これで国際統計年 JMPの私達は有名な統計家を祝う毎月。今月が私の番です、そして今年の初め、私は私のお祝いの対象としてGeorge EP Box教授を選びました。私は個人的にジョージを知っていたので、私がこの作品を書くのを楽しみにしていました、そして私のキャリアの初めから彼の崇拝者でした。
悲しいことに、ジョージは3月下旬に亡くなりました。記憶当時のJMPブログのために彼の。そのブログ記事は、私を彼を祝う記事に書いていたことを表しています。それで、彼の人生と業績について一般的に話す代わりに、この記事で私は彼の多くの素晴らしい論文のうちの1つに焦点を合わせます。私の計画は今月このようなブログ記事をいくつか書くことです。それぞれが彼の素晴らしい出版物の異なるものを強調しています。私にとっての利点の一つは、私がこれらの論文を読み直すことができるということです。
この記事では、J。Stuart Hunterとの2部構成の論文のうち、最初の2つの部分からなる論文に焦点を当てたいと思います。テクノメトリックス 1961年に
この独創的な論文は40ページの長さです、そして私がそれについて注目に値する1つのことは数学的内容が算術と少し代数を過ぎて行かなかったということでした！それにもかかわらず、このホワイトペーパーには多くの基本的な結果がありますが、すべて正式な証明なしに自然言語で述べられています。それは爽快でした。
論文はどのように始まりますか？
本稿は、2レベルの完全要因計画の簡単な説明から始まります。 k 要因 それは、これらの設計がどのようにしてすべての注文の相互作用を推定することができるかを示しています。 k と要素の相互作用 これは、完全な要因計画の半分を導入するための動機と背景を提供します。彼らは2を使用して構築方法を示しています （4-1） どのようにして最初の3つの要素の要素ごとの積を計算することによって、4つの要素を追加するかを示す設計。
これをJMPで見せていただけますか。
彼らの例を再利用するには JMP、私たちは、完全階乗デザイナーを使用することから始めます。ファクター1、2、3と応答Yとします。式エディターを使用して4列目を計算します。下記の表1のY列は、表3で使用しているものと同じ値です。
もちろん、JMPのScreening Designerを使用して4つの要素を入力することもできます。欲しいデザインはリストの最初です。:-)
次は何が起こる？
彼らは現在、4つの要素を含む完全な要素計画の半分の数である8つの要素を含むデザインを持っています。完全な要因計画を使用すると、全体の平均、4つの主な効果、6つの2要素間の相互作用、4つの3要素間の相互作用、1つの4要素間の相互作用の16の効果を推定できます。。8回の実行では、8回の効果しか推定できません。著者が使用している構造は、全階乗の16の効果を8対の効果に混同していることがわかります。平均は四因子相互作用と混同されます。4つの主な効果は、それぞれ4つの3因子相互作用のうちの1つと混同されています。最後に、6つの2因子相互作用は3つのペアに混同されます（8 = 1 + 4 + 3）。
下の図1は、JMPスクリーニングプラットフォームの分析結果を示しています。JMPが報告する値は、BoxとHunterが報告する量の半分です。なぜなら、それらは、あるレベルの因子から別のレベルの因子に変化したときの反応の違いとしてそれらの効果を定義するからです。JMPでは、1単位の要因の変化による反応の変化として効果を定義しています。因子の一方のレベルは-1、もう一方のレベルは+1と符号化されているため、各因子は低レベルから高レベルに向かって2単位ずつ変化します。したがって、1単位の変更による影響は、低から高への影響の半分です。
紙の残りの部分はどうなっていますか？
もちろん、この記事はBoxとHunterが紹介するすべてを網羅するには長すぎます。特にこのレベルの詳細ではありません。ここにいくつかの大きな概念があります：
