Una preoccupazione che sento spesso sull'uso del software per la progettazione ottimale degli esperimenti è che l'algoritmo che produce il disegno è una "scatola nera". Per usare il disegno, un investigatore deve fidarsi della scatola nera. Un design ottimale è uno creato per massimizzare qualche misura scalare di informazioni su alcuni modelli. Generalmente, tuttavia, un investigatore è interessato a più di una misura scalare della qualità del design. Per esempio, ortogonalità o quasi-ortogonalità è una caratteristica progettuale desiderabile. Una misura dell'ortogonalità di due colonne di progetto è la loro correlazione. Se ci sono molti fattori in una progettazione e se c'è interesse nelle interazioni a due fattori, il numero di correlazioni a coppie da considerare può essere scoraggiante. In questo post, introduco una trama diagnostica che incorpora tutte le correlazioni a coppie in una forma che è facile da digerire. L'utilizzo di questa trama consente una valutazione rapida e informativa di quanto un progetto di screening sia vicino all'essere ortogonali.
Attualmente, ci sono diversi strumenti software commerciali per generare progetti ottimali. La qualità del design è una preoccupazione valida per qualsiasi utente di tali strumenti. Anche se il design fornito è ottimale secondo il criterio di ottimalità pubblicizzato, ci sono molte caratteristiche di qualità di un design. Box e Draper nel loro libro Empirical Model-Building and Response Surfaces fornire un elenco di 14 di tali caratteristiche. In un altro testo più recente sulla modellizzazione della superficie di risposta, Myers, Montgomery e Anderson-Cook forniscono la loro lista di qualità di un buon design. Due caratteristiche di interesse qui sono la capacità di stimare con precisione i parametri del modello e la capacità di valutare l'adeguatezza del modello.
Nel esperimenti di screening , l'interesse principale è nel trovare i pochi fattori di molti che hanno la maggiore influenza sulla risposta di interesse. Tali esperimenti hanno generalmente poche esecuzioni a causa di vincoli di bilancio e la natura preliminare dell'indagine. In questi casi, il ricercatore spera che un modello di primo ordine comprendente solo gli effetti principali dei fattori si dimostrerà adeguato per identificare i pochi fattori vitali. Tuttavia, lo sperimentatore può avere una fastidiosa preoccupazione che un'interazione a due fattori attiva possa influenzare l'analisi, determinando la selezione di un effetto principale inattivo. Una prospettiva più spiacevole è che un effetto principale attivo potrebbe essere mascherato da un'interazione a due fattori attiva avente un coefficiente del segno opposto.
Un approccio semplice consiste nel considerare due modelli di interesse: il modello da adattare (primario) e il modello che può alias i coefficienti adattati (potenziale). In genere, il numero di termini nei modelli combinati è maggiore del numero di esecuzioni pianificate. In un 1994 Technometrics articolo Bill DuMouchel e io abbiamo preso in considerazione questa struttura a due modelli e sviluppato una modifica bayesiana ai progetti D-optimum per consentire una certa capacità di stimare il modello potenziale garantendo al tempo stesso la stima del modello primario. L'anno scorso in un articolo nel Journal of Quality Technology , Chris Nachtsheim e io abbiamo considerato la stessa configurazione del modello. Il nostro obiettivo era ridurre al minimo l'aliasing del modello primario a causa degli effetti attivi nel modello potenziale, mentre richiedeva che l'efficienza statistica per il modello primario non scendesse al di sotto di un determinato limite inferiore.
Considerando i molteplici criteri per la qualità del design, ha senso avere una trama diagnostica per consentire la valutazione diretta di qualsiasi progetto. Nella prossima sezione, descriverò come creare e utilizzare uno di questi grafici.
Come si crea questo grafico?
Per valutare l'ortogonalità del progetto, propongo di utilizzare un diagramma di celle che mostra la correlazione a coppie tra due termini del modello come un quadrato colorato. Supponiamo che il modello principale abbia k effetti principali del fattore a due livelli. Un modello potenziale ragionevole conterrebbe le interazioni k (k-1) / 2 a due fattori. In questo caso, ci sono k (k + 1) / 2 termini di interesse. Il diagramma di celle è una matrice di celle colorate di dimensione k (k + 1) / 2 di k (k + 1) / 2. Per il disegno nella figura, k = 9 e ci sono 45x45 = 2025 celle nel grafico, ciascuna raffigurante una correlazione a coppie. Una tabella contenente questi valori ha le stesse informazioni ma è impossibile eseguire la scansione rapidamente.
Per costruire questo grafico, inizia con la matrice n di k delle impostazioni dei fattori, dove n è il numero di esecuzioni nell'esperimento. Aggiungi a questa matrice k (k-1) / 2 colonne ottenute dalla moltiplicazione elementare di ogni coppia di fattori. Calcola ora la matrice di correlazione di questa matrice trovando tutte le correlazioni a coppie tra le colonne. Il risultato di questo calcolo è una matrice simmetrica quadrata di dimensione k (k + 1) / 2 per k (k + 1) / 2.
