나는 이것을 읽고있는 대부분의 사람들이 생일 확률 문제를 겪었을 것이라고 확신합니다 :
n 명의 그룹이 주어지면 적어도 두 사람이 같은 생일을 가질 확률은 얼마입니까? 대답은 공식에 의해 주어진다.
이 공식은 생일이 모든 연중 365 일에 똑같이 퍼져 있다고 가정하기 때문에 단순합니다. 일부 연구에 따르면 이는 사실이 아닙니다. 그것은 또한 윤년을 무시합니다. 그러나, 우리의 목적을 위해 공식은 잘 작동합니다. 그것으로 재미 좀 보자!
놀랍게도, 겨우 23 명으로 적어도 하나의 일치 확률은 약 0.5073입니다. 40 명으로 확률은 약 0.8912이며 60 명으로 확률은 약 0.9941입니다. 수식의 플롯이 여기에 표시됩니다.
우리의 작은 예를 들어, 나는 짧은 코스를 가르치는 선생님이라고 생각한다. 수업 첫날에 학생들에게 약간의 베팅을 할 의향이 있는지 묻습니다. 생년월일이 적어도 하나 일 경우, 수업에 참여하는 모든 사람들이 저에게 $ 1을 제공해야합니다. 그렇지 않다면 나는 모두에게 1 달러를 준다. 연말에 평균 금액은 얼마입니까? 그 답은 쉽게 해결할 수 있으며, 한 반의 학생 수와 내가 1 년 동안 가르치는 수업의 수에 따라 다릅니다. 연말 평균 금액은 다음과 같습니다.
여기서 n은 수업에 참여한 학생의 수, Prob는 위의 수식에서 나온 확률이며, 수업 수는 내가 1 년 동안 가르치는 수업의 수입니다. 또한 다음과 같이 주어진 연간 금액의 표준 편차에도 관심이 있습니다.
여기서 평균은 첫 번째 수식에 의해 주어진 평균입니다. 힌트, 분산 (x) = E (x ^ 2) -E (x) ^ 2. 이 두 공식은 매년 가르치는 수업의 수가 같고 각 학급에 같은 수의 학생이있는 경우에만 유지됩니다. Classes가 무작위 변수 (해마다 변경 될 수 있음)이면 수식이 다르며 특히 표준 편차가 다릅니다. 따라서 간단히하기 위해 n은 각 클래스에 대해 동일하고 클래스 수는 매년 동일하다고 가정합니다.
연간 금액이 0 달러 이하가 될 확률을 추정하고 싶습니다. 나는 JMP를 사용할 수있다. 프로파일 러 과 모의 실험 장치 이것을하기 위해. 또한 Simulator를 사용하여 n과 Class의 다양한 조합에 의해 확률이 어떻게 영향을 받는지 연구 할 수 있습니다. 이 모든 수식이 포함 된 JMP 파일을 작성하여 준비가되었습니다. BirthdayModel.jmp라고하며 다음 위치에서 다운로드 할 수 있습니다. JMP의 파일 교환 .
시뮬레이션 할 열을 총계라고합니다. 시뮬레이터를 사용하면 모델 입력에 분포를 배치 할 수있을뿐 아니라 시뮬레이션 된 응답 값에 임의의 노이즈를 추가 할 수도 있습니다. 시뮬레이터에 연간 금액의 표준 편차를 공급할 수 있습니다. 다음과 같이 금액을 지정하십시오.
그러나 문제가 있습니다. 이 기능을 사용하면 응답의 변동성에 대해 단일 값만 입력 할 수 있습니다. 이 예에서는 연간 금액의 표준 편차가 n 및 클래스의 함수로 변경됩니다. 그래서 내가 뭘 할 수 있는데? 총계 수식을 살펴보십시오.
평균 + 보통 * 표준 편차
여기서 평균은 평균 연간 금액에 대한 공식이고 StdDev는 연간 금액의 표준 편차에 대한 공식입니다. 그것은 Normal이라는 요소를 포함합니다. 시뮬레이터를 사용할 때 해당 요소에 일반 (0,1) 분포를 적용합니다. 따라서 합계에 대한 시뮬레이션 결과 값은 올바른 표준 편차를 가지며 표준 편차는 n 또는 클래스가 변경 될 때 변경됩니다. 그냥 내가 원하는 걸! 또한 이것은 (주어진 n 및 클래스에 대한) Total의 샘플링 분포를 Normal로 만듭니다. 내가 한 다른 시뮬레이션에 따르면, 이것은 n이 10에서 40 사이 인 한 합리적인 근사치입니다.
