Je suis sûr que la plupart de ceux qui lisent ceci ont rencontré le problème de probabilité d'anniversaire:
Sur un groupe de n personnes, quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient le même anniversaire? La réponse est donnée par la formule
Cette formule est simpliste car elle suppose que les anniversaires sont répartis de manière égale sur les 365 jours de l’année, ce qui, selon certaines études, est faux. Il ignore également l'année bissextile. Mais, pour nos besoins, la formule fonctionne bien. Amusons-nous avec ça!
Étonnamment, avec seulement 23 personnes, la probabilité d'au moins une correspondance est d'environ 0,5073. Avec 40 personnes, la probabilité est d'environ 0.8912 et avec 60 personnes, la probabilité est d'environ 0.9941. Un graphique de la formule est montré ici:
Pour notre petit exemple, supposons que je suis un enseignant qui donne des cours brefs. Le premier jour de cours, je demande aux étudiants s'ils sont disposés à accepter un petit pari. S'il y a au moins un match d'anniversaire, tout le monde dans la classe doit me donner 1 $. Sinon, je donne à chacun 1 $. Quelle est la somme moyenne que j'aurai à la fin d'une année? La réponse est facile à calculer et dépend du nombre d'élèves dans une classe et du nombre de classes que j'enseigne au cours de l'année. Le montant moyen à la fin de l’année est de
où n est le nombre de personnes dans la classe, Prob est la probabilité de la formule ci-dessus et Classes est le nombre de classes que j'enseigne au cours de l'année. Je suis également intéressé par l'écart type du montant annuel, donné par ce qui suit:
où Moyenne est la moyenne donnée par la première formule. Indice, Variance (x) = E (x ^ 2) -E (x) ^ 2. Notez que ces deux formules ne sont valables que si le nombre de cours enseignés chaque année est le même et si chaque cours compte le même nombre d'élèves. Si Classes est une variable aléatoire (peut changer d'année en année), les formules sont différentes, en particulier l'écart type. Donc, pour simplifier, supposons que n est le même pour chaque classe et que le nombre de classes est le même chaque année.
Je veux estimer la probabilité que le montant annuel soit de 0 $ ou moins. Je peux utiliser JMP Profiler et Simulateur pour faire ça. De plus, je peux utiliser le simulateur pour étudier l’incidence de différentes combinaisons de n et de classes sur la probabilité. J'ai créé un fichier JMP avec toutes ces formules incluses, prêt au profil. Il s’appelle BirthdayModel.jmp et peut être téléchargé à partir de Echange de fichiers JMP .
La colonne que nous voulons simuler s'appelle Total. Le simulateur vous permet non seulement de placer des distributions sur les entrées du modèle, mais également d'ajouter du bruit aléatoire à la valeur de réponse simulée. Je peux introduire l'écart type du montant annuel dans le simulateur. Spécifiez simplement le montant comme indiqué ci-dessous:
Mais, il y a un problème. Cette fonctionnalité vous permet uniquement de saisir une valeur unique pour la variabilité de la réponse. Dans notre exemple, l’écart type du montant annuel change en fonction de n et de catégories. Alors qu'est-ce que je peux faire? Regardez la formule pour Total:
Moyenne + normale * StdDev
où Moyenne correspond à la formule du montant annuel moyen et StdDev à la formule de l'écart type du montant annuel. Il inclut un facteur appelé Normal. Lorsque j'utilise le simulateur, je vais faire en sorte que ce facteur ait une distribution normale (0,1). Par conséquent, les valeurs simulées résultantes pour Total auront le bon écart-type, et cet écart-type changera à mesure que n ou les classes changent. Juste ce que je veux! De plus, cela force la distribution d'échantillonnage de Total (pour n et classes donnés) à être normale. Selon d'autres simulations que j'ai effectuées, il s'agit d'une approximation raisonnable, tant que n est compris entre 10 et 40.
Exécutez le script “Profiler” attaché à la table de données. Ceci lance le profileur et le simulateur. Les conditions économiques sont incertaines, je ne peux donc pas prédire n et Classes avec précision. Au lieu de cela, je peux simuler une variété de combinaisons de n et de classes. Par conséquent, je ne donne pas une variable de Poisson avec une moyenne de 35. Et comme nous en avons déjà discuté, Normal est une distribution normale (0,1). Mais qu'en est-il des classes? Je pense que je serai capable d'enseigner 1 ou 2 cours par mois, ce qui équivaut à un minimum de 12 et un maximum de 24 par an. Mais comment simuler cela? J'utilise la fonctionnalité Expression, qui est essentiellement du code JSL. L’expression que j’utilise crée 12 variables aléatoires (chacune un entier aléatoire égal à 1 ou 2), puis additionne les 12 variables pour obtenir le nombre simulé de classes dans l’année.
Ajoutez une limite de spécification inférieure à 0 et exécutez le simulateur pour obtenir des résultats similaires à ceux-ci:
En incorporant l’incertitude dans n et Classes, à la fin de l’année, j’aurai en moyenne 393 dollars, avec 3,7% de chances d’être inférieur à 0 dollar. Devrais-je jouer à ce jeu?
Que se passe-t-il si j'ignore l'incertitude dans n et Classes? Définissez les variables sur Fixe et définissez n = 35 et Classes = 18.
La chance d'être inférieur à 0 $ tombe à 0,03%. Mais ignorer l'incertitude n'est pas une bonne politique de gestion des risques, je vais donc m'en tenir au premier résultat.
Cet exemple n'est pas aussi complet que je le voudrais. Comme je l'ai dit précédemment, cette méthode ne choisit pas une nouvelle taille de classe pour chaque classe. Il attribue la même taille de classe à chaque classe d’une année. Pour me rapprocher de la réalité, je devais utiliser JSL. La table de données contient un script attaché appelé «Script d'anniversaire». Copiez le contenu du script dans une fenêtre de script et fermez la table de données avant d'exécuter le script. Le script choisit une taille de classe aléatoire pour chaque classe et permet au nombre de classes de changer chaque année. Tout ce que vous faites est de fournir les moyennes que vous voulez pour n et Classes. Le résultat est un histogramme du montant annuel simulé.
Sur une note différente mais similaire, j'ai récemment appris que deux autres personnes sur mon étage, ici au travail, ont le même anniversaire que moi. Mon étage a 37 personnes. Vous pourriez penser, "Wow, c'est surprenant! Cela n'arrive pas trop souvent." Vous pourriez demander: "Quelle est la probabilité qu’au moins trois personnes sur 37 aient le même anniversaire?" La formule que j'ai donnée précédemment est pour au moins 2 personnes ayant le même anniversaire, donc ça ne marche pas. J'ai cherché sur Internet et n'ai trouvé aucune formule pour au moins 3 personnes. Mais, pas de panique, je l’ai simulé avec JSL. Pour un groupe de 37 personnes, la probabilité qu'au moins trois aient le même anniversaire est d'environ 0,053. Mon entreprise compte environ 11 200 employés, soit environ 302 groupes de 37. Par conséquent, en utilisant la distribution binomiale avec p = 0,053 et n = 302, je prédis que 9 à 23 des 302 groupes ont au moins trois personnes ayant le même anniversaire. Le code JSL que j’ai utilisé pour estimer la probabilité est associé à la table de données et est appelé «au moins 3».
Peut-être que ça se passe sur mon plancher n’est pas si surprenant après tout.
