Ich bin sicher, dass die meisten von Ihnen, die dies lesen, auf das Geburtstagsproblem gestoßen sind:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen an einem Geburtstag von mindestens zwei Personen Geburtstag haben? Die Antwort ergibt sich aus der Formel
Diese Formel ist vereinfachend, da davon ausgegangen wird, dass Geburtstage an allen 365 Tagen des Jahres gleichmäßig verteilt sind, was einigen Studien zufolge nicht zutrifft. Es ignoriert auch das Schaltjahr. Aber für unsere Zwecke funktioniert die Formel gut. Lass uns ein bisschen Spaß damit haben!
Überraschenderweise liegt die Wahrscheinlichkeit von mindestens einer Übereinstimmung bei nur 23 Personen bei etwa 0,5073. Bei 40 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0,8912 und bei 60 Personen bei 0,9941. Eine Darstellung der Formel wird hier gezeigt:
Nehmen wir für unser kleines Beispiel vor, ich bin ein Lehrer, der kurze Kurse unterrichtet. Am ersten Unterrichtstag frage ich die Schüler, ob sie bereit sind, mit einem kleinen Einsatz mitzumachen. Wenn es mindestens ein Geburtstagsspiel gibt, muss mir jeder in der Klasse $ 1 geben. Wenn nicht, gebe ich jedem $ 1. Wie viel Geld werde ich am Ende eines Jahres durchschnittlich haben? Die Antwort ist einfach zu erarbeiten und hängt von der Anzahl der Schüler einer Klasse und der Anzahl der Klassen ab, die ich im Laufe des Jahres unterrichte. Der durchschnittliche Betrag am Jahresende beträgt
Dabei ist n die Anzahl der Personen in der Klasse, Prob ist die Wahrscheinlichkeit aus der obigen Formel und Klassen ist, wie viele Klassen ich im Laufe des Jahres unterrichte. Ich interessiere mich auch für die Standardabweichung des jährlichen Betrags, die sich wie folgt ergibt:
Dabei ist der Mittelwert der Durchschnitt der ersten Formel. Hinweis, Varianz (x) = E (x ^ 2) -E (x) ^ 2. Beachten Sie, dass diese beiden Formeln nur gelten, wenn die Anzahl der unterrichteten Klassen jedes Jahr gleich ist und jede Klasse die gleiche Anzahl von Schülern hat. Wenn Klassen eine Zufallsvariable sind (kann sich von Jahr zu Jahr ändern), unterscheiden sich die Formeln, insbesondere die Standardabweichung. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass n für jede Klasse gleich ist und die Anzahl der Klassen jedes Jahr gleich ist.
Ich möchte die Wahrscheinlichkeit schätzen, dass der jährliche Betrag 0 USD oder weniger beträgt. Ich kann JMPs verwenden Profiler und Simulator um dies zu tun. Darüber hinaus kann ich mit dem Simulator untersuchen, wie die Wahrscheinlichkeit durch verschiedene Kombinationen von n und Klassen beeinflusst wird. Ich habe eine JMP-Datei mit all diesen Formeln erstellt, die zum Profil bereit ist. Es heißt BirthdayModel.jmp und kann von hier heruntergeladen werden JMPs Dateiaustausch .
Die Spalte, die wir simulieren möchten, heißt Total. Mit dem Simulator können Sie nicht nur Verteilungen an den Modelleingängen platzieren, sondern auch den simulierten Antwortwert mit zufälligem Rauschen versehen. Ich kann die Standardabweichung des Jahresbetrags in den Simulator einspeisen. Geben Sie einfach den Betrag wie folgt an:
Aber es gibt ein Problem. Mit dieser Funktion können Sie nur einen einzelnen Wert für die Variabilität in der Antwort eingeben. In unserem Beispiel ändert sich die Standardabweichung des jährlichen Betrags in Abhängigkeit von n und Klassen. Was kann ich also tun? Schauen Sie sich die Formel für Total an:
Mittelwert + Normal * StdDev
Dabei ist Mittelwert die Formel für den durchschnittlichen Jahresbetrag und StdDev ist die Formel für die Standardabweichung des Jahresbetrags. Es enthält einen Faktor namens Normal. Wenn ich den Simulator verwende, werde ich dafür sorgen, dass dieser Faktor eine Normalverteilung (0,1) hat. Daher haben die resultierenden simulierten Werte für Total die richtige Standardabweichung, und diese Standardabweichung ändert sich, wenn sich n oder Classes ändert. Genau das, was ich will Dies zwingt auch dazu, dass die Sampling-Verteilung von Total (für gegebene n und Klassen) auf Normal gesetzt wird. Nach anderen Simulationen, die ich durchgeführt habe, ist dies eine vernünftige Näherung, solange n zwischen 10 und 40 liegt.
