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Metodología de superficie de respuesta

• Metodología de superficie de respuesta
• Diseño de superficies de respuesta algorítmicas
• Planificación compuesta central
• Planificación Box-Behnken

¿Qué es la metodología de superficie de respuesta?

La metodología de superficie de respuesta (MSR) se utiliza para desarrollar, mejorar u optimizar un producto o proceso. Esta metodología emplea diversas técnicas estadísticas, gráficas y matemáticas para explorar y modelar la forma de la respuesta en toda la región experimental.

¿Cuándo se debe utilizar la metodología de superficie de respuesta?

Utilice la planificación de selección de factores para identificar los factores importantes que determinan la calidad de su producto o los resultados de su proceso. Una vez identificados estos factores, la metodología de superficie de respuesta (RSM) ayuda a determinar la configuración de dichos factores para optimizar sus respuestas. En concreto, la RSM puede ser útil si:

• Ten en cuenta un objetivo general para tu respuesta (por ejemplo, cuanto más alto, mejor; cuanto más bajo, mejor; o dentro de un rango determinado, mejor).
• Un objetivo específico para su meta (por ejemplo, la respuesta debe ser de al menos el 90%, menos de 5 mg/L o 20 ± 0,1 mm).
• Más de una respuesta, cada una con un propósito específico.

Además, la metodología de superficie de respuesta (RSM) resulta más útil cuando se tiene la certeza de que existe un punto óptimo dentro de la región experimental.

¿Por qué utilizar la metodología de superficie de respuesta?

Supongamos que utilizó la planificación de selección de factores para reducir la lista de posibles factores importantes en su proceso. Ahora, desea encontrar las configuraciones de factores que optimicen una o más respuestas, pero necesita información más detallada que la que se puede obtener con la planificación de selección de factores típica.

O quizás ya sepa qué factores son importantes, pero sospeche que el proceso podría mejorarse para alcanzar mejor sus objetivos. En cualquier caso, comprender la forma de la respuesta —la superficie de respuesta— le ayudará a identificar las configuraciones de factores que, según las predicciones, producirán la respuesta ideal, ya sea definida (máxima, mínima u objetivo).

Supongamos, por ahora, que todos los factores que se están considerando son continuos.

Un factor experimental evaluado a dos niveles proporciona los datos necesarios para estimar un efecto lineal. Para un diseño de un solo factor, la superficie de respuesta se modela como una línea; para dos factores, como un plano; y para tres o más factores, como un hiperplano.

Sin embargo, el efecto de un factor sobre la respuesta a menudo no es lineal. Puede haber un pico (máximo) o un valle (mínimo) en la respuesta entre los niveles bajos y altos de un factor. En otras palabras, se puede observar una curvatura en la superficie de respuesta. En estos casos, las condiciones óptimas son difíciles o incluso imposibles de encontrar utilizando diseños que asumen una respuesta lineal. Para estimar la curvatura en la respuesta, es necesario agregar nuevos efectos al modelo, lo que requiere más puntos de datos. Por ejemplo, para estimar una efecto cuadrático (es decir, X²) Un factor continuo debe probarse en tres niveles, no solo en dos. Los diseños RSM incluyen un tercer nivel (o a veces más) para cada factor continuo en su diseño ^.

Estos diseños pueden realizarse de forma independiente, pero también pueden basarse en sus datos existentes para estimar efectos cuadráticos, especificando niveles de factores y combinaciones de tratamientos que no se incluyeron en diseños anteriores. Supongamos que ha realizado un diseño de selección de factores para descubrir qué factores son importantes. Ya ha recopilado datos valiosos sobre su sistema o proceso, pero normalmente no tendrá los datos necesarios para estimar la curvatura. Ampliar sus datos existentes con un diseño posterior que incluya un tercer nivel para factores continuos puede ser una forma eficiente de modelar la superficie de respuesta.

