Estoy seguro de que la mayoría de ustedes que leen esto han encontrado el problema de probabilidad de cumpleaños:
Dado un grupo de n personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo cumpleaños? La respuesta está dada por la fórmula.
Esta fórmula es simplista porque asume que los cumpleaños se reparten por igual todos los 365 días del año, lo que, según algunos estudios, no es cierto. También ignora el año bisiesto. Pero, para nuestros propósitos, la fórmula funciona bien. ¡Vamos a divertirnos con eso!
Sorprendentemente, con solo 23 personas, la probabilidad de al menos un partido es de aproximadamente 0.5073. Con 40 personas, la probabilidad es de aproximadamente 0.8912, y con 60 personas, la probabilidad es de aproximadamente 0.9941. Aquí se muestra una gráfica de la fórmula:
Para nuestro pequeño ejemplo, imagina que soy un profesor que enseña cursos cortos. El primer día de clase, les pregunto a los estudiantes si están dispuestos a aceptar una pequeña apuesta. Si hay al menos un partido de cumpleaños, todos en la clase tienen que darme $ 1. Si no, les doy a todos $ 1. ¿Cuál es la cantidad promedio de dinero que tendré al final de un año? La respuesta es fácil de resolver y depende de la cantidad de estudiantes en una clase y de cuántas clases imparto durante el año. El importe medio al final del año es de
donde n es el número de personas en la clase, Prob es la probabilidad de la fórmula anterior y Clases es la cantidad de clases que imparto durante el año. También estoy interesado en la desviación estándar de la cantidad anual, dada por lo siguiente:
donde Media es el promedio dado por la primera fórmula. Sugerencia, Varianza (x) = E (x ^ 2) -E (x) ^ 2. Tenga en cuenta que estas dos fórmulas son válidas solo si el número de clases enseñadas cada año es el mismo y si cada clase tiene el mismo número de alumnos. Si las Clases son una variable aleatoria (puede cambiar de un año a otro), entonces las fórmulas son diferentes, particularmente la desviación estándar. Entonces, para simplificar, asumiremos que n es el mismo para cada clase y que el número de Clases es el mismo cada año.
Quiero estimar la probabilidad de que la cantidad anual sea de $ 0 o menos. Puedo usar JMP's Perfilador y Simulador para hacer esto. Además, puedo usar el simulador para estudiar cómo la probabilidad se ve afectada por diferentes combinaciones de n y clases. Creé un archivo JMP con todas estas fórmulas incluidas, listas para perfil. Se llama BirthdayModel.jmp y se puede descargar desde Intercambio de archivos de JMP .
La columna que queremos simular se llama Total. El simulador no solo le permite colocar distribuciones en las entradas del modelo, sino que también le permite agregar ruido aleatorio al valor de respuesta simulado. Puedo alimentar la desviación estándar de la cantidad anual en el simulador. Simplemente especifique la cantidad como se muestra a continuación:
Pero, hay un problema. Esta función solo le permite ingresar un valor único para la variabilidad en la respuesta. En nuestro ejemplo, la desviación estándar de la cantidad anual cambia en función de n y Clases. ¿Entonces Que puedo hacer? Mira la fórmula para Total:
Media + Normal * StdDev
donde Media es la fórmula para el monto anual promedio, y StdDev es la fórmula para la desviación estándar del monto anual. Incluye un factor llamado Normal. Cuando use el Simulador, haré que ese factor tenga una distribución Normal (0,1). Por lo tanto, los valores simulados resultantes para Total tendrán la desviación estándar correcta, y esa desviación estándar cambiará a medida que n o Clases cambien. Justo lo que quiero! Además, esto obliga a que la distribución muestral del Total (para n y Clases dados) sea Normal. Según otras simulaciones que he hecho, esta es una aproximación razonable, siempre y cuando n esté entre 10 y 40.
Ejecute el script "Profiler" adjunto a la tabla de datos. Esto lanza el Perfilador y el Simulador. Las condiciones económicas son inciertas, por lo que no puedo predecir n y Clases con precisión. En cambio, puedo simular para una variedad de combinaciones de n y Clases. Por lo tanto, hago una variante de Poisson con media 35. Y como vimos anteriormente, Normal es una distribución Normal (0,1). Pero ¿qué pasa con las clases? Creo que podré enseñar 1 o 2 clases por mes, lo que equivale a un mínimo de 12 y máximo de 24 por año. Pero, ¿cómo simulo esto? Yo uso la función de expresión, que es esencialmente el código JSL. La expresión que uso crea 12 variables aleatorias (cada una de ellas es un entero aleatorio 1 o 2) y luego suma las 12 variables para obtener el número simulado de clases en el año.
Agregue un límite de especificación inferior de 0 y ejecute el simulador para obtener resultados similares a los siguientes:
Incorporando la incertidumbre en n y Clases, al final de un año tendré un promedio de $ 393, con un 3.7% de probabilidad de ser menos de $ 0. ¿Debo jugar ese juego?
¿Qué pasa si ignoro la incertidumbre en n y Clases? Cambie las variables a Fijo y establezca n = 35 y Clases = 18.
La probabilidad de ser menos de $ 0 se reduce a 0.03%. Pero ignorar la incertidumbre no es una buena política de gestión de riesgos, así que me quedo con el primer resultado.
Este ejemplo no es tan completo como me gustaría. Como dije antes, este método no elige un nuevo tamaño de clase para cada clase. Asigna el mismo tamaño de clase para cada clase en un año. Para acercarme a la realidad, necesitaba usar JSL. La tabla de datos contiene una secuencia de comandos adjunta llamada "Script de cumpleaños". Copie el contenido de la secuencia de comandos en una ventana de secuencia de comandos y cierre la tabla de datos antes de ejecutar la secuencia de comandos. La secuencia de comandos elige un tamaño de clase aleatorio para cada clase y permite que la cantidad de clases cambie cada año. Todo lo que hace es proporcionar los promedios que desea para n y Clases. El resultado es un histograma de cantidad anual simulada.
En una nota diferente pero similar, recientemente aprendí que otras dos personas en mi piso aquí en el trabajo tienen el mismo cumpleaños que yo. Mi piso tiene 37 personas. Podrías pensar, "¡Wow, eso es sorprendente! Eso no sucede muy a menudo". Podría preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de las 37 personas tengan el mismo cumpleaños?" La fórmula que di antes es para al menos 2 personas que tienen el mismo cumpleaños, por lo que no funciona. Busqué en Internet y no pude encontrar ninguna fórmula para al menos 3 personas. Pero, no se preocupe, lo simulé con JSL. Para un grupo de 37 personas, la probabilidad de que al menos tres tengan el mismo cumpleaños es de aproximadamente 0.053. Mi empresa tiene aproximadamente 11,200 empleados, lo que equivale a 302 grupos de 37. Por lo tanto, al usar la distribución Binomial con p = 0.053 yn = 302, predigo que 9-23 de los 302 grupos tienen al menos tres personas con el mismo cumpleaños. El código JSL que utilicé para estimar la probabilidad se adjunta a la tabla de datos y se llama "Al menos 3".
Tal vez suceda en mi piso no es tan sorprendente después de todo.