데이터 테이블에 첨부 된 "Profiler"스크립트를 실행하십시오. 그러면 프로파일 러와 시뮬레이터가 시작됩니다. 경제 상황은 불확실하므로 n과 Classes를 정확하게 예측할 수는 없습니다. 대신 n과 클래스의 다양한 조합을 시뮬레이션 할 수 있습니다. 그러므로 나는 평균 35의 Na Poisson 변량을 만든다. 그리고 앞에서 논의한 것처럼 Normal은 Normal (0,1) 분포입니다. 하지만 수업은 어떻습니까? 한 달에 1 ~ 2 개의 과목을 가르 칠 수있을 것 같아요. 12 학점과 24 학년에 해당합니다. 그러나 어떻게 이것을 시뮬레이션합니까? 기본적으로 JSL 코드 인 Expression 기능을 사용합니다. 내가 사용하는 표현식은 12 개의 무작위 변수 (각각 1 또는 2의 임의의 정수)를 생성 한 다음 12 개의 변수를 합하여 해당 연도의 시뮬레이션 된 클래스 수를 얻습니다.
Spec Limit의 값을 0으로 낮추고 시뮬레이터를 실행하여 다음과 비슷한 결과를 얻습니다.
불확실성을 n 및 클래스에 통합하면 연말에 평균 393 달러가 생길 것이며 3.7 %의 확률로 $ 0 미만이됩니다. 그 게임을해야합니까?
n과 Class의 불확실성을 무시하면 어떻게됩니까? 변수를 Fixed로 변경하고 n = 35 및 Classes = 18로 설정합니다.
0 달러 미만의 기회는 0.03 %로 떨어집니다. 그러나 불확실성을 무시하는 것은 위험 관리 정책이 아니므로 첫 번째 결과를 고집 할 것입니다.
이 예제는 내가 원하는만큼 완벽하지는 않다. 전에 말했듯이이 메서드는 각 클래스에 대해 새로운 클래스 크기를 선택하지 않습니다. 1 년에 각 클래스에 동일한 클래스 크기를 할당합니다. 현실과 더 가까워 지려면 JSL을 사용해야했습니다. 데이터 테이블에는 "Birthday Script"라는 첨부 스크립트가 있습니다. 스크립트 내용을 스크립트 창에 복사하고 스크립트를 실행하기 전에 데이터 테이블을 닫습니다. 스크립트는 각 클래스에 대해 임의의 클래스 크기를 선택하고 매년 클래스 수를 변경할 수 있습니다. 당신이하는 일은 n과 Classes에 대해 원하는 평균을 제공하는 것입니다. 결과는 시뮬레이션 된 연간 금액의 막대 그래프입니다.
다른 점은 비슷하지만, 저는 직장에있는 내 층에있는 다른 두 사람이 저와 같은 생일을 가지고 있다는 것을 최근에 배웠습니다. 내 층에는 37 명이 있습니다. "와우, 놀랍다. 너무 자주 발생하지 않는다"고 생각할 수도 있습니다. "같은 생일을 가진 37 명 중 3 명 이상이 될 확률은 얼마입니까?" 내가 전에 준 공식은 같은 생일을 가진 적어도 2 명의 사람들을위한 것이므로 작동하지 않습니다. 나는 인터넷을 수색하고 적어도 3 명의 사람들을위한 어떤 공식든지 찾아 낼 수 없었다. 그러나 걱정할 필요는 없지만 JSL로 시뮬레이션했습니다. 37 명으로 구성된 그룹의 경우 적어도 세 명이 같은 생일을 가질 확률은 약 0.053입니다. 우리 회사는 약 11,200 명의 직원을두고 있으며 약 302 개의 37 개 그룹이 있습니다. 따라서 p = 0.053 및 n = 302의 이항 분포를 사용하여 302 그룹 중 9-23 개에 생일이 같은 사람이 3 명 이상 있다고 예측합니다. 확률을 추정하는 데 사용 된 JSL 코드는 데이터 테이블에 첨부되며 "최소 3 개"라고합니다.
어쩌면 내 바닥에서 일어나는 일이 결국 그렇게 놀라운 일은 아닙니다.
