In diesem Internationales Jahr der Statistik Wir bei JMP sind berühmte Statistiker feiern monatlich. Diesen Monat bin ich an der Reihe und Anfang dieses Jahres habe ich Professor George EP Box als Thema meiner Feier gewählt. Ich habe mich darauf gefreut, dieses Stück zu schreiben, weil ich George persönlich kenne und seit Anbeginn meiner Karriere ein Bewunderer von ihm bin.
Leider starb George Ende März und ich schrieb eine Erinnerung von ihm für den JMP-Blog zu dieser Zeit. Dieser Blogbeitrag drückt aus, was ich in einem Beitrag geschrieben hätte, der ihn feiert. Anstatt im Allgemeinen über sein Leben und seine Errungenschaften zu sprechen, werde ich mich in diesem Beitrag auf eine seiner vielen großen Zeitungen konzentrieren. Mein Plan ist es, diesen Monat mehrere solcher Blogbeiträge zu verfassen, von denen jeder eine andere seiner wunderbaren Publikationen hervorhebt. Einer der Vorteile für mich ist, dass ich diese Papiere noch einmal lesen kann.
In diesem Beitrag möchte ich mich auf die erste seiner zweiteiligen Arbeit mit J. Stuart Hunter über die Familie der regelmäßigen, zweistufigen fraktionalen, faktoriellen Designs konzentrieren, die in veröffentlicht wurde Technometrie im Jahr 1961.
Diese wegweisende Arbeit ist 40 Seiten lang, und ich fand es bemerkenswert, dass der mathematische Inhalt nicht über Arithmetik und etwas Algebra hinausging! Trotzdem gibt es viele grundlegende Ergebnisse in dieser Arbeit, aber alle werden in natürlicher Sprache ohne formale Beweise angegeben. Das war erfrischend.
Wie fängt das Papier an?
Das Papier beginnt mit einer kurzen Darstellung des zweistufigen vollfaktoriellen Designs in k Faktoren. Es zeigt, wie diese Designs die Interaktionen aller Aufträge bis zum Jahr abschätzen können k -Faktor Interaktion. Dies liefert die Motivation und den Hintergrund für die Einführung eines halben Bruchteils des gesamten faktoriellen Designs. Sie veranschaulichen die Konstruktionsmethode anhand der 2 (4-1) Design zeigt, wie man mit dem vollständigen faktoriellen Design in drei Faktoren beginnt, und fügt dann einen vierten Faktor hinzu, indem das elementweise Produkt der ersten drei Faktoren berechnet wird.
Kannst du das in JMP zeigen?
Um ihr Beispiel so zu rekonstruieren, wie sie es gemacht haben JMP, Wir beginnen mit dem Full Factorial Designer. Wir nennen unsere Faktoren 1, 2 und 3 und unsere Antwort Y. Wir berechnen die 4. Spalte mit dem Formeleditor. Die Y-Spalte in der folgenden Tabelle 1 enthält die gleichen Werte wie die in ihrer Tabelle 3 verwendeten.
Natürlich können wir auch den Screening Designer in JMP verwenden, um 4 Faktoren einzugeben. Das Design, das wir wollen, ist das erste in der Liste. 
Was passiert als nächstes?
Sie haben jetzt ein Design mit 8 Läufen, das ist nur halb so viele Läufe wie im vollfaktoriellen Design mit vier Faktoren. Mit dem vollen faktoriellen Design können Sie 16 Effekte schätzen - den Gesamtdurchschnitt, 4 Haupteffekte, 6 Zwei-Faktor-Wechselwirkungen, 4 Drei-Faktor-Wechselwirkungen und 1 Vier-Faktor-Wechselwirkung (16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1). . Jetzt mit 8 Durchläufen können Sie nur 8 Effekte schätzen. Es stellt sich heraus, dass die von den Autoren verwendete Konstruktion die 16 Effekte der vollständigen Fakultät in 8 Effektpaare überführt. Der Durchschnitt wird mit der Vier-Faktor-Wechselwirkung verwechselt. Die 4 Haupteffekte werden jeweils mit einer der 4 Drei-Faktor-Wechselwirkungen verwechselt. Schließlich werden die 6 Zwei-Faktor-Wechselwirkungen in 3 Paaren verwechselt (8 = 1 + 4 + 3).
Abbildung 1 zeigt die Analyse der JMP-Screening-Plattform. Die Werte für JMP-Berichte sind die Hälfte der von Box und Hunter gemeldeten Mengen, da sie ihre Auswirkungen als Unterschied in der Reaktion definieren, wenn von einer Ebene des Faktors zur anderen gewechselt wird. JMP definiert einen Effekt als die Änderung der Antwort aufgrund einer Änderung des Faktors um eine Einheit. Da eine Ebene des Faktors -1 und die andere Stufe +1 codiert ist, ändert sich jeder Faktor um zwei Einheiten, wobei er von seinem niedrigen zu seinem hohen Pegel wechselt. Daher ist der Effekt einer Änderung um eine Einheit die Hälfte des Effekts, von niedrig nach hoch zu gehen.
Wie läuft der Rest der Zeitung ab?
