- 応答曲面法
- アルゴリズムによる応答曲面設計
- 中央複合計画
- ボックス・ベンケン計画
応答曲面法とは何ですか？
応答曲面法（RSM）は、製品やプロセスの開発、改良、最適化に用いられます。この手法は、実験領域全体における応答の形状を探索し、モデル化するために使用される、多様な統計的、グラフ的、数学的手法から構成されます。
応答曲面法はどのような場合に用いるべきでしょうか？
要因選択計画を使用して、製品の品質やプロセスの結果を決定する上で重要な要因を特定します。重要な要因を特定した後、応答曲面法（RSM）は、応答を最適化するためにこれらの要因の設定を決定するのに役立ちます。具体的には、以下のような場合にRSMが役立ちます。
- 回答する際は、全体的な目標を念頭に置いてください（例えば、数値が高いほど良い、低いほど良い、あるいは一定の範囲内であれば良いなど）。
- 目標の具体的なターゲット（例えば、反応率は90%以上、5mg/L未満、または20±0.1mm以上であるべき）。
- 複数の回答があり、それぞれに特定の目的がある。
さらに、RSMは、実験領域内に最適点が存在することが確実な場合に最も有効である。
応答曲面法を用いる理由とは？
プロセスにおける重要な要因候補を絞り込むために、要因選択計画法を用いたと仮定しましょう。次に、1つ以上の応答を最適化する要因構成を見つけたいのですが、一般的な要因選択計画法では得られない、より詳細な情報が必要になります。
あるいは、重要な要素は既に把握しているものの、プロセスを改善することで目標達成度を高められるのではないかと考えている場合もあるでしょう。いずれの場合も、応答形状（応答曲面）を理解することで、予測に基づいて理想的な応答（最大値、最小値、目標値など）を生み出す要素構成を特定するのに役立ちます。
とりあえず、検討対象となるすべての要素は連続的なものであると仮定しましょう。
2つの水準でテストされた実験因子は、線形効果を推定するために必要なデータを提供する。単一因子設計の場合、応答曲面は直線としてモデル化され、2因子設計の場合は平面としてモデル化され、3因子以上の場合は超平面としてモデル化される。
しかし、因子が応答に及ぼす影響は、多くの場合線形ではありません。因子の低レベルと高レベルの間には、応答にピーク（最大値）または谷（最小値）が存在する可能性があります。言い換えれば、応答曲面に曲率が見られる場合があります。このような場合、線形応答を仮定した設計では、最適な条件を見つけることは困難、あるいは不可能です。応答の曲率を推定するには、モデルに新しい効果を追加する必要があり、そのためにはより多くのデータポイントが必要です。たとえば、 効果 二次 （つまり、X²） 連続因子は、2つの水準だけでなく、3つの水準でテストする必要があります。応答曲面法（RSM）の設計では、各連続因子に対して3つ目の水準（場合によってはそれ以上）が設計に含まれています。
これらの設計は単独の設計として実行することもできますが、既存のデータに基づいて二次効果を推定し、以前の設計には含まれていなかった因子レベルと処理の組み合わせを指定することもできます。たとえば、どの因子が重要かを明らかにするために因子選択設計を実行したとします。システムやプロセスに関する貴重なデータは既に収集されていますが、通常は曲率を推定するために必要なデータはありません。連続因子の第3レベルを含む後続の設計で既存のデータを拡張することは、応答曲面をモデル化する効率的な方法となります。
1つまたは複数の応答を最適化する因子構成を見つけることは、困難な場合があります。ほとんどの場合、応答は複数の因子に依存するため、応答曲面の形状は多次元になり、因子同士が相互作用する場合は複雑になる可能性があります。応答曲面法を用いることで、この曲面を探索し、実験領域内で応答目標を達成するための最適な因子構成を見つけることができます。
応答曲面法：一例
