In questo Anno internazionale delle statistiche , noi di JMP lo siamo celebrando famosi statistici su base mensile. Questo mese è il mio turno e all'inizio di quest'anno ho scelto il Professor George EP Box come soggetto della mia celebrazione. Non vedevo l'ora di scrivere questo pezzo perché conoscevo George personalmente e ne sono stato un ammiratore sin dall'inizio della mia carriera.
Purtroppo, George è morto a fine marzo, e ho scritto a ricordo di lui per il blog JMP in quel momento. Quel post sul blog esprime ciò che avrei scritto in un post che lo celebrava. Quindi, invece di parlare in generale della sua vita e delle sue realizzazioni, in questo post mi concentrerò su uno dei suoi tanti grandi lavori. Il mio piano è di scrivere diversi post di questo blog questo mese, ognuno dei quali enfatizza un'altra delle sue meravigliose pubblicazioni. Uno dei vantaggi per me è che riesco a rileggere questi documenti.
In questo post, voglio concentrarmi sul primo del suo articolo in due parti con J. Stuart Hunter sulla famiglia di normali disegni fattoriali frazionari a due livelli che è stato pubblicato in Technometrics nel 1961.
Questo documento seminale è lungo 40 pagine e una cosa che ho notato è che il contenuto matematico non ha superato l'aritmetica e un po 'l'algebra! Nonostante questo, ci sono molti risultati fondamentali in questo articolo, ma tutti sono dichiarati in linguaggio naturale senza prove formali. E 'stato rinfrescante.
Come inizia la carta?
Il documento inizia con una breve esposizione del design fattoriale completo a due livelli in K fattori. Mostra come questi progetti possono stimare le interazioni di tutti gli ordini fino al K -interazione del fattore Questo fornisce la motivazione e lo sfondo per l'introduzione di una mezza frazione del design fattoriale completo. Illustrano il metodo di costruzione usando il 2 (4-1) design che mostra come si parte dal disegno fattoriale completo in tre fattori e poi si aggiunge un quarto fattore calcolando il prodotto elementwise dei primi tre fattori.
Puoi mostrarlo in JMP?
Per ricostruire il loro esempio come l'hanno fatto usando JMP, iniziamo usando il designer Factorial completo. Chiamiamo i nostri fattori 1, 2 e 3 e la nostra risposta Y. Calcoliamo la quarta colonna usando l'editor di formule. La colonna Y nella nostra Tabella 1 qui sotto ha gli stessi valori di quelli che usano nella Tabella 3.
Ovviamente, potremmo anche usare la Screening Designer in JMP per inserire 4 fattori. Il design che vogliamo è il primo della lista. 
Cosa succede dopo?
Ora hanno un design con 8 esecuzioni che è solo la metà delle esecuzioni che si presentano nella progettazione fattoriale completa con quattro fattori. Con la progettazione fattoriale completa, puoi stimare 16 effetti: la media generale, 4 effetti principali, 6 interazioni a due fattori, 4 interazioni a tre fattori e 1 interazione a quattro fattori (16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1) . Ora con 8 esecuzioni, è possibile stimare solo 8 effetti. Si scopre che la costruzione utilizzata dagli autori confonde i 16 effetti del fattoriale completo in 8 coppie di effetti. La media è confusa con l'interazione a quattro fattori. I 4 effetti principali sono ciascuno confuso con una delle 4 interazioni a tre fattori. Infine, le 6 interazioni a due fattori sono confuse in 3 coppie (8 = 1 + 4 + 3).
La Figura 1 di seguito mostra l'analisi dalla piattaforma di screening JMP. I valori dei rapporti JMP sono metà delle quantità Box e Hunter, poiché definiscono i loro effetti come la differenza nella risposta quando si passa da un livello all'altro del fattore. JMP definisce un effetto come la variazione della risposta dovuta a una variazione di una unità nel fattore. Poiché un livello del fattore è codificato -1 e l'altro è codificato +1, ciascun fattore cambia di due unità passando dal livello basso a quello alto. Quindi, l'effetto di una variazione di una unità è la metà dell'effetto di passare dal basso verso l'alto.
Come va il resto del foglio?
