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Response-Surface-Methodik

• Response-Surface-Methodik
• Algorithmische Antwortflächengestaltung
• Zentrale Gesamtplanung
• Box-Behnken-Planung

Was ist die Response-Surface-Methodik?

Die Response-Surface-Methodik (RSM) dient der Entwicklung, Verbesserung und Optimierung von Produkten und Prozessen. Diese Methodik umfasst verschiedene statistische, grafische und mathematische Verfahren, mit denen der Verlauf einer Zielgröße im experimentellen Bereich untersucht und modelliert wird.

Wann sollte die Response-Surface-Methodik angewendet werden?

Nutzen Sie die Faktorenauswahlplanung, um die wichtigen Faktoren zu identifizieren, die die Qualität Ihres Produkts oder die Ergebnisse Ihres Prozesses bestimmen. Nach der Identifizierung der wichtigen Faktoren hilft Ihnen die Response-Surface-Methodik (RSM), die Einstellungen dieser Faktoren zu bestimmen, um Ihre Zielgröße(n) zu optimieren. Insbesondere kann die RSM hilfreich sein, wenn Sie Folgendes haben:

• Behalten Sie bei Ihrer Antwort ein übergeordnetes Ziel im Auge (zum Beispiel: je höher, desto besser; je niedriger, desto besser; oder innerhalb eines bestimmten Bereichs, desto besser).
• Ein konkretes Ziel für Ihr Vorhaben (zum Beispiel sollte die Reaktion mindestens 90 % betragen, weniger als 5 mg/L oder 20 ± 0,1 mm).
• Es gibt mehrere Antworten, jede mit einem bestimmten Zweck.

Darüber hinaus ist RSM am nützlichsten, wenn man sicher ist, dass innerhalb des experimentellen Bereichs ein optimaler Punkt existiert.

Warum sollte man die Response-Surface-Methodik anwenden?

Angenommen, Sie haben mithilfe der Faktorauswahlplanung die Liste der potenziell wichtigen Faktoren in Ihrem Prozess eingegrenzt. Nun möchten Sie die Faktorkonfigurationen finden, die eine oder mehrere Zielgrößen optimieren, benötigen dafür aber detailliertere Informationen, als mit einer typischen Faktorauswahlplanung gewonnen werden können.

Vielleicht wissen Sie bereits, welche Faktoren wichtig sind, vermuten aber, dass der Prozess optimiert werden könnte, um Ihre Ziele besser zu erreichen. In beiden Fällen hilft Ihnen das Verständnis der Antwortform – der Antwortfläche – dabei, die Faktorkonfigurationen zu identifizieren, die laut Vorhersagen die ideale Antwort liefern, sei sie nun definiert (Maximum, Minimum oder Zielwert).

Nehmen wir für den Moment an, dass alle betrachteten Faktoren stetig sind.

Ein experimenteller Faktor, der auf zwei Stufen getestet wird, liefert die Daten, die zur Abschätzung eines linearen Effekts benötigt werden. Bei einem Einfaktordesign wird die Antwortfläche als Gerade modelliert; bei zwei Faktoren als Ebene; und bei drei oder mehr Faktoren als Hyperebene.

Der Einfluss eines Faktors auf die Zielgröße ist jedoch häufig nicht linear. Zwischen den niedrigen und hohen Werten eines Faktors kann die Zielgröße ein Maximum oder Minimum aufweisen. Anders ausgedrückt: Die Zielgröße kann gekrümmt sein. In solchen Fällen ist es schwierig oder gar unmöglich, optimale Bedingungen mit Versuchsplänen zu finden, die von einer linearen Zielgröße ausgehen. Um die Krümmung der Zielgröße zu schätzen, müssen dem Modell neue Effekte hinzugefügt werden, was zusätzliche Datenpunkte erfordert. Um beispielsweise einen Faktor zu schätzen, der durch die Verwendung eines Faktors beeinflusst wird, muss die Zielgröße durch die Verwendung eines Faktors beeinflusst werden. Wirkung quadratisch (d. h. X²) Ein kontinuierlicher Faktor sollte auf drei Stufen getestet werden, nicht nur auf zwei. RSM-Designs beinhalten für jeden kontinuierlichen Faktor eine dritte Stufe (oder manchmal mehr) ^.