プロセスを最適化し、どの要素構成が最大の効果を生み出すかを特定することに関心があると仮定しましょう。 パフォーマンス そして最小の 不純物 両方の回答における目標は同等に重要であると伝えられました。これまでの知識に基づくと、3つの要素が重要であることは分かっていますが、目標を最もよく満たす運用条件を見つけることでプロセスを改善したいと考えています。この例では、前述のように既存のプロジェクトを改善するのではなく、新しいRSMプロジェクトを作成します。
答えと要因は以下のとおりです。
- パフォーマンス： 応答の目標は、（数値が高いほど良い）を最大化することです。
- 不純物： 対応の目標は、（小さければ小さいほど良い）影響を最小限に抑えることです。
- pH: 係数の範囲は5から8です。
- 温度： 有効温度範囲は摂氏15度から45度です。
- サプライヤー： サプライヤーのレベル（要素レベル）は、良質、迅速、安価の3つに分けられます。
連続因子については、 pH e 温度要因の高レベルと低レベルの間の反応にピークまたは谷があるかどうかを判断したい。関心のある範囲は o pH 5から8の間です。 pH の上 所得 e 浄化する 線形ではありません。5と8の間の3番目の中間レベル（6.5）をテストしました。 温度、 15°、30°、45°の3つのレベルを設定することで、二次効果を推定することができます。 （曲率）は連続因子の場合です。カテゴリ因子の場合、二次効果を推定することはできません。また、相互作用があるかどうかも関心があります。3つの要因のうち、18回の試行を含む応答曲面法（RSM）設計により、主効果、2つの要因間の相互作用、および二次効果を推定することができます。
計画段階の後、回答はデータテーブルに記録されます。
重回帰分析を用いる。 応答をモデル化する。両方の応答に対する完全なモデルには、次の項が含まれる。
- インターセプト
- 3つの主な効果（ pH, 温度 e サプライヤー )
- 2つの要因の3つの相互作用
- 2つの二次効果（連続因子の場合）
個別のモデルを調整した後 パフォーマンス e 不純物変数選択を使用できます。 モデルから意味のない用語を削除します。各応答変数について、縮小モデルに残った用語を以下の表に示します。
使用： モデル中の斜体で示された項は統計的に有意ではなかったが、高次の項に関与しているため、モデルに残された。
我々は両方とも o pH いくら 温度、およびその高次効果の 1 つ以上が、両方の反応にとって重要であった。しかし、 供給業者 （そしてそれとの相互作用） o pH ）は、 不純な .
連続因子の応答曲面の形状は、3次元曲面プロットで視覚化できます。このプロットでは、実験領域のどの部分でより高い値が得られるかを確認できます。 パフォーマンス そしてより低い値 不純物 .
収穫
不純物
応答曲面は、曲面の断面またはプロファイルを観察することで視覚化することもできます。ここでは、個々の因子のレベルを変更すると、予測される応答値（左側に表示）にどのような影響があるかを確認できます。また、相互作用に関与する因子のプロファイルが、他の因子のレベルに応じてどのように変化するかも確認できます。
対応の目的は最大化することです 所得 最小限に抑える 不純なものとして 実験領域内で、両方の目的のトレードオフのバランスをとる因子設定の組み合わせを見つけることが可能です。この例では、 pH 6.85まで、 温度 34.25°の場合はクイックメソッドを使用してください サプライヤーから 最大化を目指す 所得 94.12%で最小化 不純なものとして 0.89%。
同様の結果を生み出す要因の組み合わせは他にもあるかもしれません。また、以下のような設定も見つかるかもしれません。 収入 例えば、より大きくすることはできるが、最小化を犠牲にすることになる。 不純物あるいはその逆も然りです。どちらか一方の応答を最適化することが他方よりも重要であれば、このトレードオフを受け入れることも検討するかもしれません。
