detalle. Éstos son algunos de los grandes conceptos:
Generalizando su ejemplo de factor 4, muestran que la mejor manera de crear una fracción media de un k factor de diseño factorial completo es comenzar con un diseño factorial completo en k - 1 factores y luego calcular la última columna calculando el producto elementwise del original k - 1 columnas. También muestran que se puede reconstituir el factorial completo combinando una media fracción con otra media fracción que donde cada valor en la segunda fracción se obtiene al multiplicar el valor correspondiente en la primera fracción por –1. Esto lleva al concepto de diseño de plegado, un término que también introducen aquí.Presentan la idea de resolución de diseño y definen los diseños de resolución III, IV y V. Presentando la idea de un diseño saturado, describen diseños de resolución III de 7 factores en 8 ejecuciones, 15 factores en 16 ejecuciones y 31 factores en 32 ejecuciones. También le lanzaron un hueso a Plackett y Burman (1946) mencionando sus construcciones de 11 factores en 12 carreras, 19 factores en 20 carreras, 23 factores en 24 carreras, etc.Presentan la idea de los generadores de diseño y utilizan esta idea para mostrar cómo bloquear los diseños factoriales fraccionarios en grupos de ejecuciones que tienen 2, 4, 8 o alguna otra potencia de 2 ejecuciones por bloque.Muestran cómo obtener diseños de resolución IV al plegar un diseño de resolución III e introducen la idea de proyectividad de diseño. Por ejemplo, afirman que cada diseño de resolución IV se proyecta a un factorial completo (o factorial completo replicado) en cualquiera de los tres factores. El beneficio de esto es que si solo tres factores resultan ser importantes, es posible estimar todos los efectos de interacción de esos tres factores. Y, no importa cuáles son los tres importantes.¿Dónde ha ido el diseño para la proyección en los más de 50 años desde entonces?
Es un tributo al poder y la simplicidad combinados de este enfoque el hecho de que los diseños factoriales fraccionarios regulares de dos niveles todavía se usan con frecuencia hoy en día. La construcción y el análisis de estos diseños no requieren una computadora, lo que los hizo populares cuando las computadoras eran raras. Por supuesto, los cálculos pueden ser un poco tediosos, por lo que hacer que una computadora los haga por usted genera menos errores y más tiempo libre.
En el mismo año en que se publicó este artículo, Hall publicó 5 arreglos ortogonales diferentes para 15 factores en 16 ejecuciones. El diseño saturado en la caja y el papel de Hunter fue uno de los 5. Este documento también fue fundamental, ya que resulta que todas las matrices ortogonales 16 se ejecutan, ya que los factores son las proyecciones de las matrices Hall.
Cuarenta años después, Sun, et al. (2002) catalogaron todos los diseños de ejecución ortogonales 16 para 5 a 14 factores. Para 9 a 14 factores, los 16 diseños de ejecución de Box y Hunter son todos de resolución III, lo que significa que los efectos principales se confunden con interacciones de dos factores. Sun, et al. Se encontraron diseños en estos casos donde ninguna de las interacciones de dos factores confunde un efecto principal. En cambio, algunas interacciones de dos factores pueden estar correlacionadas ya sea más o menos la mitad con un efecto principal. La ventaja de estos diseños es que los efectos principales se pueden identificar sin la ambigüedad incorporada que conllevan los diseños de resolución III.
Referencias
Box, GEP y Hunter, JS (1961) "Los diseños factoriales fraccionarios 2k-p, parte I" Tecnometría Vol. 3, No. 3 311-351.
Hall, M. Jr. (1961). Matriz de Hadamard de orden 16. Resumen de investigaciones del laboratorio de propulsión a chorro, 1, 21-26.
Sun, DX, Li, W. y Ye, KQ (2002), “Algoritmo para la construcción secuencial de diseños ortogonales no isomorfos y sus aplicaciones”, Informe técnico SUNYSB-AMS-02-13, Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook, Departamento de Matemáticas Aplicadas y Estadística.
Celebrando a los estadísticos II: George Box y los diseños de Box-Behnken - Blog JMP escribió:
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