Diese Versuchsdesigns können als eigenständige Designs durchgeführt werden, aber auch auf Ihren vorhandenen Daten aufbauen, um quadratische Effekte zu schätzen und Faktorstufen und Behandlungskombinationen zu spezifizieren, die in vorherigen Designs nicht berücksichtigt wurden. Angenommen, Sie haben ein Faktorselektionsdesign durchgeführt, um die wichtigen Faktoren zu ermitteln. Sie haben bereits wertvolle Daten über Ihr System oder Ihren Prozess gesammelt, verfügen aber in der Regel nicht über die Daten, die zur Schätzung der Krümmung benötigt werden. Die Ergänzung Ihrer vorhandenen Daten durch ein nachfolgendes Design, das eine dritte Stufe für kontinuierliche Faktoren beinhaltet, kann eine effiziente Methode zur Modellierung der Antwortfläche sein.

Die Ermittlung der Faktorkonfigurationen, die eine oder mehrere Zielgrößen optimieren, kann eine Herausforderung darstellen. In den meisten Fällen hängt eine Zielgröße von mehreren Faktoren ab, wodurch die Antwortfläche mehrdimensional und potenziell komplex wird, insbesondere bei Wechselwirkungen der Faktoren. Die Response-Surface-Methodik ermöglicht es uns, diese Fläche zu untersuchen und die besten Faktorkonfigurationen innerhalb des experimentellen Bereichs zu finden, um die angestrebten Zielgrößen zu erreichen.

Response-Surface-Methodik: ein Beispiel

Nehmen wir an, wir möchten einen Prozess optimieren, indem wir diejenigen Faktorkonfigurationen identifizieren, die den größten Nutzen bringen... Leistung und die kleinste Verunreinigung Uns wurde mitgeteilt, dass die Ziele beider Ansätze gleich wichtig sind. Aus Vorkenntnissen wissen wir, dass drei Faktoren relevant sind, wir möchten den Prozess jedoch optimieren, indem wir die optimalen Rahmenbedingungen für unsere Ziele ermitteln. In diesem Beispiel verbessern wir kein bestehendes Projekt, wie oben beschrieben, sondern erstellen ein neues RSM-Projekt.

Die Antworten und Faktoren sind:

• Leistung: Ziel der Reaktion ist die Maximierung (je höher, desto besser).
• Verunreinigung: Ziel der Reaktion ist es, den Wert zu minimieren (je kleiner, desto besser).
• pH-Wert: Der Faktorbereich liegt zwischen 5 und 8.
• Temperatur: Der Faktorbereich liegt zwischen 15° und 45° Celsius.
• Anbieter: Es gibt drei Lieferantenstufen (Faktorstufen): Gut, Schnell und Billig.

Für beide kontinuierlichen Faktoren, pH e TemperaturWir möchten feststellen, ob die Reaktion zwischen den hohen und niedrigen Werten der Faktoren einen Höhepunkt oder einen Tiefpunkt aufweist. Der relevante Bereich für o pH Es liegt zwischen 5 und 8. Um zu verstehen, ob die Wirkung von pH An Einkommen e zum Reinigen Es ist nicht linear; wir haben eine dritte Zwischenstufe zwischen 5 und 8 (6,5) getestet. Dasselbe tun wir für die Temperatur mit Werten von 15°, 30° und 45°. Die drei Werte ermöglichen es uns, den quadratischen Effekt abzuschätzen. (Krümmung) für stetige Faktoren. Quadratische Effekte können für kategoriale Faktoren nicht geschätzt werden. Wir sind außerdem daran interessiert, ob eine Interaktion vorliegt.Unter den drei Faktoren. Ein Response Surface Methodology (RSM)-Design mit 18 Versuchen ermöglicht es uns, die Haupteffekte, die Wechselwirkungen zwischen zwei Faktoren und die quadratischen Effekte zu schätzen.

Nach der Planungsphase werden die Antworten in der Datentabelle erfasst.

Verwenden Sie multiple lineare Regression. um die Reaktionen zu modellieren. Das vollständige Modell für beide Reaktionen umfasst die folgenden Terme:

• Abfangen
• Drei Haupteffekte ( pH, Temperatur e Anbieter )
• Drei Wechselwirkungen zweier Faktoren
• Zwei quadratische Effekte (für stetige Faktoren)

Nach der Anpassung separater Modelle für Leistung e VerunreinigungSie können die Variablenauswahl nutzen. Nicht aussagekräftige Terme wurden aus den Modellen entfernt. Die in den reduzierten Modellen für jede Zielgröße verbleibenden Terme sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Verwenden: Die kursiv gedruckten Terme im Modell waren nicht signifikant, bleiben aber in den Modellen enthalten, da sie in Termen höherer Ordnung enthalten sind.

