Dans ce Année internationale de la statistique , chez JMP, nous sommes célébrer les statisticiens célèbres sur une base mensuelle. Ce mois-ci est à mon tour et au début de cette année, j’ai choisi le professeur George EP Box comme sujet de mes célébrations. J'avais hâte d'écrire cette pièce parce que je connaissais personnellement George et que je l'admire depuis le début de ma carrière.
Malheureusement, George est décédé fin mars et j’ai écrit un souvenir de lui pour le blog JMP à cette époque. Cet article de blog exprime ce que j'aurais écrit dans un article le célébrant. Ainsi, au lieu de parler en général de sa vie et de ses réalisations, je me concentrerai dans cet article sur l'un de ses nombreux excellents articles. Mon plan est d'écrire plusieurs articles de ce type ce mois-ci, chacun mettant l'accent sur une de ses merveilleuses publications. L'un des avantages pour moi est de pouvoir relire ces papiers.
Dans ce billet, je voudrais me concentrer sur le premier de son article en deux parties avec J. Stuart Hunter sur la famille des plans factoriels fractionnaires à deux niveaux qui a été publiée dans Technométrie en 1961.
Cet article phare fait 40 pages, et j'ai notamment remarqué que son contenu mathématique ne dépassait pas l'arithmétique et un peu d'algèbre! Malgré cela, cet article présente de nombreux résultats fondamentaux, mais tous sont énoncés en langage naturel sans preuves formelles. C'était rafraîchissant.
Comment commence le papier?
Le document commence par une brève présentation de la conception factorielle complète à deux niveaux dans k les facteurs. Il montre comment ces conceptions peuvent estimer les interactions de tous les ordres jusqu’au k interaction facteur. Ceci fournit la motivation et le contexte pour introduire une demi-fraction de la conception factorielle complète. Ils illustrent la méthode de construction en utilisant le 2 (4-1) conception montrant comment on commence avec la conception factorielle complète à trois facteurs, puis ajoute un quatrième facteur en calculant le produit élémentaire des trois premiers facteurs.
Pouvez-vous montrer cela dans JMP?
Pour reconstruire leur exemple comme ils l'ont fait en utilisant JMP, nous commençons par utiliser le concepteur Full Factorial. Nous appelons nos facteurs 1, 2 et 3 et notre réponse Y. Nous calculons la 4ème colonne à l'aide de l'éditeur de formules. La colonne Y du tableau 1 ci-dessous a les mêmes valeurs que celles utilisées dans leur tableau 3.
Bien entendu, nous pourrions également simplement utiliser le concepteur de tri dans JMP pour entrer 4 facteurs. Le design que nous voulons est le premier de la liste. 
Qu'est-ce qui se passe ensuite?
Ils ont maintenant un plan comportant 8 cycles, soit deux fois moins que dans le plan factoriel complet avec quatre facteurs. Avec le plan factoriel complet, vous pouvez estimer 16 effets - la moyenne générale, 4 effets principaux, 6 interactions à deux facteurs, 4 interactions à trois facteurs et 1 interaction à quatre facteurs (16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1). . Maintenant, avec 8 pistes, vous ne pouvez estimer que 8 effets. Il s'avère que la construction utilisée par les auteurs confond les 16 effets de la factorielle complète en 8 paires d'effets. La moyenne est confondue avec l'interaction à quatre facteurs. Les 4 effets principaux sont confondus avec l'une des 4 interactions à trois facteurs. Enfin, les 6 interactions à deux facteurs sont confondues en 3 paires (8 = 1 + 4 + 3).
La figure 1 ci-dessous présente l'analyse de la plate-forme de filtrage JMP. Les valeurs que les rapports JMP représentent la moitié des quantités rapportées par Box et Hunter, car ils définissent leurs effets comme étant la différence de réponse lorsque vous passez d'un niveau du facteur à l'autre. JMP définit un effet comme le changement de réponse dû à un changement d'une unité du facteur. Puisqu'un niveau du facteur est codé -1 et l'autre est codé +1, chaque facteur change de deux unités allant de son plus bas à son plus haut niveau. Ainsi, l’effet d’un changement d’une unité correspond à la moitié de l’effet de passer de bas à élevé.
Comment se passe le reste du papier?
