Una preocupación que a menudo escucho sobre el uso de software para el diseño óptimo de experimentos es que el algoritmo que produce el diseño es una "caja negra". Para usar el diseño, un investigador debe confiar en la caja negra. Un diseño óptimo es uno creado para maximizar alguna medida escalar de información sobre algunos modelos. En general, sin embargo, un investigador tiene interés en más de una medida escalar de la calidad del diseño. Por ejemplo, ortogonalidad o cerca de la ortogonalidad es una característica de diseño deseable. Una medida de la ortogonalidad de dos columnas de diseño es su correlación. Si hay muchos factores en un diseño y si hay interés en interacciones de dos factores, el número de correlaciones de pares a considerar puede ser desalentador. En este post, presento una trama de diagnóstico que incorpora todas las correlaciones de pares en una forma que es fácil de digerir. El uso de este gráfico permite una evaluación rápida e informativa de lo cerca que está un diseño de cribado de ser ortogonal.
Actualmente, existen varias herramientas comerciales de software para generar diseños óptimos. La calidad del diseño es una preocupación válida de cualquier usuario de tales herramientas. Incluso si el diseño suministrado es óptimo según el criterio de optimalidad anunciado, hay muchas características de calidad de un diseño. Caja y Draper en su libro. Construcción empírica de modelos y superficies de respuesta proporcionar una lista de 14 tales características. En otro texto más reciente sobre modelado de superficies de respuesta, Myers, Montgomery y Anderson-Cook proporcionan su propia lista de cualidades de un buen diseño. Dos características de interés aquí son la capacidad de estimar con precisión los parámetros del modelo y la capacidad de evaluar la idoneidad del modelo.
En experimentos de detección , el interés principal es encontrar los pocos factores de muchos que tienen la mayor influencia en la respuesta de interés. Tales experimentos generalmente tienen pocas corridas debido a restricciones presupuestarias y la naturaleza preliminar de la investigación. En tales casos, el investigador espera que un modelo de primer orden que incluya solo los efectos principales de los factores resulte adecuado para identificar los pocos factores vitales. Sin embargo, el investigador puede tener una preocupación molesta de que una interacción activa de dos factores puede sesgar el análisis, lo que resulta en la selección de un efecto principal inactivo. Una perspectiva más desagradable es que un efecto principal activo podría estar enmascarado por una interacción activa de dos factores que tenga un coeficiente del signo opuesto.
Un enfoque simple es considerar dos modelos de interés: el modelo para ajustar (primario) y el modelo que puede alias los coeficientes ajustados (potencial). Normalmente, el número de términos en los modelos combinados es mayor que el número de ejecuciones presupuestadas. En un 1994 Tecnometría artículo Bill DuMouchel y yo consideramos este marco de dos modelos y desarrollamos una modificación bayesiana a diseños D-óptimos para permitir cierta capacidad para estimar el modelo potencial y garantizar que el modelo primario sea estimable. El año pasado en una artículo en el Revista de Tecnología de Calidad , Chris Nachtsheim y yo consideramos la misma configuración del modelo. Nuestro objetivo fue minimizar el alias del modelo primario debido a los efectos activos en el modelo potencial, mientras que se requiere que la eficiencia estadística del modelo primario no caiga por debajo de algún límite inferior especificado.
Teniendo en cuenta los múltiples criterios para la calidad del diseño, tiene sentido tener una gráfica de diagnóstico para permitir la evaluación directa de cualquier diseño. En la siguiente sección, describo cómo hacer y usar uno de estos gráficos.
¿Cómo se hace este gráfico?
Para evaluar la ortogonalidad del diseño, propongo usar un diagrama de celdas que muestre la correlación por pares entre dos términos modelo como un cuadrado de color. Supongamos que el modelo primario tiene k factores principales de dos niveles de efectos. Un modelo potencial razonable contendría las interacciones de dos factores k (k-1) / 2. En este caso, hay k (k + 1) / 2 términos de interés. La gráfica de celdas es una matriz de celdas coloreadas de dimensión k (k + 1) / 2 por k (k + 1) / 2. Para el diseño en la figura, k = 9 y hay 45x45 = 2025 celdas en la gráfica, cada una representando una correlación por pares. Una tabla que contiene estos valores tiene la misma información pero es imposible escanearla rápidamente.
Para construir este gráfico, comience con la matriz n por k de configuraciones de factores donde n es el número de ejecuciones en el experimento. Agregue a esta matriz k (k-1) / 2 columnas obtenidas mediante la multiplicación elemental de cada par de factores. Ahora calcule la matriz de correlación de esta matriz encontrando todas las correlaciones de pares entre las columnas. El resultado de este cálculo es una matriz cuadrada simétrica de dimensión k (k + 1) / 2 por k (k + 1) / 2.