Wir stellten fest, dass beides o pH Wie viel die Temperatursowie einer oder mehrere seiner übergeordneten Effekte waren für beide Reaktionen wichtig. der Lieferant (und seine Wechselwirkung mit) o pH ) war nur wichtig für zu unrein .

Die Form der Antwortfläche für kontinuierliche Faktoren lässt sich mithilfe eines dreidimensionalen Oberflächendiagramms visualisieren. In den Diagrammen kann man erkennen, in welchem ​​Teil des Versuchsbereichs höhere Werte erzielt werden können. Leistung und niedrigere Werte von Verunreinigung .

Ernte

Verunreinigung

Die Antwortfläche lässt sich auch visualisieren, indem man die Querschnitte oder Profile betrachtet. Hier sieht man, wie sich die Änderung eines einzelnen Faktors auf die vorhergesagten Antwortwerte auswirkt (links dargestellt). Außerdem kann man erkennen, wie sich die Profile der an den Wechselwirkungen beteiligten Faktoren in Abhängigkeit vom jeweiligen Faktor verändern.

Ziel der Reaktion ist es, die Einkommen und minimieren als Impurezas Es ist möglich, innerhalb des experimentellen Bereichs eine Kombination von Faktoreinstellungen zu finden, die die Zielkonflikte beider Ziele ausgleicht. In diesem Beispiel wird die folgende Einstellung vorgenommen: pH bis 6,85, ein Temperatur für 34,25° und verwenden Sie die Schnellmethode vom Lieferanten zielt darauf ab, zu maximieren Einkommen in 94,12% und minimieren als Impurezas bei 0,89 %.

Es gibt möglicherweise weitere Faktorkombinationen, die ähnliche Ergebnisse liefern. Sie können auch Einstellungen finden, die... ein Einkommen größer zum Beispiel, aber auf Kosten der Minimierung. von VerunreinigungenOder umgekehrt. Sie wären möglicherweise bereit, diesen Kompromiss einzugehen, wenn die Optimierung der einen Reaktion wichtiger ist als die der anderen.

Algorithmische Antwortflächengestaltung

Was ist algorithmische Planung für die Response Surface Methodology (RSM)?

Ein algorithmischer Designansatz für die Response-Surface-Methodik (RSM) verwendet I-optimale Versuchspläne. Diese weisen ähnliche statistische Eigenschaften wie die klassischen Versuchspläne der RSM auf, beispielsweise zentrale Verbundpläne und Box-Behnken-Pläne. Algorithmische Versuchspläne zielen darauf ab, eines von mehreren Optimierungskriterien zu maximieren, darunter die I-Optimalität. Die I-Optimalität minimiert die Vorhersagevarianz und wird für Modelle zweiter Ordnung (mit quadratischen Haupteffekten und Wechselwirkungen zweiter Ordnung) verwendet, bei denen präzise Vorhersagen für die Zieloptimierung Priorität haben.

Wann sollte ich die algorithmische Planung für RSM einsetzen?

Die algorithmische Planung für die Response-Surface-Methodik (RSM) eignet sich, wenn Optimierung das Ziel ist. Sie ist besonders nützlich, wenn die benötigte Flexibilität über die Möglichkeiten klassischer Verfahren hinausgeht. Beispielsweise ist die algorithmische Planung für die RSM effektiv, wenn im Designraum mehrere Arten von Faktoren oder Randbedingungen vorhanden sind.

Die algorithmische Planung für RSM kann Folgendes umfassen:

• Arten von kategorialen Faktoren.
• Nicht realisierbare Faktorkombinationen.
• Blockade.
• Sondermodelle.
• Eingeschränkte Randomisierung.
• Ein individuell auf das Projekt zugeschnittenes Budget.

Eine Einführung in die algorithmische Planung für RSM

Ein algorithmischer Designansatz für die Response Surface Methodology (RSM) passt das Design an das jeweilige Problem an, anstatt das Problem in ein vorgegebenes Design zu pressen. Software für die Versuchsplanung (DOE), wie beispielsweise JMP, ist ein Beispiel für diesen Ansatz.Sie verwenden einen Algorithmus, um ein RSM-Projekt zu erstellen, das ihren Spezifikationen entspricht und eines von mehreren Optimierungskriterien maximiert. Das für RSM verwendete Optimierungskriterium ist das I-Optimalitätskriterium, das genaue Vorhersagen priorisiert.