I valori assoluti degli elementi di questa matrice vanno da 0 a 1. È utile creare un gradiente di colore che renda facile distinguere le piccole correlazioni assolute da quelle grandi. Due possibilità sono di usare uno schema in scala di grigi in cui una correlazione zero è bianca e una correlazione di 1 è nera. Un'alternativa più colorata consiste nell'utilizzare il blu per zero correlazioni con un gradiente di colore su rosso per correlazioni assolute di 1. Il grafico diagnostico sotto mostra un esempio usando il gradiente di colore da blu a rosso.
Quindi cosa mi dice questo?
Si noti che la diagonale del grafico è una linea di quadrati rossi. Questi quadrati mostrano la correlazione di ciascuna colonna con se stessa, che è, ovviamente, 1.
Potrebbe essere utile dividere la trama in quattro sezioni che dividono i termini nel modello primario dai termini potenziali. La figura ha una linea verticale che separa i termini dell'effetto principale dai termini di interazione a due fattori. La linea orizzontale fa la stessa separazione. Queste linee dividono la trama in quattro sezioni significative.
La sezione in alto a sinistra del grafico mostra le correlazioni dei termini primari tra loro. Il colore più desiderabile di tutti i quadrati fuori diagonale è blu. I colori che vanno verso il rosso in quest'area indicano che i termini nel modello primario sono correlati. Il risultato di questa correlazione è la varianza gonfiata dei coefficienti nel modello. La figura mostra il grafico di correlazione per un disegno ortogonale, quindi tutti i quadrati fuori diagonale in questa sezione sono blu.
I rettangoli in alto a destra e in basso a sinistra mostrano la correlazione tra i termini nel modello primario e i termini potenziali. Ancora una volta, il colore più desiderabile per tutti questi quadrati è blu. Poiché il colore di un singolo quadrato si avvicina al rosso, il termine potenziale associato, se è attivo, aggiungerà un crescente pregiudizio al termine primario associato. Se un quadrato in questa regione è rosso, il termine potenziale e il termine primario vengono confusi, rendendo impossibile determinare quale effetto sia causale. Il disegno da manuale di 16 posizioni associato alla figura è la risoluzione III, il che significa che alcune interazioni a due fattori sono confuse con gli effetti principali. Ad esempio, l'effetto principale del fattore A è confuso con l'interazione DG. Idealmente, vorremmo evitare tale confusione. Nel mio prossimo post, presenterò due progetti che fanno proprio quello che vogliamo.
Il quadrato in basso a destra del grafico mostra le correlazioni tra i termini nel modello potenziale con altri termini nel modello potenziale. Se i modelli combinati presentano meno esecuzioni rispetto ai termini, tutti i quadrati non diagonali di questa sezione del grafico non possono essere blu. Se un quadrato in questa sezione è rosso, i termini potenziali corrispondenti vengono confusi. Si noti, ad esempio, che le interazioni AB, CH, EI e FG sono confuse.
Fortunatamente, questa trama è già uno degli strumenti di valutazione del design in JMP quindi non devi seguire i passaggi di costruzione sopra a mano.
Bradley Jones ha scritto:
Joe,
Se ti piacciono i 20 progetti Plackett-Burman eseguiti per il problema dei 9 fattori, ti piacerebbe che il progetto di screening definitivo fosse ancora migliore. Ha 21 corse, effetti principali ortogonali, zero correlazioni tra l'effetto principale e colonne di interazione a due fattori e può stimare gli effetti quadratici puri di tutti i fattori. È possibile scaricare un componente aggiuntivo per la creazione di questo disegno dal sito Web JMP.
-Brad
Joe Hockman ha scritto:
Brad. Brillante applicazione di un grafico a matrice di correlazione. Si può facilmente individuare quali termini di interazione influenzeranno le stime degli effetti principali. Al contrario, per questo problema di progettazione di screening a 9 fattori, il DOE Plackett-Burman a 20 fasi potrebbe essere una delle migliori scelte di Res III quando a priori uno non sa quali interazioni del 2 ° ordine potrebbero essere grandi poiché nessuna stima dell'effetto principale sarà fortemente influenzato da un'unica grande interazione a 2 vie. In realtà l'ampia interazione bidirezionale non stimolata distorcerà parzialmente tutti gli effetti principali non coinvolti in tale interazione. Qui i quadranti in alto a sinistra e in basso a destra dovrebbero avere la maggior parte delle cellule con una colorazione prevalentemente blu (o leggermente rossastra). La prossima opzione più economica sarebbe una corsa di 24 composta dal PB a 12 giri più la sua immagine riflessa. La bellezza di questa opzione è che ora i riquadri Res IV e in alto a sinistra e in basso a destra saranno tutti blu. Mi piace molto questa trama come una valutazione delle opzioni di progettazione di screening precoce. grazie ... Joe Hockman
Perché i progetti di screening definitivi sono definitivi ha scritto:
[...] i miei due post precedenti, ho introdotto la trama della cella di correlazione per la valutazione del design e poi ho mostrato come utilizzare la trama per confrontare i progetti. Qui, voglio usare la stessa trama per mostrare [...]
Grafico della cella di correlazione per il confronto del design in JMP ha scritto:
[...] il mio post precedente, ho proposto un nuovo strumento di diagnostica grafica per valutare esperimenti progettati. Il grafico suggerito [...]