アルゴリズムによる応答曲面設計
応答曲面法（RSM）におけるアルゴリズム計画とは何ですか？
応答曲面法（RSM）におけるアルゴリズム設計アプローチでは、I最適設計が利用されます。I最適設計は、応答最適化のための応答曲面法で用いられる古典的な設計（中心複合設計やBox-Behnken設計など）と統計的特性が類似しています。アルゴリズム設計は、I最適性を含む複数の最適化基準のうちの1つを最大化することを目指します。I最適性は予測分散を最小化することを目的としており、応答最適化において正確な予測が優先される二次モデル（より二次的な主効果と二元交互作用）に用いられます。
RSM（応答曲面法）において、アルゴリズムによる計画立案はどのような場合に用いるべきでしょうか？
最適化を目的とする場合、応答曲面法（RSM）のアルゴリズム計画法を用いることができます。これは、従来の設計手法では実現できない柔軟性を設計に求める場合に特に有効です。例えば、設計空間に複数の種類の因子や制約が存在する場合、RSMのアルゴリズム計画法は効果的です。
RSMのアルゴリズム計画には以下が含まれる可能性があります。
- カテゴリー因子の種類。
- 実現不可能な要因の組み合わせ。
- 封鎖。
- 非標準モデル。
- 制限付き無作為化。
- プロジェクトに合わせた予算案。
RSMのためのアルゴリズム計画入門
応答曲面法（RSM）におけるアルゴリズム設計アプローチは、あらかじめ決められた設計に問題を当てはめようとするのではなく、問題に合わせて設計を調整します。JMPなどの実験計画法（DOE）ソフトウェアは、このアプローチの例です。彼らは、複数の最適化基準のうちの1つを最大化することで、仕様を満たすRSMプロジェクトを作成するアルゴリズムを使用する。RSMで使用される最適化基準はI最適性基準であり、これは正確な予測を優先するものである。
アルゴリズム設計が応答曲面法（RSM）に柔軟性をもたらす2つの一般的な状況を分析してみましょう。RSM設計において、カテゴリカル因子も関心の対象となる状況は数多くあります。たとえば、3つの連続因子に加えて、3つのサプライヤーが関心のある応答にどのように影響するかを理解したいと思うとします。従来は、カテゴリカル因子を従来のRSM設計に含めることができなかったため、サプライヤーごとに個別のRSM設計を実行する必要がありました。
3つの連続因子については、15回の試行でBox-Behnken設計を実行できます。3つのベンダーそれぞれに対して15回のBox-Behnken設計を実行すると、合計45回の試行となり、実行予算をすぐに超えてしまいます。しかし、アルゴリズム設計では、3つの連続因子に加えてベンダーも因子として含めることができ、単一の設計で24回の試行で応答への影響を把握できます。この24回の試行は、提案された2次モデルの項に対してバランスの取れた設計を作成するためのヒューリスティックに基づいており、誤差項を推定するための追加の試行も含まれています。
アルゴリズムによるRSM計画が柔軟性をもたらすもう1つの状況は、安全性などの理由で実行不可能であることが事前にわかっている因子レベルの実際的な組み合わせがある場合です。たとえば、新しいピザ製造プロセスを最適化する場合を考えてみましょう。許容できるピザを作れない条件があることがわかっています。ピザを高温で長時間焼くと、ピザが焦げてしまいます。同様に、ピザを低温で短時間焼くと、生焼けのピザになります。この例では、設計領域は不規則な形状をしており、制約があります。
応答曲面法（RSM）におけるアルゴリズム計画は、こうした設計上の課題だけでなく、行き詰まりやカスタマイズされた実行予算といった他のシナリオにも対応できる柔軟性を提供します。アルゴリズム計画は、プロジェクト仕様に最適な場合、応答曲面法で用いられる古典的な設計を生成することができます。
RSM（応答曲面法）におけるアルゴリズム計画の例。