Betrachten wir zwei häufige Situationen, in denen algorithmische Versuchsplanung die Response Surface Methodology (RSM) flexibler gestalten kann. In vielen Fällen ist ein kategorialer Faktor in einer RSM-Versuchsplanung von Interesse. Angenommen, wir möchten neben drei kontinuierlichen Faktoren auch den Einfluss von drei Lieferanten auf unsere Zielgröße untersuchen. Traditionell würden wir für jeden Lieferanten eine separate RSM-Versuchsplanung durchführen, da ein kategorialer Faktor in der klassischen RSM-Versuchsplanung nicht berücksichtigt werden kann.

Bei drei kontinuierlichen Faktoren könnten wir ein Box-Behnken-Design mit 15 Läufen durchführen. Die Durchführung von 15 Box-Behnken-Designs für jeden der drei Anbieter ergibt insgesamt 45 Läufe, was unser Budget schnell übersteigt. Mit algorithmischen Designs könnten wir jedoch den Anbieter zusätzlich zu den drei kontinuierlichen Faktoren als Faktor einbeziehen und ein einzelnes Design mit 24 Läufen durchführen, um den Einfluss auf die Zielgröße zu untersuchen. Die 24 Läufe basieren auf Heuristiken, um ein ausgewogenes Design für die Terme des vorgeschlagenen Modells zweiter Ordnung zu erstellen, wobei einige zusätzliche Läufe zur Schätzung eines Fehlerterms dienen.

Eine weitere Situation, in der die algorithmische Planung für RSM Flexibilität bietet, ist die, in der wir wissen, dass bestimmte Faktorkombinationen aus Sicherheitsgründen nicht realisierbar sind. Nehmen wir beispielsweise die Optimierung eines neuen Pizzaherstellungsprozesses. Es gibt Bedingungen, unter denen bekannt ist, dass die Pizza nicht zufriedenstellend gelingt. Eine Pizza wird verbrannt, wenn sie lange bei hoher Temperatur gebacken wird. Ebenso wird sie nicht durchgebacken, wenn sie nur kurz bei niedriger Temperatur gebacken wird. In diesem Beispiel hat der Designbereich eine unregelmäßige Form und unterliegt bestimmten Einschränkungen.

Die algorithmische Planung für die Response Surface Methodology (RSM) bietet uns die nötige Flexibilität, um diese Herausforderungen im Designprozess sowie andere Szenarien wie Projektstillstände und ein individuell angepasstes Ausführungsbudget zu bewältigen. Die algorithmische Planung kann klassische Designs der Response Surface Methodology generieren, sofern dies den Projektspezifikationen optimal entspricht.

Ein Beispiel für algorithmische Planung für RSM.

Lassen Sie uns die im RSM-Projektüberblick dargestellte Planung genauer betrachten.. Ziel der Planung ist es, einen Prozess zu verbessern, indem die Betriebsbedingungen ermittelt werden, die die besten Ergebnisse liefern. Leistung und die kleinste Verunreinigung Maximieren das Einkommen Es ist genauso wichtig wie die Minimierung der Verunreinigung Um einen algorithmischen Plan zu erstellen, wählen wir zunächst die Antworten und die Faktoren aus.

Die Antworten und Faktoren sind:

• Leistung: Ziel der Reaktion ist die Maximierung (je höher, desto besser).
• Verunreinigung: Ziel der Reaktion ist es, den Wert zu minimieren (je kleiner, desto besser).
• pH-Wert: Der Faktorbereich liegt zwischen 5 und 8.
• Temperatur: Der Faktorbereich liegt zwischen 15° und 45° Celsius.
• Anbieter: Es gibt drei Lieferantenstufen (Faktorstufen): Gut, Schnell und Billig.

Operative Entscheidungen darüber, welche Konfigurationen pH e Temperatur Verwendung, zusammen mit der Anbieter, Sie basieren darauf, wie diese Faktoren vorhersagen werden. das Einkommen e als Unreinheiten Technisches Wissen ist auch wichtig, um enge Wertebereiche für die Faktoren zu definieren. Es ist unerlässlich, dass das Einkommen e als Unreinheiten Sie weisen die geringstmögliche Fehlermarge auf, um präzise operative Entscheidungen zu gewährleisten. Das I-optimale Optimierungskriterium ist ideal, da es die Varianz der Prognose minimiert.