Encontrar las configuraciones de factores que optimicen una o más respuestas puede ser un desafío. En la mayoría de los casos, una respuesta depende de múltiples factores, lo que hace que la superficie de respuesta sea multidimensional y potencialmente compleja si los factores interactúan entre sí. La metodología de superficie de respuesta nos permite explorar esta superficie para encontrar las mejores configuraciones de factores dentro de la región experimental y así alcanzar los objetivos de respuesta.

Metodología de superficie de respuesta: un ejemplo

Supongamos que estamos interesados ​​en optimizar un proceso identificando qué configuraciones de factores producen el mayor... actuación y el más pequeño impureza Se nos informó que los objetivos de ambas respuestas son igualmente importantes. Basándonos en conocimientos previos, sabemos que tres factores son importantes, pero queremos mejorar el proceso encontrando las condiciones operativas que mejor se ajusten a nuestros objetivos. En este ejemplo, no estamos mejorando un proyecto anterior, como se describió anteriormente, sino creando un nuevo proyecto RSM.

Las respuestas y los factores son:

• Actuación: El objetivo de la respuesta es maximizar (cuanto mayor, mejor).
• Impureza: El objetivo de la respuesta es minimizar (cuanto más pequeño, mejor).
• pH: El rango del factor es de 5 a 8.
• Temperatura: El rango del factor es de 15° a 45° Celsius.
• Proveedor: Existen tres niveles de proveedores (niveles de factores): Bueno, Rápido y Barato.

Para ambos factores continuos, pH e TemperaturaQueremos determinar si existe un pico o un valle en la respuesta entre los niveles altos y bajos de los factores. El rango de interés para pH Está entre 5 y 8. Para entender si el efecto de pH en Ingreso e purificar No es lineal; probamos un tercer nivel intermedio entre 5 y 8 (6,5). Hacemos lo mismo para la temperatura, con niveles de 15°, 30° y 45°. Los tres niveles nos permiten estimar el efecto cuadrático. (curvatura) para factores continuos. Los efectos cuadráticos no se pueden estimar para factores categóricos. También nos interesa saber si existe alguna interacción.entre los tres factores. Un diseño de Metodología de Superficie de Respuesta (MSR) con 18 ensayos nos permitirá estimar los efectos principales, las interacciones entre dos factores y los efectos cuadráticos.

Tras la fase de planificación , las respuestas se registran en la tabla de datos.

Utilice regresión lineal múltiple. para modelar las respuestas. El modelo completo para ambas respuestas incluye los siguientes términos:

• Interceptar
• Tres efectos principales ( pH, temperatura e proveedor )
• Tres interacciones de dos factores
• Dos efectos cuadráticos (para factores continuos)

Después de ajustar modelos separados para Actuación e ImpurezaPuedes utilizar la selección de variables. para eliminar los términos irrelevantes de los modelos. Los términos que permanecen en los modelos reducidos para cada respuesta se muestran en la tabla a continuación.

Usar: Los términos en cursiva en el modelo no eran significativos, pero se mantienen en los modelos porque están involucrados en términos de orden superior.

Descubrimos que ambos pH Cuánto la temperatura, así como uno o más de sus efectos de orden superior, fueron importantes para ambas respuestas. Sin embargo, el proveedor (y su interacción con) pH ) era importante solo para impuro .

Es posible visualizar la forma de la superficie de respuesta para factores continuos con un gráfico de superficie tridimensional. En los gráficos, se puede observar en qué parte de la región experimental es posible obtener valores más altos de Actuación y valores más bajos de Impureza .

Cosecha

Impureza

También puedes visualizar la superficie de respuesta observando sus secciones transversales o perfiles. Aquí puedes ver cómo el cambio en el nivel de un factor individual afecta los valores de respuesta predichos (mostrados a la izquierda). Además, puedes observar cómo cambian los perfiles de los factores involucrados en las interacciones según el nivel del otro factor.

Los objetivos de la respuesta son maximizar Ingreso y minimizar como Impurezas Es posible encontrar una combinación de configuraciones de factores dentro de la región experimental que equilibre las compensaciones entre ambos objetivos. En este ejemplo, configurar el pH a 6,85, un Temperatura para 34,25° y utilice el método rápido. del proveedor tiene como objetivo maximizar Ingreso en el 94,12% y minimizar como Impurezas al 0,89%.