Los valores absolutos de los elementos de esta matriz van de 0 a 1. Es útil para crear un degradado de color que facilite la distinción entre correlaciones absolutas pequeñas y grandes. Dos posibilidades son usar un esquema de escala de grises donde una correlación cero es blanca y una correlación de 1 es negra. Una alternativa más colorida es usar azul para correlaciones cero con un degradado de color a rojo para correlaciones absolutas de 1. La gráfica de diagnóstico a continuación muestra un ejemplo utilizando el degradado de color azul a rojo.
Entonces, ¿qué me dice esto?
Tenga en cuenta que la diagonal de la trama es una línea de cuadrados rojos. Estos cuadrados muestran la correlación de cada columna consigo misma, que es, por supuesto, 1.
Puede ser útil dividir la trama en cuatro secciones que dividen los términos en el modelo primario de los términos potenciales. La figura tiene una línea vertical que separa los términos del efecto principal de los términos de interacción de dos factores. La línea horizontal hace la misma separación. Estas líneas dividen la trama en cuatro secciones significativas.
La sección superior izquierda de la gráfica muestra las correlaciones de los términos primarios entre sí. El color más deseable de todos los cuadrados fuera de la diagonal es el azul. Los colores que van hacia el rojo en esta área significan que los términos en el modelo primario están correlacionados. El resultado de esta correlación es la variación inflada de los coeficientes en el modelo. La figura muestra la gráfica de correlación para un diseño ortogonal, por lo que todos los cuadrados fuera de la diagonal en esta sección son azules.
Los rectángulos superior derecho e inferior izquierdo muestran la correlación entre los términos en el modelo primario y los términos potenciales. Una vez más, el color más deseable para todos estos cuadrados es el azul. A medida que el color de un cuadrado individual se acerca al rojo, el término potencial asociado, si está activo, agregará un sesgo creciente al término primario asociado. Si un cuadrado en esta región es rojo, entonces el término potencial y el término primario se confunden, haciendo imposible determinar qué efecto es causal. El diseño de los 16 libros de texto asociados con la figura es la resolución III, lo que significa que algunas interacciones de dos factores se confunden con los efectos principales. Por ejemplo, el efecto principal del factor A se confunde con la interacción DG. Idealmente, nos gustaría evitar este tipo de confusión. En mi próxima publicación, presentaré dos diseños que hacen exactamente lo que queremos.
El cuadrado inferior derecho de la gráfica muestra las correlaciones entre los términos en el modelo potencial con otros términos en el modelo potencial. Si hay menos corridas que términos en los modelos combinados, todos los cuadrados fuera de la diagonal de esta sección de la gráfica no pueden ser azules. Si un cuadrado en esta sección es rojo, entonces se confunden los términos potenciales correspondientes. Tenga en cuenta, por ejemplo, que las interacciones AB, CH, EI y FG están confundidas.
Afortunadamente, esta trama ya es una de las herramientas de evaluación de diseño en JMP para que no tenga que seguir los pasos de construcción arriba a mano.
Bradley Jones escribió:
Joe
Si le gusta el diseño Plackett-Burman de 20 ejecuciones para el problema de los 9 factores, le gustaría que el diseño de detección definitivo sea aún mejor. Tiene 21 carreras, efectos principales ortogonales, cero correlaciones entre el efecto principal y columnas de interacción de dos factores y puede estimar los efectos cuadráticos puros de todos los factores. Puede descargar un complemento para crear este diseño desde el sitio web de JMP.
-Puntilla
Joe Hockman escribió:
Puntilla. Brillante aplicación de un gráfico de matriz de correlación. Uno puede detectar fácilmente qué términos de interacción sesgarán las estimaciones del efecto principal. En contraste, para este problema de diseño de cribado de 9 factores, el DOE de Plackett-Burman de 20 ejecuciones podría ser una de las mejores opciones de Res III cuando uno a priori no sabe qué interacciones de segundo orden podrían ser grandes, ya que no habrá una estimación del efecto principal. fuertemente sesgada por una sola interacción grande de 2 vías. En realidad, la gran interacción de 2 vías no estimada sesgará parcialmente todos los efectos principales que no están involucrados en esa interacción. Aquí, los cuadrantes superior izquierdo e inferior derecho deberían tener la mayoría de las celdas con un color mayormente azul (o azul ligeramente rojizo). La siguiente opción más económica sería una carrera de 24 compuestas por el PB de 12 carreras más su imagen reflejada. La belleza de esta opción es que ahora es Res IV y los cuadrantes superior izquierdo e inferior derecho serán todos azules. Realmente me gusta esta trama como una evaluación de las opciones de diseño de detección temprana. gracias ... Joe Hockman
Por qué los diseños de cribado definitivos son definitivos. escribió:
[...] mis dos publicaciones anteriores, introduje la gráfica de celdas de correlación para la evaluación del diseño y luego mostré cómo usar la gráfica para comparar diseños. Aquí, quiero usar la misma trama para mostrar [...]
Diagrama de celdas de correlación para comparación de diseño en JMP escribió:
[...] mi post anterior, propuse una nueva herramienta de diagnóstico gráfico para evaluar experimentos diseñados. El gráfico sugerido [...]