RSMプロジェクトの概要で提示されている計画について、さらに詳しく見ていきましょう。. 計画の目的は、最大の成果を生み出す運用条件を見つけることによって、プロセスを改善することである。 パフォーマンス そして最小の 不純物 最大化する 収入 それは、 不純物 アルゴリズム計画を作成するには、まず応答と要因を選択します。
答えと要因は以下のとおりです。
- パフォーマンス： 応答の目標は、（数値が高いほど良い）を最大化することです。
- 不純物： 対応の目標は、（小さければ小さいほど良い）影響を最小限に抑えることです。
- pH: 係数の範囲は5から8です。
- 温度： 有効温度範囲は摂氏15度から45度です。
- サプライヤー： サプライヤーのレベル（要素レベル）は、良質、迅速、安価の3つに分けられます。
どの構成を使用するかについての運用上の決定 pH e 温度 使用、それに加えて サプライヤー、 これらは、これらの要因がどのように予測するかに基づいています 収入 e 不純なものとして 技術的な知識は、要因の値の狭い範囲を定義するためにも重要です。 収入 e 不純なものとして これらは、運用上の意思決定の精度を高めるために、可能な限り誤差範囲を小さくする。I最適最適化基準は、予測の分散を最小化するため、理想的である。
次に、初期統計モデルを提案する必要があります。提案する統計モデルは、この計画の最適化目標に直接関連しています。ここでは、二次項と交互作用項を含む二次モデルを提案します。予測と最適化のための柔軟性を提供する 所得 そして 不純物 連続因子の二次項により、ピークまたは谷が存在するかどうかを判断できます。 パフォーマンス または 不純なことについて 高レベルと低レベルの間で pH e 温度 カテゴリカル因子については、二次効果を推定することはできません。最初に提案された統計モデルで二次効果が指定されている場合、設計に第3レベルである中間点が追加されます。 pH e 温度 計画段階で、 o pH 5、6.5、8でテストされる予定だが、 温度 15℃、30℃、45℃の条件下で試験を実施する。
初期統計モデルに含まれるモデル項は、下図に示すとおりである。
含めたモデル項に基づいて、I最適計画が生成されます。計画の領域に制約を設けるなど、他の選択を行った場合、生成される計画に影響が生じます。この例では、計画に影響を与えるような制約やその他の選択はありませんでした。計画は、提案された統計モデルを推定するために必要な実行回数に加えて、モデル誤差を推定するための5回または6回の追加のユニークな実行回数で構成されます。この例では、以下に示すように、18回の実行を含むRSM計画が提案されます。
この最適なI値は、以下の図に示すように、予測の平均分散を最小化します。予測分散は設計空間の大部分で低いままですが、その空間の境界付近では増加していることがわかります。以下のプロファイルは、X軸に係数の振幅、Y軸に分散を示しています。
値 パフォーマンス e 不純物 計画が実行された後、計画された実行順序に従って、データがデータテーブルに記録されます。
実験データを分析するために、重回帰分析を用います。 指定された最初の「完全な」統計モデルを調整する パフォーマンス e 不純物 それぞれの反応に合わせて個別のモデルが作成されます。 パフォーマンス e 不純物 テンプレートの条項は、プロジェクト設定時に指定したものと同じで、以下の条項が含まれます。
- 3つの主な効果（ pH, 温度 e サプライヤー )
どちらのモデルにおいても、変数選択を用いて非活性効果を除去している。アクティブ効果とは、応答に影響を与える統計的に有意な項のことです。アクティブ効果を含む両モデルの効果の要約を見ると、曲率がアクティブ効果であることがわかります。 温度 e pH 二次項を含む。また、間には活発な相互作用があることにも注目する。 pH e サプライヤー間も同様 pH e 温度.