Puede haber otras combinaciones de factores que produzcan resultados similares. También puede encontrar configuraciones que produzcan... un ingreso más grande, por ejemplo, pero a costa de la minimización. de ImpurezasO viceversa. Quizás estés dispuesto a aceptar esta compensación si optimizar una de las respuestas es más importante que la otra.

Diseño de superficies de respuesta algorítmicas

¿Qué es la planificación algorítmica para la metodología de superficie de respuesta (RSM)?

Un enfoque de diseño algorítmico para RSM utiliza diseños I-óptimos, cuyas propiedades estadísticas son similares a las de los diseños clásicos empleados en la metodología de superficie de respuesta para la optimización de la respuesta, como los diseños compuestos centrales y los diseños de Box-Behnken. Los diseños algorítmicos buscan maximizar uno de varios criterios de optimización, incluida la I-optimalidad. La I-optimalidad tiene como objetivo minimizar la varianza de predicción y se utiliza para modelos de segundo orden (efectos principales más cuadráticos e interacciones bidireccionales), donde las predicciones precisas tienen prioridad en la optimización de la respuesta.

¿Cuándo debo utilizar la planificación algorítmica para RSM?

La planificación algorítmica para RSM se puede utilizar cuando el objetivo es la optimización. Resulta especialmente útil cuando se requiere flexibilidad en el diseño más allá de la que ofrecen los diseños clásicos. Por ejemplo, el uso de la planificación algorítmica para RSM sería eficaz cuando existen múltiples tipos de factores o restricciones en el espacio de diseño.

La planificación algorítmica para RSM puede incluir:

• Tipos de factores categóricos.
• Combinaciones de factores inviables.
• Bloqueo.
• Modelos no estándar.
• Aleatorización restringida.
• Un presupuesto personalizado para el proyecto.

Introducción a la planificación algorítmica para RSM

Un enfoque de diseño algorítmico para la metodología de superficie de respuesta (RSM) adapta el diseño al problema en cuestión, en lugar de intentar ajustar el problema a un diseño predeterminado. El software de diseño de experimentos (DOE), como JMP, es un ejemplo de este enfoque.Utilizan un algoritmo para crear un proyecto RSM que cumpla con sus especificaciones, maximizando uno de varios criterios de optimización. El criterio de optimización utilizado para RSM es el criterio de I-optimalidad, que prioriza las predicciones precisas.

Analicemos dos situaciones comunes donde los diseños algorítmicos pueden brindar flexibilidad a la Metodología de Superficie de Respuesta (MSR). Existen muchas situaciones donde un factor categórico también es de interés en un diseño de MSR. Por ejemplo, supongamos que queremos comprender cómo tres proveedores impactan nuestra respuesta de interés, además de tres factores continuos. Tradicionalmente, ejecutaríamos un diseño de MSR separado para cada proveedor, ya que un factor categórico no podría incluirse en el diseño clásico de MSR.

Para tres factores continuos, podríamos ejecutar un diseño Box-Behnken con 15 iteraciones. Ejecutar 15 diseños Box-Behnken para cada uno de los tres proveedores resulta en un total de 45 iteraciones, lo que supera rápidamente nuestro presupuesto de iteraciones. Sin embargo, con diseños algorítmicos, podríamos incluir al proveedor como un factor, además de los tres factores continuos, y ejecutar un único diseño para comprender el impacto en la respuesta en 24 iteraciones. Las 24 iteraciones se basan en heurísticas para crear un diseño equilibrado para los términos del modelo de segundo orden propuesto, con algunas iteraciones adicionales para estimar un término de error.

