Sono sicuro che la maggior parte di voi leggendo questo ha riscontrato il problema di probabilità di compleanno:
Dato un gruppo di n persone, qual è la probabilità che almeno due persone abbiano lo stesso compleanno? La risposta è data dalla formula
Questa formula è semplicistica perché presuppone che i compleanni siano equamente distribuiti in tutti i 365 giorni dell'anno, il che, secondo alcuni studi, non è vero. Ignora anche l'anno bisestile. Ma, per i nostri scopi, la formula funziona bene. Divertiamoci!
Sorprendentemente, con solo 23 persone, la probabilità di almeno una partita è di circa 0,5073. Con 40 persone, la probabilità è di circa 0.8912, e con 60 persone la probabilità è di circa 0.9941. Un grafico della formula è mostrato qui:
Per il nostro piccolo esempio, fingi di essere un insegnante che insegna corsi brevi. Il primo giorno di lezione, chiedo agli studenti se sono disposti ad accettare una piccola scommessa. Se c'è almeno una partita di compleanno, tutti nella classe devono darmi $ 1. Se no, do a tutti $ 1. Qual è l'ammontare medio di soldi che avrò alla fine di un anno? La risposta è facile da capire e dipende dal numero di studenti in una classe e dal numero di lezioni che insegno durante l'anno. L'importo medio alla fine dell'anno è
dove n è il numero di persone nella classe, Prob è la probabilità dalla formula sopra, e Classi è il numero di classi che insegno durante l'anno. Mi interessa anche la deviazione standard dell'importo annuale, data da quanto segue:
dove Media è la media data dalla prima formula. Suggerimento, Varianza (x) = E (x ^ 2) -E (x) ^ 2. Nota, queste due formule valgono solo se il numero di classi insegnate ogni anno è lo stesso, e se ogni classe ha lo stesso numero di studenti. Se Classi è una variabile casuale (può cambiare da un anno all'altro), allora le formule sono diverse, in particolare la deviazione standard. Quindi, per semplicità, assumeremo che n è la stessa per ogni classe e il numero di Classi è uguale ogni anno.
Voglio stimare la probabilità che l'importo annuo sia pari o inferiore a $ 0. Posso usare JMP Profiler e Simulatore per fare questo. Inoltre, posso usare il simulatore per studiare come la probabilità sia influenzata da diverse combinazioni di n e classi. Ho creato un file JMP con tutte queste formule incluse, pronte per il profilo. Si chiama BirthdayModel.jmp e può essere scaricato da Scambio file di JMP .
La colonna che vogliamo simulare si chiama Total. Il simulatore non solo consente di posizionare le distribuzioni sugli ingressi del modello, ma consente anche di aggiungere rumore casuale al valore di risposta simulato. Posso alimentare la deviazione standard dell'importo annuale nel simulatore. Basta specificare l'importo come mostrato di seguito:
Ma c'è un problema Questa funzione consente solo di inserire un singolo valore per la variabilità nella risposta. Nel nostro esempio, la deviazione standard dell'importo annuale cambia in funzione di n e Classi. Quindi cosa posso fare? Guarda la formula per Totale:
Media + Normale * StdDev
dove Mean è la formula per l'importo medio annuo e StdDev è la formula per la deviazione standard dell'importo annuale. Include un fattore chiamato Normale. Quando uso il simulatore, farò in modo che quel fattore abbia una distribuzione normale (0,1). Pertanto, i valori simulati risultanti per Totale avranno la giusta deviazione standard e la deviazione standard cambierà quando n o Classi cambierà. Proprio quello che voglio! Inoltre, questo impone che la distribuzione campionaria di Totale (per data n e Classi) sia Normale. Secondo altre simulazioni che ho fatto, questa è un'approssimazione ragionevole, fintanto che n è tra 10 e 40.
Esegui lo script "Profiler" allegato alla tabella dei dati. Questo lancia il profiler e il simulatore. Le condizioni economiche sono incerte, quindi non posso prevedere precisamente n e Classi. Invece, posso simulare per una varietà di combinazioni di n e classi. Pertanto, faccio na Poisson variate con media 35. E come abbiamo discusso prima, Normal è una distribuzione normale (0,1). Ma per quanto riguarda Classi? Penso che sarò in grado di insegnare 1 o 2 lezioni al mese, il che equivale a un minimo di 12 e un massimo di 24 all'anno. Ma come faccio a simularlo? Io uso la funzione Espressione, che è essenzialmente il codice JSL. L'espressione che uso crea 12 variabili casuali (ciascuna un numero intero casuale 1 o 2), quindi somma le 12 variabili per ottenere il numero simulato di classi nell'anno.
Aggiungi un Limite spec. Inferiore a 0 ed esegui il Simulatore per ottenere risultati simili ai seguenti:
Incorporando l'incertezza in n e Classi, alla fine di un anno avrò in media $ 393, con una probabilità del 3,7% di essere inferiore a $ 0. Dovrei giocare a quel gioco?
Cosa succede se ignoro l'incertezza in n e Classi? Cambia le variabili in Fisso e imposta n = 35 e Classi = 18.
La possibilità di essere inferiore a $ 0 scende allo 0,03%. Ma ignorare l'incertezza non è una buona politica di gestione del rischio, quindi continuerò con il primo risultato.
Questo esempio non è completo come vorrei. Come ho detto prima, questo metodo non sceglie una nuova dimensione di classe per ogni classe. Assegna la stessa dimensione di classe per ogni classe in un anno. Per avvicinarmi alla realtà, avevo bisogno di usare JSL. La tabella dati contiene uno script allegato chiamato "Script di compleanno". Copiare il contenuto dello script in una finestra di script e chiudere la tabella di dati prima di eseguire lo script. Lo script sceglie una classe casuale per ogni classe e consente di cambiare il numero di classi ogni anno. Tutto ciò che fai è fornire le medie che vuoi per n e Classi. Il risultato è un istogramma di importo annuale simulato.
Su una nota diversa ma simile, ho appreso di recente che altre due persone al mio piano qui al lavoro hanno lo stesso compleanno di me. Il mio piano ha 37 persone. Potresti pensare: "Wow, è sorprendente! Non succede troppo spesso". Potresti chiedere: "Qual è la probabilità che almeno tre persone su 37 abbiano lo stesso compleanno?" La formula che ho dato prima è per almeno 2 persone che hanno lo stesso compleanno, quindi non funziona. Ho cercato su Internet e non ho trovato nessuna formula per almeno 3 persone. Ma non preoccuparti, l'ho simulato con JSL. Per un gruppo di 37 persone, la probabilità che almeno tre abbiano lo stesso compleanno è di circa 0,053. La mia azienda ha circa 11.200 dipendenti, ovvero circa 302 gruppi di 37. Pertanto, utilizzando la distribuzione binomiale con p = 0,053 e n = 302, prevedo che 9-23 dei 302 gruppi hanno almeno tre persone con lo stesso compleanno. Il codice JSL che ho usato per stimare la probabilità è allegato alla tabella dati e si chiama "Almeno 3".
Forse quello che succede sul mio piano non è così sorprendente, dopotutto.
