Ein Anliegen, das ich oft über die Verwendung von Software zum optimalen Design von Experimenten höre, ist, dass der Algorithmus, der das Design erzeugt, eine „Black Box“ ist. Um das Design verwenden zu können, muss ein Ermittler der Black Box vertrauen. Ein optimales Design wurde erstellt, um einige skalare Informationen zu einigen Modellen zu maximieren. Im Allgemeinen hat ein Prüfer jedoch Interesse an mehr als einem skalaren Maß für die Entwurfsqualität. Zum Beispiel, Orthogonalität oder nahezu orthogonalität ist ein wünschenswertes Designmerkmal. Ein Maß für die Orthogonalität zweier Designspalten ist ihre Korrelation. Wenn ein Design viele Faktoren enthält und Interesse an Zwei-Faktor-Wechselwirkungen besteht, kann die Anzahl der zu berücksichtigenden paarweisen Korrelationen entmutigend sein. In diesem Beitrag stelle ich eine diagnostische Darstellung vor, die alle paarweisen Korrelationen in einer leicht verdaulichen Form enthält. Die Verwendung dieses Diagramms ermöglicht eine schnelle und informative Bewertung der Orthogonalität eines Screening-Designs.
Derzeit gibt es mehrere kommerzielle Softwaretools zur Erzeugung optimaler Designs. Die Konstruktionsqualität ist für jeden Benutzer solcher Werkzeuge ein wichtiges Anliegen. Selbst wenn das gelieferte Design gemäß dem angegebenen Optimalitätskriterium optimal ist, gibt es viele Qualitätsmerkmale eines Designs. Box und Draper in ihrem Buch Empirische Modellierungs- und Antwortflächen stellen Sie eine Liste von 14 solcher Merkmale bereit. Myers, Montgomery und Anderson-Cook stellen ihre eigene Liste von Qualitäten eines guten Designs vor. Zwei Merkmale, die hier von Interesse sind, sind die Fähigkeit, Modellparameter genau abzuschätzen und die Eignung des Modells zu bewerten.
Im Screening-Experimente Das Hauptinteresse besteht darin, die wenigen Faktoren zu finden, die den größten Einfluss auf die Antwort von Interesse haben. Aufgrund der Haushaltszwänge und des vorläufigen Charakters der Untersuchung haben solche Experimente im Allgemeinen nur wenige Durchläufe. In solchen Fällen hofft der Prüfer, dass ein Modell erster Ordnung, das nur die Haupteffekte der Faktoren enthält, sich als ausreichend erweisen wird, um die wenigen Faktoren zu ermitteln. Der Prüfer hat jedoch möglicherweise die beunruhigende Besorgnis, dass eine aktive Zwei-Faktoren-Wechselwirkung die Analyse beeinflussen kann, was zur Auswahl eines inaktiven Haupteffekts führt. Eine unangenehme Aussicht ist, dass ein aktiver Haupteffekt durch eine aktive Zwei-Faktor-Wechselwirkung mit einem Koeffizienten des entgegengesetzten Vorzeichens maskiert werden könnte.
Ein einfacher Ansatz besteht darin, zwei interessierende Modelle zu berücksichtigen - das Modell, das (primär) angepasst werden soll, und das Modell, das die angepassten Koeffizienten (Potential) verfälschen kann. In der Regel ist die Anzahl der Begriffe in den kombinierten Modellen größer als die Anzahl der budgetierten Läufe. In einem 1994 Technometrie Artikel Bill DuMouchel und ich betrachteten dieses Zwei-Modell-Framework und entwickelten eine Bayes'sche Modifikation an D-optimalen Entwürfen, um einige Möglichkeiten zur Abschätzung des potenziellen Modells zu ermöglichen und gleichzeitig zu gewährleisten, dass das Primärmodell schätzbar ist. Letztes Jahr in einer Artikel in dem Journal für Qualitätstechnologie , Chris Nachtsheim und ich überlegten dasselbe Modell. Unser Ziel war es, das Aliasing des Primärmodells aufgrund aktiver Effekte im Potenzialmodell zu minimieren, während die statistische Effizienz für das Primärmodell nicht unter eine festgelegte Untergrenze fallen sollte.