Als Nächstes muss ein erstes statistisches Modell vorgeschlagen werden. Dieses Modell steht in direktem Zusammenhang mit dem Optimierungsziel der Planung. Wir schlagen ein Modell zweiter Ordnung vor, das quadratische Terme und Interaktionsterme enthält.die die Flexibilität bieten, Vorhersagen zu treffen und zu optimieren Einkommen Und Verunreinigung Die quadratischen Terme für die stetigen Faktoren erlauben es uns, festzustellen, ob es einen Gipfel oder ein Tal gibt in der... Leistung oder auf Unreinheit zwischen hohen und niedrigen Werten von pH e Temperatur Quadratische Effekte können für kategoriale Faktoren nicht geschätzt werden. Wenn quadratische Effekte im ursprünglichen statistischen Modell spezifiziert werden, wird dem Versuchsplan eine dritte Ebene, der Mittelpunkt, hinzugefügt. pH e Temperatur Bei der Planung, o pH Es wird in den Versionen 5, 6,5 und 8 getestet, während die Temperatur Es wird bei 15°C, 30°C und 45°C getestet.

Die im ursprünglichen statistischen Modell enthaltenen Modellterme sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Auf Basis der von uns verwendeten Modellparameter wird ein I-optimaler Plan generiert. Hätten wir andere Entscheidungen getroffen, beispielsweise Einschränkungen für den Planungsbereich , hätten diese den generierten Plan beeinflusst. In diesem Beispiel gab es jedoch keine Einschränkungen oder andere Entscheidungen, die den Plan beeinflussen könnten. Der Plan umfasst die Anzahl der Läufe, die zur Schätzung des vorgeschlagenen statistischen Modells erforderlich sind, zuzüglich fünf oder sechs zusätzlicher, individueller Läufe zur Schätzung des Modellfehlers. Für unser Beispiel wird ein RSM- Plan mit 18 Läufen vorgeschlagen, wie unten dargestellt.

Diese optimale Planung I minimiert die durchschnittliche Prognoseabweichung, wie in den folgenden Abbildungen ersichtlich. Sie werden feststellen, dass die Prognoseabweichung über weite Teile des Planungsraums gering bleibt, während sie in der Nähe der Raumgrenzen ansteigt. Die folgenden Profile zeigen die Faktoramplitude auf der X-Achse und die Abweichung auf der Y-Achse.

Die Werte von Leistung e Verunreinigung Die Daten werden nach Ausführung des Plans in der Datentabelle gemäß der geplanten Ausführungsreihenfolge erfasst.

Zur Analyse der experimentellen Daten verwenden wir die multiple lineare Regression. um das anfängliche "vollständige" statistische Modell anzupassen, das für Leistung e Verunreinigung Für jede Antwort wird ein individuelles Modell erstellt. Leistung e Verunreinigung Die Vorlagenbedingungen entsprechen denen, die wir bei der Projekteinrichtung festgelegt haben, und umfassen die folgenden Bedingungen:

• Abfangen.

• Drei Haupteffekte ( pH, Temperatur e Anbieter ).

• Drei Wechselwirkungen zweier Faktoren.

• Zwei quadratische Effekte (bei stetigen Faktoren).

Bei beiden Modellen werden inaktive Effekte mittels Variablenauswahl entfernt.Aktive Effekte sind statistisch signifikante Terme, die die Reaktionen beeinflussen. Betrachtet man die Zusammenfassung der Effekte beider Modelle mit aktiven Effekten, so zeigt sich, dass die Krümmung ein aktiver Effekt ist für... Temperatur e pH mit dem quadratischen Term. Wir stellen außerdem fest, dass aktive Wechselwirkungen zwischen pH e Anbietersowie zwischen pH e Temperatur.

Lassen Sie uns das reduzierte Modell analysieren für Leistung e Verunreinigung durch die Beobachtung von Querschnitten der Oberfläche oder Profilen. In unserem Beispiel besteht das Ziel darin, die Einkommen ist genauso wichtig wie die Minimierung Verunreinigung Um die Zielkonflikte zu verstehen und eine Kombination von Faktoreinstellungen zu finden, die die Zielkonflikte zwischen den beiden Zielen ausgleicht, haben wir die Profilmerkmale kombiniert und gemeinsam optimiert.

In diesem Beispiel haben wir festgestellt, dass die Definition der pH für 7,18, ein Temperatur auf 33,71 und die Option „Schnell“ verwenden vom Lieferanten zielt darauf ab, zu maximieren das Einkommen in 96,06 % und minimieren als Unreinheiten bei 0,82 %. Es ist jedoch zu beachten, dass es möglicherweise andere Faktorkombinationen gibt, die zu ähnlichen Ergebnissen führen.

Zentrale Gesamtplanung

Was ist ein zentraler Gesamtplan?