Otra situación en la que la planificación algorítmica RSM puede brindar flexibilidad es cuando tenemos combinaciones prácticas de niveles de factores que sabemos de antemano que son inviables por razones como la seguridad. Por ejemplo, consideremos que estamos optimizando un nuevo proceso para hacer pizza. Hay condiciones que sabemos que no producirían una pizza aceptable. Hornear una pizza a alta temperatura durante un período prolongado resultará en una pizza quemada. De manera similar, hornear una pizza a baja temperatura durante un período corto resultará en una pizza cruda. En este ejemplo, la región de diseño tiene una forma irregular y presenta restricciones.

La planificación algorítmica para RSM nos brinda la flexibilidad necesaria para abordar estos desafíos de diseño, así como otros escenarios como la saturación del sistema y un presupuesto de ejecución personalizado. La planificación algorítmica puede generar diseños clásicos utilizados en la Metodología de Superficie de Respuesta cuando esto resulta ideal para las especificaciones del proyecto.

Un ejemplo de planificación algorítmica para RSM.

Analicemos con más detalle la planificación presentada en la descripción general del proyecto RSM.. El objetivo de la planificación es mejorar un proceso mediante la búsqueda de las condiciones operativas que produzcan los mejores resultados. actuación y el más pequeño impureza Maximizar los ingresos Es tan importante como minimizar el impureza Para crear un plan algorítmico, primero elegimos las respuestas y los factores.

Las respuestas y los factores son:

• Actuación: El objetivo de la respuesta es maximizar (cuanto mayor, mejor).
• Impureza: El objetivo de la respuesta es minimizar (cuanto más pequeño, mejor).
• pH: El rango del factor es de 5 a 8.
• Temperatura: El rango del factor es de 15° a 45° Celsius.
• Proveedor: Existen tres niveles de proveedores (niveles de factores): Bueno, Rápido y Barato.

Decisiones operativas sobre qué configuraciones pH e temperatura uso, junto con el cual proveedor, Se basan en cómo estos factores predecirán los ingresos e como imperfección El conocimiento técnico también es importante para definir rangos estrechos de valores para los factores. Es esencial que los ingresos e como imperfección Presentan el menor margen de error posible para que las decisiones operativas sean precisas. El criterio de optimización I-óptimo es ideal porque minimiza la varianza del pronóstico.

A continuación, debemos proponer un modelo estadístico inicial. Este modelo está directamente relacionado con el objetivo de optimización de esta planificación. Proponemos un modelo de segundo orden que incluye términos cuadráticos y de interacción.que ofrecen la flexibilidad para predecir y optimizar Ingreso y Impureza Los términos cuadráticos para los factores continuos nos permiten determinar si hay un pico o un valle en la... Actuación o sobre Impureza entre niveles altos y bajos de pH e Temperatura Los efectos cuadráticos no pueden estimarse para factores categóricos. Cuando se especifican efectos cuadráticos en el modelo estadístico propuesto inicialmente, se añade un tercer nivel, el punto medio, al diseño para... pH e Temperatura En la planificación, pH Se probará en 5, 6.5 y 8, mientras que la temperatura Se someterá a pruebas a 15°C, 30°C y 45°C.

Los términos del modelo incluidos en el modelo estadístico inicial se muestran en la siguiente figura.

Se genera un plan óptimo I basado en los términos del modelo que incluimos. Si hubiéramos tomado otras decisiones, como restricciones en la región de planificación , estas influirían en el diseño generado. En este ejemplo, no tuvimos restricciones ni otras decisiones que pudieran influir en el diseño. El plan consta del número de ejecuciones necesarias para estimar el modelo estadístico propuesto, más cinco o seis ejecuciones únicas adicionales para estimar el error del modelo. Para nuestro ejemplo, se propone un plan RSM con 18 ejecuciones, como se muestra a continuación.

Esta planificación óptima minimiza la varianza media de la previsión, como se puede observar en las figuras siguientes. Notará que la varianza de la previsión se mantiene baja en gran parte del espacio de diseño, mientras que aumenta cerca de los límites de dicho espacio. Los perfiles que se muestran a continuación representan la amplitud del factor en el eje X y la varianza en el eje Y.

Los valores de Actuación e Impureza Los datos se registran en la tabla de datos una vez ejecutado el plan, siguiendo el orden de ejecución previsto.