Natürlich ist das Papier viel zu lang für mich, um alles, was Box und Hunter einführen, abzudecken - insbesondere nicht in dieser Detailtiefe. Hier sind einige der großen Konzepte:
Sie verdeutlichen ihr 4-Faktor-Beispiel und zeigen, dass der beste Weg, einen halben Bruchteil von a zu erzeugen k faktorisches volles faktorielles design ist mit einem vollen faktoriellen design in zu beginnen k - 1 Faktoren, und berechnen Sie dann die letzte Spalte, indem Sie das elementweise Produkt des Originals berechnen k - 1 Spalten. Sie zeigen auch, dass man die volle Fakultät rekonstituieren kann, indem eine halbe Fraktion mit einer anderen Hälfte kombiniert wird, bei der jeder Wert in der zweiten Fraktion durch Multiplizieren des entsprechenden Werts in der ersten Fraktion mit –1 erhalten wird. Dies führt zum Konzept eines Foldover-Designs - ein Begriff, den sie auch hier einführen.Sie führen die Idee der Entwurfsauflösung ein und definieren die Auflösungen III, IV und V. Um die Idee eines gesättigten Designs vorzustellen, beschreiben sie Resolution-III-Designs mit 7 Faktoren in 8 Durchläufen, 15 Faktoren in 16 Durchläufen und 31 Faktoren in 32 Durchläufen. Sie werfen Plackett und Burman (1946) einen Knochen auf und erwähnen ihre Konstruktionen aus 11 Faktoren in 12 Läufen, 19 Faktoren in 20 Läufen, 23 Faktoren in 24 Läufen usw.Sie führen die Idee von Designgeneratoren ein und zeigen anhand dieser Idee, wie die fraktionellen faktoriellen Designs in Gruppen von Läufen blockiert werden können, die jeweils 2, 4, 8 oder eine andere Potenz von 2 Läufen pro Block haben.Sie zeigen, wie man Designs der Auflösung IV erhält, indem man ein Design der Auflösung III faltet und die Idee der Entwurfsprojektivität einführt. Sie geben zum Beispiel an, dass bei jeder Auflösung von IV alle drei Faktoren auf eine vollständige Fakultät (oder eine vollständige Fakultät repliziert) ausgelegt werden. Der Vorteil davon ist, dass, wenn sich nur drei Faktoren als wichtig herausstellen, die Interaktionseffekte dieser drei Faktoren abgeschätzt werden können. Dabei spielt es keine Rolle, welche drei wichtig sind.Wo ist das Design für das Screening in den über 50 Jahren seitdem verlaufen?
Es ist ein Tribut an die kombinierte Leistung und Einfachheit dieses Ansatzes, dass die regulären, zweistufigen fraktionalen faktoriellen Konstruktionen heute noch häufig verwendet werden. Die Konstruktion und Analyse dieser Konstruktionen erfordert keinen Computer, weshalb sie populär wurden, als Computer selten waren. Natürlich können die Berechnungen etwas langwierig sein. Wenn Sie also einen Computer für Sie erledigen, sind weniger Fehler und mehr Zeit erforderlich.
Im selben Jahr wie die Veröffentlichung dieses Papiers veröffentlichte Hall fünf verschiedene orthogonale Arrays für 15 Faktoren in 16 Durchläufen. Das gesättigte Design in der Box und Hunter 's Papier war eines der 5. Dieses Papier war auch von grundlegender Bedeutung, da sich herausstellt, dass alle orthogonalen Arrays 16 für weniger Faktoren laufen und Projektionen der Hall-Arrays sind.
Vierzig Jahre später berichteten Sun et al. (2002) katalogisierten alle orthogonalen 16-Lauf-Designs für 5 bis 14 Faktoren. Für 9 bis 14 Faktoren haben die 16-Lauf-Designs von Box und Hunter alle die Auflösung III, was bedeutet, dass Haupteffekte mit Zwei-Faktor-Wechselwirkungen verwechselt werden. Sun et al. fanden Designs in diesen Fällen, in denen keine der Zwei-Faktoren-Wechselwirkungen einen Haupteffekt stört. Stattdessen können einige Zwei-Faktor-Wechselwirkungen entweder plus oder minus die Hälfte mit einem Haupteffekt korreliert werden. Der Vorteil dieser Designs liegt darin, dass Haupteffekte ohne die in Resolution III-Designs enthaltene Mehrdeutigkeit erkannt werden können.
Verweise
Box, GEP und Hunter, JS (1961) "The 2k-p Fractional Factorial Designs Part I" Technometrie Band 3, Nr. 3 311-351.
Hall, M. Jr. (1961). Hadamard-Matrix der Ordnung 16. Forschungsbericht des Jet Propulsion Laboratory, 1, 21–26.
Sun, DX, Li, W. und Ye, KQ (2002), „Ein Algorithmus für das sequentielle Konstruieren nicht-isomorpher orthogonaler Designs und ihrer Anwendungen“, Technischer Bericht SUNYSB-AMS-02-13, State University of New York, Stony Brook, Abteilung für Angewandte Mathematik und Statistik.