Ein zentral zusammengesetztes Design (CCD) ist ein klassisches Response-Surface-Design. Es integriert Punkte aus einem fraktoriellen Design. Bei Auflösung V oder höher werden zentrale und axiale Punkte (Sternpunkte) verwendet. In Versuchsdesigns mit Auflösung V lassen sich die Haupteffekte und alle Zwei-Faktor-Wechselwirkungen abschätzen. Die Punkte bilden einen Würfel und einen Stern und sind vom Mittelpunkt äquidistant.

Wann sollte ich ein/e verwenden?PlanungZentrales Gelände?

Zentrale zusammengesetzte Versuchspläne werden in der Response-Surface-Methodik eingesetzt, deren Ziel die Vorhersage und Optimierung ist. Sie eignen sich besonders für sequentielle Experimente, da sie Versuchspunkte aus einem zweistufigen faktoriellen oder einem fraktionierten faktoriellen Versuchsplan enthalten. Der ursprüngliche Versuchsplan kann um zentrale und axiale Punkte erweitert werden, um einen zentralen zusammengesetzten Versuchsplan zu erhalten. Zentrale zusammengesetzte Versuchspläne unterstützen ausschließlich kontinuierliche Faktoren.

Eine Einführung in zentrale Verbundkonstruktionen

Zentrale zusammengesetzte Versuchspläne sind eine Art klassischer RSM-Versuchsplanung und bekannt für ihre Nützlichkeit bei sequenziellen Experimenten. Sie umfassen ausschließlich kontinuierliche Faktoren, die jeweils auf fünf Stufen getestet werden: zwei axiale, niedrig, mittel und hoch bzw. –α, –1, 0, +1, +α.

Zentrale zusammengesetzte Versuchspläne umfassen Punkte eines fraktionierten faktoriellen Versuchsplans mit minimaler Auflösung V, zentrale Punkte und axiale Punkte. Die drei Teile des Versuchsplans ermöglichen die Schätzung von Haupteffekten, Wechselwirkungen und quadratischen Termen:

• Faktorielle Punkte (kodiert als -1, +1): Ermöglichen die Schätzung von Haupteffekten und Wechselwirkungen zweiter Ordnung.
• Mittelpunkte (kodiert als 0): Ermöglichen die Erkennung von Krümmungen, erhöhen die Genauigkeit und prüfen auf mangelnde Anpassung.
• Axiale Punkte (kodiert als –α, +α): Ermöglichen die Schätzung quadratischer Terme.

In der untenstehenden Abbildung sind die Fakultätspunkte als schwarze Quadrate, die Mittelpunkte als blaue Kreise und die Achsenpunkte als orangefarbene Rauten dargestellt.

Die Mittelpunkte stellen die Zeitpunkte dar, an denen die Werte aller Faktoren als Mittelwerte definiert sind. Sie dienen dazu, Krümmungen (quadratische Effekte) zu erkennen, die Genauigkeit zu erhöhen und einen Anpassungstest durchzuführen. Sollte der Anpassungstest zeigen, dass das Modell erster Ordnung ungeeignet ist, kann die Planung durch axiale Punkte ergänzt werden, um einen zentralen zusammengesetzten Plan zu erhalten.

Axiale Punkte (auch Sternpunkte genannt) definieren Planungseigenschaften wie Rotation und Orthogonalität und dienen zur Abschätzung quadratischer Effekte. Sie befinden sich im Abstand von ±α vom Planungszentrum. Jeder axiale Punkt entspricht ±α für einen Faktor und 0 für alle anderen Faktoren. Da axiale Werte an verschiedenen Stellen innerhalb der Planung platziert werden können, sind unterschiedliche Arten von zentralen Verbundplänen möglich.

• Flächenbezogen: Die Achsenwerte liegen in den Mittelpunkten der Flächen des Würfels (Fakultätsraum). Diese CCDs werden auch als zentriert bezeichnet. Tu es nicht. oder auf das Gesicht zentriert.
• Eingeschlossen: Die axialen Werte liegen außerhalb des Kubus (Fakultätsraum).
• Abonniert: Die axialen Werte befinden sich innerhalb des Kubus (Fakultätsraum).