Para analizar los datos experimentales, utilizaremos la regresión lineal múltiple. para ajustar el modelo estadístico "completo" inicial especificado para Actuación e Impureza Se diseña un modelo individualizado para cada respuesta. Actuación e Impureza Los términos de la plantilla son los mismos que especificamos durante la configuración del proyecto e incluyen los siguientes términos:

• Interceptar.

• Tres efectos principales ( pH, temperatura e proveedor ).

• Tres interacciones de dos factores.

• Dos efectos cuadráticos (para factores continuos).

En ambos modelos, los efectos inactivos se eliminan mediante la selección de variables.Los efectos activos son términos estadísticamente significativos que influyen en las respuestas. Al observar el resumen de efectos para ambos modelos con efectos activos, vemos que la curvatura es un efecto activo para... Temperatura e pH con el término cuadrático. También observamos que existen interacciones activas entre pH e Proveedorasí como entre pH e Temperatura.

Analicemos el modelo reducido para Actuación e Impureza observando secciones transversales de la superficie, o perfiles. Para nuestro ejemplo, el objetivo es maximizar Ingreso es igual de importante que minimizar Impureza Para comprender las ventajas y desventajas y encontrar una combinación de ajustes de factores que equilibre las ventajas y desventajas entre los dos objetivos, combinamos los rasgos del perfil y los optimizamos conjuntamente.

En este ejemplo, determinamos que definir el pH por 7.18, un temperatura a 33.71 y utilice la opción "Rápido" del proveedor tiene como objetivo maximizar los ingresos en 96,06% y minimizar como imperfección al 0,82%. Cabe señalar, sin embargo, que puede haber otras combinaciones de factores que produzcan resultados similares.

Planificación compuesta central

¿Qué es un plan central compuesto?

Un diseño compuesto central (CCD) es un diseño clásico de superficie de respuesta. Incorpora puntos de un diseño factorial fraccionado. En diseños de resolución V o superior, se utilizan puntos centrales y axiales (puntos estrella). En estos diseños, se pueden estimar los efectos principales y todas las interacciones entre dos factores. Los puntos forman un cubo más una estrella y se encuentran a igual distancia del centro.

¿Cuándo debo usar un?planificación¿Compuesto central?

Los diseños compuestos centrales se utilizan en el diseño de superficies de respuesta, donde el objetivo es la predicción y la optimización. Son especialmente útiles para la experimentación secuencial, ya que contienen puntos de diseño de un factorial de dos niveles o un factorial fraccionado. El diseño inicial se puede ampliar con puntos centrales y axiales para obtener un diseño compuesto central. Los diseños compuestos centrales solo admiten factores continuos.

Introducción a los diseños compuestos centrales

Los diseños compuestos centrales son un tipo de diseño RSM clásico y son conocidos por su utilidad en la experimentación secuencial. Incluyen únicamente factores continuos, cada uno probado en cinco niveles: dos axiales, bajo, medio y alto, o –α, –1, 0, +1, +α.

Los diseños compuestos centrales incluyen puntos de un diseño factorial fraccional V de resolución mínima, puntos centrales y puntos axiales. Las tres partes del diseño permiten la estimación de efectos principales, interacciones y términos cuadráticos:

• Puntos factoriales (codificados como -1, +1): Permiten estimar los efectos principales y las interacciones de segundo orden.
• Puntos centrales (codificados como 0): Permiten detectar la curvatura, aumentar la precisión y comprobar si hay falta de ajuste.
• Puntos axiales (codificados como –α, +α): Permiten la estimación de términos cuadráticos.

En la figura siguiente, los puntos factoriales se muestran como cuadrados negros, los puntos centrales como círculos azules y los puntos axiales como rombos naranjas.

Los puntos centrales representan los momentos en que los valores de todos los factores se definen como valores promedio. Se utilizan para determinar si existe curvatura (un efecto cuadrático), aumentar la precisión y realizar una prueba de falta de ajuste. Si la prueba de falta de ajuste indica que el modelo de primer orden no es apropiado, se puede complementar la planificación con puntos axiales para obtener un Plan Compuesto Central.