Certo, la carta è troppo lunga per me per coprire tutto ciò che Box e Hunter introducono, specialmente non in questo livello di dettaglio. Ecco alcuni dei grandi concetti:
Generalizzando il loro esempio a 4 fattori, mostrano che il modo migliore per creare una mezza frazione di a K il fattorico design fattoriale completo deve iniziare con un design fattoriale completo in K - 1 fattori e quindi calcolare l'ultima colonna calcolando il prodotto elementwise dell'originale K - 1 colonne. Mostrano anche che è possibile ricostituire il fattoriale completo combinando una mezza frazione con un'altra metà frazione in cui ogni valore della seconda frazione si ottiene moltiplicando il valore corrispondente nella prima frazione di -1. Questo porta al concetto di un progetto di foldover - un termine che presentano anche qui.Presentano l'idea della risoluzione del progetto e definiscono i progetti di risoluzione III, IV e V. Presentando l'idea di un design saturo, descrivono i progetti di risoluzione III di 7 fattori in 8 serie, 15 fattori in 16 esecuzioni e 31 fattori in 32 sedute. Loro gettano anche un osso a Plackett e Burman (1946) menzionando le loro costruzioni di 11 fattori in 12 corse, 19 fattori in 20 corse, 23 fattori in 24 corse, ecc.Introducono l'idea dei generatori di progetto e usano questa idea per mostrare come bloccare i disegni fattoriali frazionari in gruppi di corse che hanno ciascuno 2, 4, 8 o qualche altra potenza di 2 esecuzioni per blocco.Mostrano come ottenere disegni di risoluzione IV ripiegando un disegno di risoluzione III e introducendo l'idea di proiettività progettuale. Ad esempio, affermano che ogni progetto di risoluzione IV proietta su un fattoriale completo (o replicato fattoriale completo) in uno qualsiasi dei tre fattori. Il vantaggio di questo è che se solo tre fattori risultano importanti, è possibile stimare tutti gli effetti di interazione di questi tre fattori. E non importa quali siano tre importanti.Dove è finito il design per lo screening negli oltre 50 anni?
È un tributo alla potenza combinata e alla semplicità di questo approccio che i normali modelli fattoriali frazionari a due livelli sono ancora oggi utilizzati frequentemente. La costruzione e l'analisi di questi progetti non richiede un computer, il che li ha resi popolari quando i computer erano rari. Certo, i calcoli possono essere un po 'noiosi, quindi avere un computer per farli fa meno errori e più tempo libero.
Nello stesso anno della pubblicazione di questo articolo, Hall ha pubblicato 5 diversi array ortogonali per 15 fattori in 16 sessioni. Il design saturo nel Box e il lavoro di Hunter era uno dei 5. Questo documento è stato anche fondamentale in quanto risulta che tutti gli array ortogonali 16 utilizzati per un numero inferiore di fattori sono proiezioni degli array Hall.
Quarant'anni dopo, Sun, et al. (2002) catalogò tutti i disegni ortogonali a 16 posizioni per 5 o 14 fattori. Per 9 a 14 fattori, i 16 modelli di Box e Hunter sono tutti di risoluzione III, il che significa che gli effetti principali sono confusi con le interazioni a due fattori. Sun, et al. ha trovato disegni in questi casi in cui nessuna delle interazioni a due fattori confonde un effetto principale. Invece, alcune interazioni a due fattori possono essere correlate più o meno metà con un effetto principale. Il vantaggio di questi progetti è che gli effetti principali possono essere identificati senza l'ambiguità intrinseca che comportano i progetti di risoluzione III.
Riferimenti
Box, GEP e Hunter, JS (1961) "I disegni fattoriali frazionari 2k-p Parte I" Technometrics Vol 3, No. 3 311-351.
Hall, M. Jr. (1961). Matrice di Hadamard di ordine 16. Riepilogo della ricerca del laboratorio di propulsione a getto, 1, 21-26.
Sun, DX, Li, W. e Ye, KQ (2002), "Un algoritmo per la costruzione sequenziale di disegni ortogonali non isomorfi e relative applicazioni", rapporto tecnico SUNYSB-AMS-02-13, Università statale di New York presso Stony Brook, Dipartimento di Matematica Applicata e Statistica.
Celebrando gli statistici II: George Box e il Box-Behnken Designs - JMP Blog ha scritto:
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