In Anbetracht der vielfältigen Kriterien für die Entwurfsqualität ist es sinnvoll, eine Diagnosekurve zu haben, um eine direkte Bewertung jedes Entwurfs zu ermöglichen. Im nächsten Abschnitt beschreibe ich, wie ein solcher Graph erstellt und verwendet wird.
Wie erstellen Sie diese Grafik?
Zur Bewertung der Entwurfsorthogonalität schlage ich vor, ein Zelldiagramm zu verwenden, das die paarweise Korrelation zwischen zwei Modellausdrücken als farbiges Quadrat zeigt. Angenommen, das Primärmodell hat k-Zwei-Ebenen-Haupteffekte. Ein vernünftiges mögliches Modell würde die k (k-1) / 2 Zwei-Faktor-Wechselwirkungen enthalten. In diesem Fall gibt es k (k + 1) / 2 interessierende Bedingungen. Die Zelldarstellung ist eine Matrix aus farbigen Zellen der Dimension k (k + 1) / 2 durch k (k + 1) / 2. Für den Entwurf in der Figur ist k = 9 und es gibt 45x45 = 2025 Zellen in der Darstellung, wobei jede eine paarweise Korrelation darstellt. Eine Tabelle mit diesen Werten enthält dieselben Informationen, kann jedoch nicht schnell durchsucht werden.
Um dieses Diagramm zu erstellen, beginnen Sie mit der Matrix der Faktoreinstellungen von n nach k, wobei n die Anzahl der Läufe im Experiment ist. Fügen Sie dieser Matrix k (k-1) / 2 Spalten hinzu, die durch Elementmultiplikation jedes Paares von Faktoren erhalten werden. Berechnen Sie nun die Korrelationsmatrix dieser Matrix, indem Sie alle paarweisen Korrelationen zwischen den Spalten ermitteln. Das Ergebnis dieser Berechnung ist eine quadratische symmetrische Matrix mit der Dimension k (k + 1) / 2 um k (k + 1) / 2.
Die absoluten Werte der Elemente dieser Matrix reichen von 0 bis 1. Es ist nützlich, einen Farbverlauf zu erstellen, der es ermöglicht, kleine absolute Korrelationen von großen zu unterscheiden. Es gibt zwei Möglichkeiten, ein Graustufenschema zu verwenden, bei dem eine Nullkorrelation weiß und eine Korrelation von 1 schwarz ist. Eine farbenfrohe Alternative ist die Verwendung von Blau für Nullkorrelationen mit einem Farbverlauf zu Rot für absolute Korrelationen von 1. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel mit dem Farbverlauf von Blau nach Rot.
Was sagt mir das?
Beachten Sie, dass die Diagonale des Diagramms eine Linie aus roten Quadraten ist. Diese Quadrate zeigen die Korrelation jeder Spalte mit sich selbst, was natürlich 1 ist.
Es kann nützlich sein, das Diagramm in vier Abschnitte zu unterteilen, die die Terme im Primärmodell von den potenziellen Termen trennen. Die Figur hat eine vertikale Linie, die die Haupteffektbegriffe von den Zwei-Faktor-Wechselwirkungsbedingungen trennt. Die horizontale Linie macht dieselbe Trennung. Diese Linien unterteilen die Handlung in vier sinnvolle Abschnitte.
Der obere linke Abschnitt der Grafik zeigt die Korrelationen der primären Ausdrücke untereinander. Die wünschenswerteste Farbe aller nicht-diagonalen Quadrate ist Blau. Farben, die in diesem Bereich in Richtung Rot reichen, bedeuten, dass die Begriffe im Primärmodell korreliert sind. Das Ergebnis dieser Korrelation ist eine aufgeblähte Varianz der Koeffizienten im Modell. Die Abbildung zeigt das Korrelationsdiagramm für ein orthogonales Design, sodass alle nicht diagonalen Quadrate in diesem Abschnitt blau sind.