Los puntos axiales (también conocidos como puntos estrella) definen propiedades de planificación como la rotacionalidad y la ortogonalidad, y se utilizan para estimar efectos cuadráticos. Se ubican a una distancia de ±α del centro de la planificación. Cada punto axial tiene una posición de ±α para un factor y de 0 para los demás. Los valores axiales pueden ubicarse en diferentes posiciones dentro de la planificación, lo que permite disponer de distintos tipos de planes compuestos centrales.

• Caras: Los valores axiales se encuentran en los centros de las caras del cubo (espacio factorial). Estos CCD también se conocen como centrados. No lo hagas o centrado en el rostro.
• Circunscrito: Los valores axiales están fuera del cubo (espacio factorial).
• Suscrito: Los valores axiales están dentro del cubo (espacio factorial).

Los diseños compuestos centrales (CCD) pueden ejecutarse secuencialmente mediante la extensión de un diseño, lo cual constituye una de sus ventajas. Extender un diseño implica añadir ensayos a un diseño experimental existente. Primero, se recopilan datos de un diseño factorial o factorial fraccionado. Luego, se añaden puntos centrales extendiendo el diseño para comprobar la falta de ajuste. Finalmente, si se detecta una falta de ajuste en el modelo de primer orden, el diseño puede extenderse con puntos axiales para obtener un CCD.

Los diseños I-óptimos de tres y cinco factores generarán el mismo número de ensayos únicos que un Diseño Compuesto Central para el número de factores correspondiente. Cuando se tienen varios tipos de factores además de los continuos —como factores categóricos, restricciones en el espacio de diseño, modelos no estándar o un presupuesto de ejecución personalizado—, se deben considerar los diseños algorítmicos. debido a su mayor flexibilidad.

Un ejemplo de planificación centralizada compuesta

Supongamos que queremos encontrar las configuraciones ideales de los factores para maximizar la fuerza de sellado del empaquetado del pan. Basándonos en el conocimiento previo, sabemos que los tres factores continuos – % Polietileno, Temperatura de enfriamiento e Temperatura de sellado – Estos aspectos son importantes. Decidimos realizar un diseño compuesto central para comprender la forma de la superficie de respuesta utilizando un modelo de segundo orden. Primero, definimos los objetivos de respuesta y la configuración de los factores.

La respuesta y los factores son:

• Resistencia del sellado: El objetivo de la respuesta es maximizar (cuanto mayor, mejor).
• % Polietileno: El rango del factor va de 85 a 95 (el punto medio es 90).
• Temperatura de enfriamiento: El rango del factor va de 120° a 140° (punto medio de 130°).
• Temperatura de sellado: El rango de temperatura es de 220° a 240° (punto medio de 230°).

Cada factor continuo se prueba en valores bajos, medios y altos en un diseño compuesto central para producir un modelo de segundo orden con términos cuadráticos y de interacción. Por ejemplo, el porcentaje de polietileno Se prueba a 85, 90 y 95. Con tres factores continuos, elegimos un CCD con precisión uniforme de 20 ensayos. Hay ocho ensayos para los puntos factoriales, seis para los puntos axiales en la cara y seis para los puntos centrales. La precisión uniforme significa que el número de puntos centrales se elige de manera que la varianza de predicción sea aproximadamente la misma en el centro y en las esquinas del diseño. A continuación se muestra la tabla del diseño aleatorio con una columna que muestra el patrón de los puntos del diseño.

Con fines didácticos, se presenta la misma tabla a continuación, pero en orden alfabético, para que se puedan visualizar los tres puntos de diseño diferentes. Además, los puntos de diseño se muestran visualmente. En la tabla y la figura, los puntos factoriales están representados por cuadrados negros, los puntos centrales por círculos azules y los puntos axiales por rombos naranjas.

Los valores de fuerza del sello Los datos se registran en la tabla de datos después de la ejecución de la planificación, siguiendo el orden de ejecución del proyecto de aleatorización original para eliminar la correlación con cualquier variable potencialmente desconocida u oculta.