縮小モデルを分析してみましょう パフォーマンス e 不純物 表面の断面、つまりプロファイルを観察することによって。この例では、目標は最大化することです。 所得 最小限に抑えることと同じくらい重要です 不純物 トレードオフを理解し、2つの目標間のトレードオフのバランスを取る要因設定の組み合わせを見つけるために、プロファイル特性を組み合わせて、それらをまとめて最適化しました。
この例では、 pH 7.18の場合、 温度 33.71まで上げて「高速」オプションを使用する サプライヤーから 最大化を目指す 収入 96.06%で最小化 不純なものとして 0.82%という結果が出ている。ただし、同様の結果を生み出す要因の組み合わせは他にも存在する可能性があることに留意すべきである。
中央複合計画
中央複合計画とは何ですか？
中心複合計画法（CCD）は、古典的な応答曲面計画法の一つです。これは、一部実施要因計画法から得られたデータ点を組み込んでいます。 解像度V以上では、中心点と軸点（星点）が使用されます。解像度Vの設計では、主効果とすべての2因子交互作用を推定できます。これらの点は立方体と星形を形成し、中心から等距離に配置されます。
いつ使用すべきですか計画中心複合施設？
中心複合計画は、予測と最適化を目的とする応答曲面設計において用いられます。2水準要因計画または一部実施要因計画の設計点を含むため、逐次実験に特に有効です。初期設計に中心点と軸点を追加することで、中心複合計画が得られます。中心複合計画は連続因子のみをサポートします。
中心複合計画法入門
中心複合計画は、古典的な応答曲面法（RSM）の一種であり、逐次実験における有用性で知られています。これには連続因子のみが含まれており、各因子は2つの軸因子、低、中、高の5つの水準（-α、-1、0、+1、+α）でテストされます。
中心複合計画は、最小分解能部分因子計画Vからの点、中心点、および軸点から構成されます。この計画の3つの部分により、主効果、交互作用、および二次項の推定が可能になります。
- 因子点（-1、+1としてコード化）：主効果と二次交互作用の推定を可能にします。
- 中心点（コード0）：曲率を検出し、精度を高め、適合不良をテストできます。
- 軸上の点（–α、+αとしてコード化）：二次項の推定を可能にする。
下の図では、階乗の点は黒い四角で、中心点は青い円で、軸点はオレンジ色のひし形で示されています。
中心点は、すべての因子の値が平均値として定義される時点を表します。これらは、曲率（二次効果）の有無を把握し、精度を高め、適合度検定を行うために使用されます。適合度検定の結果、一次モデルが適切でないと判断された場合は、軸点を追加して中心複合計画を作成することができます。
軸点（スター点とも呼ばれる）は、回転性や直交性などの計画特性を定義し、二次効果を推定するために使用されます。軸点は、計画の中心から±αの距離に位置します。各軸点は、1つの因子に対して±α、その他のすべての因子に対して0となります。軸値は計画内の異なる位置に配置できるため、さまざまな種類の中心複合計画が利用可能です。
- 面：軸方向の値は、立方体（階乗空間）の各面の中心に位置します。これらのCCDは、中心とも呼ばれます。 やらないで または 顔を中心に配置。
- 外接：軸方向の値は立方体（階乗空間）の外側にあります。
- 購読済み: 軸方向の値は立方体 (階乗空間) 内にあります。
中心複合計画法は、計画を拡張することで連続的に実行できるという利点があります。計画を拡張するとは、既存の実験計画に実行回数を追加することを意味します。まず、要因計画法または部分要因計画法からデータを収集します。次に、計画を拡張して中心点を追加し、適合性の欠如を検証します。最後に、一次モデルに適合性の欠如が見つかった場合、軸点を追加して計画を拡張し、中心複合計画法（CCD）を得ることができます。
3因子および5因子のI最適設計では、それぞれの因子数における中心複合設計と同じ数のユニークな試行が生成されます。連続因子以外の複数の因子タイプ（カテゴリ因子、設計空間の制約、非標準モデル、カスタム実行予算など）がある場合は、アルゴリズム設計を検討してください。 柔軟性が高いため。
中央集権計画の例