Zentrale zusammengesetzte Versuchspläne (CCD) lassen sich sequenziell durchführen, indem man einen bestehenden Versuchsplan erweitert. Dies ist einer ihrer Vorteile. Die Erweiterung eines Versuchsplans bedeutet, einem bestehenden Versuchsplan weitere Versuche hinzuzufügen. Zunächst werden Daten aus einem faktoriellen oder fraktionierten faktoriellen Versuchsplan erhoben. Anschließend werden durch die Erweiterung des Versuchsplans zentrale Punkte hinzugefügt, um die Anpassungsgüte zu prüfen. Wird schließlich eine mangelnde Anpassungsgüte im Modell erster Ordnung festgestellt, kann der Versuchsplan um axiale Punkte erweitert werden, um einen CCD zu erhalten.

Drei- und fünffaktorielle I-optimale Versuchspläne erzeugen dieselbe Anzahl an eindeutigen Versuchen wie ein zentral zusammengesetzter Versuchsplan für die jeweilige Anzahl an Faktoren. Bei mehreren Faktortypen, die über kontinuierliche Faktoren hinausgehen – wie z. B. kategoriale Faktoren, Einschränkungen des Versuchsraums, nicht standardisierte Modelle oder ein benutzerdefiniertes Versuchsbudget – sollten algorithmische Versuchspläne in Betracht gezogen werden. aufgrund seiner größeren Flexibilität.

Ein Beispiel für zentrale Verbundplanung

Angenommen, wir möchten die idealen Konfigurationen der Faktoren finden, um zu maximieren Dichtungsstärke der Brotverpackung. Ausgehend von unserem Vorwissen wissen wir, dass die drei kontinuierlichen Faktoren – % Polyethylen, Kühltemperatur e Siegeltemperatur – Diese Aspekte sind wichtig. Wir haben uns für ein zentrales zusammengesetztes Versuchsdesign entschieden, um die Form der Antwortfläche mithilfe eines Modells zweiter Ordnung zu verstehen. Zunächst haben wir die Zielgrößen und die Faktoreinstellungen definiert.

Die Antwort und die Faktoren lauten:

• Dichtungsfestigkeit: Ziel der Reaktion ist die Maximierung (je höher, desto besser).
• % Polyethylen: Der Faktorbereich liegt zwischen 85 und 95 (Mittelwert ist 90).
• Kühltemperatur: Der Faktorbereich liegt zwischen 120° und 140° (Mittelwert bei 130°).
• Versiegelungstemperatur: Der Temperaturbereich liegt zwischen 220° und 240° (Mittelwert 230°).

Jeder kontinuierliche Faktor wird in einem zentralen zusammengesetzten Versuchsplan bei niedrigen, mittleren und hohen Werten getestet, um ein quadratisches Modell mit quadratischen Termen und Interaktionstermen zu erstellen. Zum Beispiel: der prozentuale Anteil von Polyethylen Es wurde bei 85, 90 und 95 getestet. Bei drei kontinuierlichen Faktoren wurde ein CCD mit gleichmäßiger Genauigkeit von 20 Läufen gewählt. Es gibt acht Läufe für die Faktorpunkte, sechs Läufe für die axialen Punkte auf der Fläche und sechs Läufe für die Mittelpunkte. Gleichmäßige Genauigkeit bedeutet, dass die Anzahl der Mittelpunkte so gewählt wurde, dass die Vorhersagevarianz im Zentrum und an den Ecken des Versuchsplans annähernd gleich ist. Nachfolgend ist die Tabelle des randomisierten Versuchsplans mit einer Spalte dargestellt, die das Muster der Versuchspunkte zeigt.

Zur Veranschaulichung ist die gleiche Tabelle unten in alphabetischer Reihenfolge dargestellt, um die drei verschiedenen Designpunkte zu visualisieren. Zusätzlich werden die Designpunkte visuell dargestellt. In Tabelle und Abbildung sind Faktorpunkte durch schwarze Quadrate, Mittelpunkte durch blaue Kreise und Achsenpunkte durch orangefarbene Rauten gekennzeichnet.

Die Werte von Dichtungsstärke Die Daten werden nach der Durchführung der Planung in der Datentabelle erfasst, wobei die Reihenfolge der Durchführung des ursprünglichen Randomisierungsprojekts beachtet wird, um eine Korrelation mit potenziell unbekannten oder versteckten Variablen auszuschließen.

Zur Analyse der experimentellen Daten verwendeten wir multiple lineare Regression. um das anfängliche "vollständige" statistische Modell anzupassen, das für Dichtungsstärke Die Bedingungen für dieses Modell zweiter Ordnung umfassen Folgendes:

• Abfangen.
• Drei Haupteffekte ( % Polyethylen, Kühltemperatur e Siegeltemperatur ).
• Drei Wechselwirkungen zweier Faktoren.
• Drei quadratische Effekte.