Para analizar los datos experimentales, utilizamos la regresión lineal múltiple. para ajustar el modelo estadístico "completo" inicial especificado para fuerza del sello Los términos para este modelo de segundo orden incluyen lo siguiente:

• Interceptar.
• Tres efectos principales ( % Polietileno, Temperatura de enfriamiento e Temperatura de sellado ).
• Tres interacciones de dos factores.
• Tres efectos cuadráticos.

Analizando el resumen de los efectos del modelo con los efectos activos, vemos que la curvatura es un efecto activo para Temperatura de sellado con el término cuadrático. Mantenemos todos los términos en el modelo para la optimización y comprobamos si hay un máximo para Temperatura de sellado, caso exista.

Podemos analizar el modelo de fuerza del sello con secciones transversales de la superficie o perfiles. Actualmente, con los factores definidos en sus respectivos puntos medios, predecimos un fuerza del sello de 10.04. Queremos optimizar para encontrar una combinación de configuraciones de factores que produzca el mayor fuerza del sello .

En este ejemplo, vemos que definir el porcentaje de polietileno a 92,61 temperatura de enfriamiento a 131,75 y la temperatura de sellado Para 226,22, predice un valor máximo de 10,35. la fuerza de sellado Estos ajustes dan como resultado una deseabilidad de 0,67, lo que indica que hemos alcanzado aproximadamente el 67% de nuestro objetivo de maximizar... la fuerza de sellado Puede haber otras combinaciones de factores que produzcan resultados similares.

Planificación Box-Behnken

¿Qué es un plan Box-Behnken?

Los diseños de Box-Behnken son un diseño clásico de superficie de respuesta, construido a partir de un subconjunto de puntos de un diseño factorial, donde cada factor se define en tres niveles. Los puntos en los diseños de Box-Behnken se ubican en los bordes de un hipercubo y equidistan del centro. Evitan los puntos extremos y no pueden construirse a partir de diseños factoriales para experimentación secuencial.

¿Cuándo debo utilizar el método de planificación Box-Behnken?

Los diseños de Box-Behnken se utilizan en el diseño de superficies de respuesta, donde los objetivos principales son la predicción y la optimización. Un diseño de Box-Behnken puede ser ventajoso cuando se necesita evitar extremos en la combinación de factores, como por ejemplo, ejecutar cada factor continuo a un nivel alto. En ocasiones, las ejecuciones que involucran extremos de factores son peligrosas, físicamente imposibles o muy costosas. Los diseños de Box-Behnken incluyen únicamente factores continuos.

Introducción a la planificación Box-Behnken.

Los diseños de Box-Behnken son un tipo de diseño clásico de modelos de superficie de respuesta y se caracterizan por evitar puntos extremos. Incluyen únicamente factores continuos que se prueban en tres niveles: bajo, medio y alto, o -1, 0, +1 en unidades codificadas.

Los planes de Box-Behnken tienen dos características distintivas: son rotacionales (o casi rotacionales) y esféricos. Los planes rotacionales son aquellos en los que la varianza predicha mantiene el mismo valor cuando el plan se rota alrededor de su centro. Los planes de Box-Behnken también son esféricos, donde todos los puntos del plan son equidistantes del centro, a diferencia de los planes cúbicos, en los que los extremos del cubo no son puntos de planificación. Pueden ser ventajosos cuando es necesario evitar los puntos extremos debido a costos o efectos secundarios indeseables. Sin embargo, la ausencia de puntos de planificación en los vértices del cubo conlleva una mayor varianza de predicción cerca de los vértices, donde no hay datos. A continuación se muestra un diagrama de dispersión 3D de los puntos de planificación para tres factores. Nótese que no hay puntos de planificación en las esquinas del espacio.

Cuando se tienen varios tipos de factores además de los continuos (como factores categóricos, restricciones del espacio de diseño, modelos no estándar o un presupuesto de ejecución personalizado), considere la planificación algorítmica. debido a su mayor flexibilidad.