要素の最適な構成を見つけて最大化したいとします。 シール強度 パンの包装について。これまでの知識に基づくと、3 つの連続的な要因は、 ポリエチレン％, 冷却温度 e シール温度 – これらは重要です。二次モデルを使用して応答曲面の形状を理解するために、中心複合計画法を実施することにしました。まず、応答目標と因子設定を定義しました。
答えと要因は以下のとおりです。
- シール強度： 応答の目標は、（数値が高いほど良い）を最大化することです。
- ポリエチレン含有率： 係数の範囲は85から95（中間値は90）です。
- 冷却温度： 係数の範囲は120°から140°（中間点は130°）です。
- シール温度： 温度範囲は220°～240°（中間値は230°）です。
各連続因子は、中心複合計画法において低、中、高の値でテストされ、二次項と交互作用項を含む二次モデルが生成されます。例えば、 ポリエチレンの割合 85、90、95でテストします。3つの連続因子で、20回の均一精度を持つCCDを選択しました。因子点には8回のラン、面上の軸点には6回のラン、中央点には6回のランがあります。均一精度とは、中央点の数を選択することで、設計の中心と角での予測分散がほぼ同じになることを意味します。以下は、設計点のパターンを示す列を含むランダム化設計表です。
教育的な目的で、同じ表をアルファベット順に並べて以下に示す。これにより、3つの異なる設計ポイントを視覚的に把握できる。さらに、設計ポイントは図でも示されている。表と図では、因子ポイントは黒い四角、中心ポイントは青い円、軸ポイントはオレンジ色のひし形で表されている。
値 シール強度 データは、計画の実行後、潜在的に未知の変数や隠れた変数との相関関係を排除するために、元のランダム化プロジェクトの実行順序に従ってデータテーブルに記録されます。
実験データの分析には、重回帰分析を用いた。 指定された最初の「完全な」統計モデルを調整する シール強度 この二次モデルの用語には、以下のものが含まれます。
- インターセプト。
- 3つの主な効果（ ポリエチレン％, 冷却温度 e シール温度 )
- 2つの要因の3つの相互作用。
- 3つの二次効果。
モデルの効果の要約をアクティブ効果で分析すると、曲率がアクティブ効果であることがわかります。 シール温度 二次項を含む。最適化のためにモデル内のすべての項を保持し、最大値が存在するかどうかを確認します。 シール温度もし存在するならば。
モデルを分析できます シール強度 表面の断面、またはプロファイルを使用して。現在、それぞれの中間点で定義された因子を使用して、 シール強度 10.04点満点中。最高の結果を生み出す要因設定の組み合わせを見つけるために最適化したいと考えています。 シール強度 .
この例では、定義すると ポリエチレンの割合 92.61まで 冷却温度 131.75まで シール温度 226.22の場合、最大値は10.35と予測されます。 シール強度 これらの設定により望ましさは0.67となり、目標の最大化の約67%を達成したことを示しています。 シール強度 同様の結果を生み出す要因の組み合わせは他にも存在する可能性がある。
ボックス・ベンケン計画
ボックス・ベンケン計画とは何ですか？
ボックス・ベンケン計画は、要因計画から抽出した点のサブセットを用いて構築される古典的な応答曲面計画であり、各要因は3つの水準で定義されます。ボックス・ベンケン計画における点は、超立方体の辺上に位置し、中心から等距離にあります。極端な点を避けるため、逐次実験のための要因計画から構築することはできません。
Box-Behnken計画法はどのような場合に使うべきですか？
ボックス・ベンケン計画は、予測と最適化を主な目的とする応答曲面設計において用いられます。ボックス・ベンケン計画は、各連続因子を高いレベルで実行するなど、因子の組み合わせにおける極端な値を避ける必要がある場合に有効です。因子の極端な値を用いた実験は、危険であったり、物理的に不可能であったり、非常にコストがかかる場合があります。ボックス・ベンケン計画では、連続因子のみを対象とします。
ボックス・ベンケン計画法入門。
ボックス・ベンケン計画は、古典的な応答曲面モデル計画の一種であり、極端な点を避けることで知られています。この計画では、連続的な因子のみを、低、中、高の3つのレベル（コード化された単位では-1、0、+1）でテストします。