Führen Sie das an die Datentabelle angehängte "Profiler" -Skript aus. Dadurch werden der Profiler und der Simulator gestartet. Die wirtschaftlichen Bedingungen sind unsicher, so dass ich n und Klassen nicht genau vorhersagen kann. Stattdessen kann ich für eine Vielzahl von Kombinationen von n und Klassen simulieren. Daher mache ich na Poisson mit dem Mittelwert 35 variabel. Und wie wir zuvor besprochen haben, ist Normal eine Normalverteilung (0,1). Aber was ist mit den Klassen? Ich denke, ich werde 1 oder 2 Klassen pro Monat unterrichten können, was einem Minimum von 12 und maximal 24 pro Jahr entspricht. Aber wie simuliere ich das? Ich benutze die Expression-Funktion, im Wesentlichen JSL-Code. Der Ausdruck, den ich verwende, erstellt 12 Zufallsvariablen (jeweils eine zufällige ganze Zahl entweder 1 oder 2) und summiert dann die 12 Variablen, um die simulierte Anzahl von Klassen im Jahr zu erhalten.
Fügen Sie ein unteres Spezifikationslimit von 0 hinzu und führen Sie den Simulator aus, um ähnliche Ergebnisse zu erhalten:
Einschließlich der Unsicherheit in n und Klassen werde ich am Ende eines Jahres durchschnittlich 393 USD haben, mit einer Wahrscheinlichkeit von 3,7%, weniger als 0 USD zu sein. Soll ich dieses Spiel spielen?
Was passiert, wenn ich die Unsicherheit in n und Klassen ignoriere? Ändern Sie die Variablen in Fixed und setzen Sie n = 35 und Classes = 18.
Die Chance, weniger als 0 $ zu sein, sinkt auf 0,03%. Aber die Ungewissheit zu ignorieren ist keine gute Risikomanagementpolitik, daher bleibe ich beim ersten Ergebnis.
Dieses Beispiel ist nicht so vollständig wie ich möchte. Wie bereits erwähnt, wählt diese Methode nicht für jede Klasse eine neue Klassengröße. Es weist jeder Klasse in einem Jahr die gleiche Klassengröße zu. Um der Realität näher zu kommen, musste ich JSL verwenden. Die Datentabelle enthält ein angefügtes Skript namens „Geburtstagsskript“. Kopieren Sie den Inhalt des Skripts in ein Skriptfenster und schließen Sie die Datentabelle, bevor Sie das Skript ausführen. Das Skript wählt für jede Klasse eine zufällige Klassengröße aus und ermöglicht, dass sich die Anzahl der Klassen jedes Jahr ändert. Sie müssen lediglich die gewünschten Durchschnittswerte für n und Klassen angeben. Das Ergebnis ist ein Histogramm der simulierten Jahresmenge.
Auf einer anderen, aber ähnlichen Bemerkung habe ich kürzlich erfahren, dass zwei andere Leute hier in meinem Stockwerk bei der Arbeit denselben Geburtstag haben wie ich. Mein Stockwerk hat 37 Leute. Sie denken vielleicht: "Wow, das ist überraschend! Das passiert nicht allzu oft." Sie könnten fragen: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei von 37 Personen den gleichen Geburtstag haben?" Die Formel, die ich vorhin gegeben habe, gilt für mindestens zwei Personen, die denselben Geburtstag haben, also funktioniert es nicht. Ich habe im Internet gesucht und konnte für mindestens 3 Personen keine Formel finden. Keine Sorge, ich habe es mit JSL simuliert. Für eine Gruppe von 37 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei denselben Geburtstag haben, etwa 0,053. Mein Unternehmen beschäftigt etwa 11.200 Mitarbeiter, das sind etwa 302 Gruppen von 37. Bei der Binomialverteilung mit p = 0,053 und n = 302 gehe ich davon aus, dass 9-23 der 302 Gruppen mindestens drei Personen mit demselben Geburtstag haben. Der JSL-Code, mit dem ich die Wahrscheinlichkeit abschätzte, ist an die Datentabelle angehängt und heißt "Mindestens 3".
Vielleicht ist es auf meiner Etage nicht so überraschend.