Un ejemplo de un plano Box-Behnken

Supongamos que queremos optimizar la elasticidad de una pelota de tenis medida como Estiramiento (elasticidad), para un valor objetivo estandarizado. La elasticidad de la pelota puede variar dependiendo de las cantidades de sílice, azufre e silano utilizado durante la fabricación. El objetivo de la planificación es mejorar el proceso de fabricación optimizando la configuración de los factores para producir un Estirar de 450. Estiramiento O Para obtener un producto aceptable, el valor no puede ser inferior a 350 ni superior a 550. Consideramos necesario un modelo de segundo orden y, por lo tanto, optamos por un diseño Box-Behnken para evitar que los factores asuman simultáneamente valores extremos. Para crear un diseño Box-Behnken, primero definimos la respuesta deseada y los rangos de valores para los factores.

La respuesta y los factores son:

• Objetivo: La respuesta objetivo es alcanzar un valor de 450, con un límite inferior de 350 y un límite superior de 550.
• Sílice: El rango del factor va de 0,7 a 1,7 (el punto medio es 1,2).
• Azufre: El rango del factor va de 1,8 a 2,8 (el punto medio es 2,3).
• Silano: El rango del factor va de 40 a 60 (el punto medio es 50).

Cada factor continuo se prueba en valores bajos, medios y altos en un diseño Box-Behnken para producir un modelo de segundo orden con términos cuadráticos y de interacción.Por ejemplo, sílice Se prueba en 0,7, 1,2 y 1,7. Con tres factores continuos, elegimos un diseño Box-Behnken con 15 ensayos y tres puntos centrales. Hay 12 ensayos para examinar todas las combinaciones posibles de valores bajos y altos para cada par de factores, mientras que el tercer factor se encuentra en el nivel medio más los tres puntos centrales. A continuación se muestra la tabla de diseño aleatorio con una columna que muestra el patrón de los puntos de diseño.

Con fines didácticos, se muestra a continuación la misma tabla, ordenada por la columna de patrón. Observe cómo cada ejecución contiene uno de los factores con un valor intermedio, mientras que los otros dos factores tienen valores altos o bajos. Ninguna de las ejecuciones se encuentra en los extremos del espacio de diseño, donde existen combinaciones de factores extremos, como +++, --- o +--. Esta es una característica de un plan Box-Behnken.

Los valores de Extensión Los datos se registran en la tabla de datos después de la ejecución del diseño experimental, siguiendo el orden de ejecución del diseño experimental aleatorio original.

Para analizar los datos experimentales, utilizaremos la regresión lineal múltiple. para ajustar el modelo estadístico "completo" inicial especificado para Estirar Los términos del modelo incluyen los siguientes términos para un modelo de segundo orden:

• Interceptar.
• Tres efectos principales ( Sílice, Azufre e Silano ).
• Tres interacciones de dos factores.
• Tres efectos cuadráticos.

Los efectos inactivos se eliminan del modelo mediante la selección de variables.Los efectos activos son términos estadísticamente significativos que influyen en las respuestas. Al observar el resumen de efectos para el modelo con efectos activos, vemos que la curvatura es un efecto activo para... Azufre e Sílice, con el término cuadrático. También hay interacciones activas entre Sílice e Azufreasí como entre Azufre e Silano .

Analicemos el modelo reducido para Estirar A continuación, al observar las secciones transversales de la superficie, o perfiles, podemos ver el efecto cuadrático activo en... Azufre e en sílice con los perfiles curvos. Vemos que oh Silano, Sin un efecto cuadrático activo, es lineal. Actualmente, con los factores definidos en sus respectivos puntos medios, predecimos un Estirar de 396,15. Queremos optimizar para encontrar una combinación de configuraciones de factores que produzca un Estirar de 450.

En este ejemplo, defina Sílice a 1.06, Azufre a 1,91 y o Silano para 43.82 predice que el valor objetivo para o Estirar Digamos que son 450. Puede haber otras combinaciones de factores que produzcan resultados similares.

Diseño de experimentos