Box-Behnken計画には、回転性（またはほぼ回転性）と球形性という2つの明確な特徴があります。回転性計画とは、計画をその中心を中心に回転させたときに予測分散が同じ値を維持する計画のことです。Box-Behnken計画は球形でもあり、計画のすべての点が中心から等距離にあります。これは、立方体の極が計画点ではない直方体計画とは異なります。コストや望ましくない副作用のために極点を避ける必要がある場合に有利になることがあります。ただし、立方体の頂点に計画点がないため、データのない頂点付近で予測分散が高くなります。以下は、3つの要因の計画点の3D散布図です。空間の角には計画点がないことに注意してください。
連続的な要素以外にも複数の種類の要素（カテゴリ要素、設計空間の制約、非標準モデル、カスタマイズされた実行予算など）がある場合は、アルゴリズムによる計画を検討してください。 柔軟性が高いため。
ボックス・ベンケン計画の例
テニスボールの弾性を最適化したいとします。 伸縮性（弾力性）標準化された目標値の場合。ボールの弾性は、 シリカ, 硫黄 e シラン 製造中に使用される。計画の目標は、生産要素の構成を最適化することによって製造プロセスを改善することである。 ストレッチ 450のうち。 Oストレッチ 許容できる製品を作るためには、350より低くも550より高くもなりません。二次モデルが必要であると考え、因子が同時に極端な値をとるのを防ぐために、Box-Behnken計画を選択しました。Box-Behnken計画を作成するために、まず望ましい応答と因子の値の範囲を定義しました。
答えと要因は以下のとおりです。
- 標的： 目標とする応答値は450で、下限値は350、上限値は550です。
- シリカ： 係数の範囲は0.7から1.7までです（中間値は1.2）。
- 硫黄： 係数の範囲は1.8から2.8までです（中間値は2.3）。
- シラノ： 係数の範囲は40から60までです（中間値は50）。
各連続因子は、Box-Behnken計画において低、中、高の値でテストされ、二次項と交互作用項を含む二次モデルが作成される。例えば、 シリカ 0.7、1.2、1.7でテストします。3つの連続因子を使用する場合、3つの中心点を持つ15回の試行を行うBox-Behnken計画を選択します。各因子ペアについて、低値と高値のすべての可能な組み合わせを調べるために12回の試行があり、3番目の因子は中間レベルと3つの中心点にあります。以下は、計画点のパターンを示す列を含むランダム化計画表です。
教育的な目的で、パターン列で並べ替えた同じ表を以下に示します。各実行において、1つの因子が中間値にあり、他の2つの因子が高値または低値になっていることに注目してください。+++、---、+--などの極端な因子の組み合わせがある設計空間の両端には、どの実行も存在しません。これは、ボックス・ベンケン設計の特徴です。
値 ストレッチ データは、実験計画の実行後、元のランダム化実験計画の実行順序に従ってデータテーブルに記録されます。
実験データを分析するために、重回帰分析を用います。 指定された最初の「完全な」統計モデルを調整する ストレッチ 二次モデルの場合、モデル項には以下の項が含まれます。
- インターセプト。
- 3つの主な効果（ シリカ, 硫黄 e シラノ )
- 2つの要因の3つの相互作用。
- 3つの二次効果。
変数選択によって、非活性な効果はモデルから除外されます。アクティブ効果とは、応答に影響を与える統計的に有意な項のことです。アクティブ効果を含むモデルの効果の要約を見ると、曲率がアクティブ効果であることがわかります。 硫黄 e シリカ、 二次項を含む。また、 シリカ e 硫黄間も同様 硫黄 e シラノ .
縮小モデルを分析してみましょう ストレッチ 下図では、表面の断面、つまりプロファイルを観察すると、アクティブな二次効果が確認できます。 硫黄 e シリカ中 湾曲した形状で、 おお、シラノスよ、 アクティブな二次効果がない場合、線形になります。現在、各係数をそれぞれの中間点で定義すると、 ストレッチ 396.15 の。私たちは、 ストレッチ 450のうち。
この例では、 シリカ 1.06まで、 硫黄 1.91まで またはシラノ 43.82 の場合、目標値は ストレッチ 仮に450だとしましょう。同様の結果を生み出す要因の組み合わせは他にもあるかもしれません。