Die oberen rechten und unteren linken Rechtecke zeigen die Korrelation zwischen Begriffen im Hauptmodell und den potenziellen Begriffen. Die wünschenswerteste Farbe für alle diese Quadrate ist wiederum Blau. Wenn sich die Farbe eines einzelnen Quadrats Rot annähert, wird der zugehörige potentielle Term, wenn er aktiv ist, den assoziierten primären Term mit zunehmender Tendenz verstärken. Wenn ein Quadrat in dieser Region rot ist, werden der potenzielle Term und der primäre Term verwechselt, wodurch es unmöglich ist, zu bestimmen, welcher Effekt kausal ist. Das mit der Abbildung verbundene 16-stufige Lehrbuchdesign ist Auflösung III, was bedeutet, dass einige Zwei-Faktor-Wechselwirkungen mit Haupteffekten verwechselt werden. Beispielsweise wird der Haupteffekt von Faktor A mit der Interaktion der DG verwechselt. Im Idealfall möchten wir solche Verwechslungen vermeiden. In meinem nächsten Beitrag werde ich zwei Designs vorstellen, die genau das tun, was wir wollen.
Das untere rechte Quadrat des Diagramms zeigt die Korrelationen zwischen Ausdrücken im potenziellen Modell und anderen Ausdrücken im potenziellen Modell. Wenn in den kombinierten Modellen weniger Läufe als Terme vorhanden sind, dürfen nicht alle außerhalb der Diagonalen liegenden Quadrate dieses Diagrammabschnitts blau sein. Wenn ein Quadrat in diesem Abschnitt rot ist, werden die entsprechenden potenziellen Terme gestört. Beachten Sie zum Beispiel, dass die Wechselwirkungen von AB, CH, EI und FG verwechselt werden.
Glücklicherweise ist dieses Diagramm bereits eines der Werkzeuge für die Entwurfsbewertung in JMP Sie müssen also die oben genannten Bauschritte nicht von Hand ausführen.
Joe Hockman schrieb:
Brad. Brillante Anwendung eines Korrelationsmatrixdiagramms. Man kann leicht erkennen, welche Interaktionsbedingungen die Haupteffektschätzungen beeinflussen. Im Gegensatz dazu könnte das Plackett-Burman-DOE mit 20 Durchläufen für dieses 9-Faktor-Screening-Problem eine der besten Res III-Optionen sein, wenn a priori nicht bekannt ist, welche Wechselwirkungen 2. Ordnung groß sein könnten, da keine Schätzung des Haupteffekts vorliegt stark voreingenommen durch eine einzige große 2-Wege-Interaktion. Tatsächlich beeinflusst die nicht geschätzte große 2-Wege-Interaktion alle Haupteffekte, die nicht an dieser Interaktion beteiligt sind. Hier sollten die oberen linken und unteren rechten Quadranten die meisten Zellen mit überwiegend blauer (oder leicht rötlicher Blau) Färbung aufweisen. Die nächst wirtschaftlichste Option wäre ein 24-Durchlauf, bestehend aus dem 12-Durchlauf-PB und seinem reflektierten Bild. Die Schönheit dieser Option ist jetzt Res IV und der obere linke und der untere rechte Quadrant sind alle blau. Diese Handlung gefällt mir sehr gut als Einschätzung früherer Screening-Optionen. Danke ... Joe Hockman
Warum definitive Screening-Designs entscheidend sind schrieb:
In meinen beiden vorangegangenen Beiträgen habe ich das Korrelationszellendiagramm für die Designbewertung vorgestellt und dann gezeigt, wie das Diagramm zum Vergleich von Designs verwendet werden kann. Hier möchte ich die gleiche Darstellung verwenden, um [...]