Bien entendu, le document est beaucoup trop long pour que je puisse couvrir tout ce que Box et Hunter ont à présenter - en particulier pas à ce niveau de détail. Voici quelques-uns des grands concepts:
En généralisant leur exemple à 4 facteurs, ils montrent que le meilleur moyen de créer une demi-fraction d’un k facteur de conception factorielle complète est de commencer par une conception factorielle complète k - 1 facteurs et ensuite calculer la dernière colonne en calculant le produit élémentaire de l'original k - 1 colonnes. Ils montrent également que l'on peut reconstituer la factorielle complète en combinant une demi-fraction avec une autre demi-fraction, où chaque valeur de la seconde fraction est obtenue en multipliant la valeur correspondante dans la première fraction par -1. Cela conduit au concept de conception de repli - un terme qu'ils introduisent également ici.Ils introduisent l'idée de résolution de dessin et définissent les dessins de résolution III, IV et V. Présentant l’idée d’une conception saturée, ils décrivent les conceptions de résolution III de 7 facteurs en 8 analyses, 15 facteurs en 16 analyses et 31 facteurs en 32 analyses. Ils jettent également un os à Plackett et Burman (1946) en mentionnant leur construction de 11 facteurs en 12 passages, 19 facteurs en 20, 23 facteurs en 24, etc.Ils introduisent l'idée de générateurs de plans et l'utilisent pour montrer comment bloquer les plans factoriels fractionnaires en groupes d'essais ayant chacun 2, 4, 8 ou une autre puissance de 2 essais par bloc.Ils montrent comment obtenir des plans de résolution IV en combinant un plan de résolution III et introduisent l’idée de projectivité de plan. Par exemple, ils déclarent que chaque résolution de conception IV prévoit une factorielle complète (ou une réplique factorielle complète) dans trois facteurs quelconques. L'avantage de ceci est que si seulement trois facteurs s'avèrent importants, il est possible d'estimer tous les effets d'interaction de ces trois facteurs. Et, peu importe quels trois sont importants.Où est passé le design pour le dépistage depuis plus de 50 ans?
Il est un hommage à la puissance et à la simplicité combinées de cette approche que les plans factoriels fractionnaires réguliers à deux niveaux sont encore fréquemment utilisés de nos jours. La construction et l'analyse de ces conceptions ne nécessitent pas d'ordinateur, ce qui les a rendues populaires lorsque les ordinateurs étaient rares. Bien sûr, les calculs peuvent être un peu fastidieux, donc avoir un ordinateur qui les fait pour vous fait moins d’erreurs et plus de temps libre.
La même année que la publication de cet article, Hall a publié 5 tableaux orthogonaux différents pour 15 facteurs en 16 analyses. La conception saturée dans la boîte et le papier de Hunter était l’un des 5. Cet article était également fondamental, car il s’avère que toutes les matrices orthogonales 16 comportant moins de facteurs sont des projections des matrices de Hall.
Quarante ans plus tard, Sun et al. (2002) ont répertorié tous les plans orthogonaux à 16 cycles pour 5 à 14 facteurs. Pour les facteurs de 9 à 14, les plans de Box et Hunter en 16 séries sont tous de résolution III, ce qui signifie que les effets principaux sont confondus avec des interactions à deux facteurs. Sun et al. trouvé des conceptions dans ces cas où aucune des interactions à deux facteurs ne confond un effet principal. Au lieu de cela, certaines interactions à deux facteurs peuvent être corrélées de plus ou moins la moitié avec un effet principal. L'avantage de ces conceptions est que les principaux effets peuvent être identifiés sans l'ambiguïté inhérente à la résolution III.
Références
Box, GEP et Hunter, JS (1961) "Les plans factoriels fractionnaires 2k-p, partie I" Technométrie Vol 3, N ° 3 311-351.
Hall, M. Jr. (1961). Matrice de Hadamard d'ordre 16. Résumé de la recherche en laboratoire sur la propulsion par jet, 1, 21-26.
Sun, DX, Li, W. et Ye, KQ (2002), «Un algorithme pour la construction séquentielle de conceptions orthogonales non isomorphes et de ses applications», Rapport technique SUNYSB-AMS-02-13, Université d'État de New York à Stony Brook, Département de mathématiques appliquées et statistiques.
Statisticiens célèbres II: George Box et les designs Box-Behnken - JMP Blog a écrit:
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