彼らの4因子の例を一般化すると、彼らは、2分の1を作成する最善の方法を示しています。 k ファクタフル要因計画は、フル要因設計から始めることです。 k - 1因子を計算し、元の要素ごとの積を計算して最後の列を計算する k - 1列 また、2つ目の分数のすべての値が1つ目の分数の対応する値に-1を掛けることによって得られる、2つの分数と別の半分の分数を組み合わせることで完全階乗を再構成できることも示しています。これは、折り畳み式デザインの概念、つまりここで紹介する用語につながります。彼らはデザインの解像度のアイデアを紹介し、解像度III、IV、Vのデザインを定義します。飽和したデザインのアイデアを紹介して、彼らは8つの実行で7つの要素、16の実行で15の要素と32の実行で31の要素の解決IIIデザインを記述します。彼らはまた、Plackett and Burman（1946）に、12回の実行で11個の要素、20回の実行で19個の要素、24回の実行で23個の要素の構成などについて言及しています。彼らは、デザインジェネレータのアイデアを紹介し、このアイデアを使用して、ブロックごとに2、4、8、またはその他の2のべき乗の実行を含む実行のグループで、フラクショナル要因計画をブロックする方法を示します。彼らは、決議IIIのデザインを折り重ねることによって決議IVのデザインを得る方法を示し、そしてデザインの射影性のアイデアを紹介します。例えば、彼らは、すべての決議Ⅳ設計は、3つの要素のうちの完全な階乗（または複製された完全な階乗）に射影すると述べています。これの利点は、3つの要因のみが重要であると判明した場合、それら3つの要因のすべての相互作用効果を推定することが可能であるということです。そして、どちらが重要であるかは問題ではありません。それ以来、50年以上に渡り、スクリーニングのためのデザインはどこに行ったのでしょうか。
通常の2レベルのフラクショナル要因計画が今日もなお頻繁に使用されていることは、このアプローチの力と単純さの組み合わせに対する賛辞です。これらのデザインの構築と分析はコンピュータを必要としないので、コンピュータがまれであったときにそれらが普及しました。もちろん、計算は少し面倒なので、コンピュータに代わって計算させると、エラーが減り、空き時間が増えます。
この論文の出版と同じ年に、Hallは16回の実行で15個の因子に対して5つの異なる直交配列を発表しました。Box and Hunterの論文の飽和デザインは5つのうちの1つでした。この論文はまた、より少ないファクタのために走る全ての直交アレイ１６がホールアレイの投影であることがわかるので基本的なものでもあった。
40年後、Sun他。（2002）5から14の要因のためにすべての直交する16ランの設計をカタログ化しました。9から14のファクターの場合、BoxとHunterの16のランデザインはすべて決議IIIであり、これは主な効果が2つのファクターの相互作用と混同されることを意味します。Ｓｕｎ、ｅｔ ａｌ。これら2つの要因の相互作用のどれも主な効果を混同しないような場合にデザインが見つかりました。代わりに、いくつかの二因子相互作用は主効果とプラスまたはマイナス半分のいずれかで相関し得る。これらの設計の利点は、解決策IIIの設計に伴う組み込みのあいまいさなしに主な効果を識別できることです。
参考文献
Box、GEP and Hunter、JS（1961）「2k-pフラクショナル階乗設計その1」 テクノメトリックス第３巻、第３号３１１−３５１。
ホール、M。ジュニア （1961）。16次のアダマール行列。ジェット推進研究所の研究概要、1、21–26。
Sun、DX、Li、W.およびYe、KQ（2002）、「非同型直交設計の逐次構成アルゴリズムとその応用」テクニカルレポートSUNYSB-AMS-02-13、ニューヨーク州立大学ストーニー校ブルック、応用数学統計学科。
統計学者を祝うII：ジョージ・ボックスとボックス・ベーンケンのデザイン - JMPブログ書きました：
[...] 月。George EP Box教授が5月の受賞者です。先週、私はJ. Stuart Hunterとの2部構成の論文の最初の部分について、通常の2段フラクショナルファクタルデザインのファミリーについて書いた[...]