Analysiert man die Zusammenfassung der Modelleffekte unter Berücksichtigung der aktiven Effekte, so zeigt sich, dass die Krümmung ein aktiver Effekt ist für Siegeltemperatur mit dem quadratischen Term. Wir behalten alle Terme im Modell zur Optimierung bei und prüfen, ob es ein Maximum für gibt. Siegeltemperatur, falls es existiert.

Wir können das Modell analysieren Dichtungsstärke mit Querschnitten der Oberfläche oder Profilen. Derzeit prognostizieren wir mit den an ihren jeweiligen Mittelpunkten definierten Faktoren Folgendes: Dichtungsstärke von 10,04. Wir möchten die Kombination der Faktoreinstellungen optimieren, die den höchsten Wert liefert. Dichtungsstärke .

In diesem Beispiel sehen wir, dass die Definition der prozentuale Anteil von Polyethylen bis 92,61 Kühltemperatur bis 131,75 und die Versiegelungstemperatur Für 226,22 wird ein Maximalwert von 10,35 vorhergesagt. Dichtungsstärke Diese Einstellungen ergeben einen Wünschbarkeitswert von 0,67, was bedeutet, dass wir unser Ziel der Maximierung zu etwa 67 % erreicht haben... Dichtungsstärke Es mag noch andere Faktorkombinationen geben, die zu ähnlichen Ergebnissen führen.

Box-Behnken-Planung

Was ist ein Box-Behnken-Plan?

Box-Behnken-Versuchspläne sind ein klassisches Verfahren zur Untersuchung von Versuchsflächen, das aus einer Teilmenge von Punkten eines faktoriellen Versuchsplans erstellt wird, wobei jeder Faktor drei Stufen aufweist. Die Punkte in Box-Behnken-Versuchsplänen liegen auf den Kanten eines Hyperwürfels und sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt. Sie vermeiden Extrempunkte und können nicht aus faktoriellen Versuchsplänen für sequentielle Experimente konstruiert werden.

Wann sollte ich die Box-Behnken-Planungsmethode anwenden?

Box-Behnken-Versuchspläne werden in der Versuchsplanung mit Antwortflächen eingesetzt, deren Hauptziele Vorhersage und Optimierung sind. Ein Box-Behnken-Versuchsplan ist vorteilhaft, wenn extreme Faktorkombinationen vermieden werden müssen, beispielsweise die Durchführung von Versuchen mit extremen Faktorwerten. Solche Versuche können gefährlich, physikalisch unmöglich oder sehr kostspielig sein. Box-Behnken-Versuchspläne berücksichtigen ausschließlich kontinuierliche Faktoren.

Eine Einführung in die Box-Behnken-Planung.

Box-Behnken-Versuchspläne sind eine Art klassischer Versuchsplanung mit Antwortflächen und zeichnen sich dadurch aus, dass sie Extremwerte vermeiden. Sie umfassen ausschließlich stetige Faktoren, die auf drei Stufen getestet werden: niedrig, mittel und hoch bzw. -1, 0 und +1 in kodierten Einheiten.

Box-Behnken-Pläne weisen zwei charakteristische Merkmale auf: Sie sind rotationssymmetrisch (oder nahezu rotationssymmetrisch) und sphärisch. Rotationspläne zeichnen sich dadurch aus, dass die vorhergesagte Varianz bei Rotation des Plans um seinen Mittelpunkt gleich bleibt. Box-Behnken-Pläne sind zudem sphärisch, da alle Punkte des Plans den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben – im Gegensatz zu quaderförmigen Plänen, bei denen die Eckpunkte des Würfels keine Planungspunkte darstellen. Sie können vorteilhaft sein, wenn Extrempunkte aufgrund von Kosten oder unerwünschten Nebenwirkungen vermieden werden müssen. Das Fehlen von Planungspunkten an den Eckpunkten des Würfels führt jedoch zu einer höheren Vorhersagevarianz in deren Nähe, da dort keine Daten vorliegen. Unten ist ein 3D-Streudiagramm der Planungspunkte für drei Faktoren dargestellt. Beachten Sie, dass sich an den Ecken des Raums keine Planungspunkte befinden.

Wenn Sie neben den kontinuierlichen Faktoren noch weitere Faktorenarten haben (z. B. kategorische Faktoren, Einschränkungen des Gestaltungsraums, nicht standardisierte Modelle oder ein kundenspezifisches Ausführungsbudget), sollten Sie eine algorithmische Planung in Betracht ziehen. aufgrund seiner größeren Flexibilität.

Ein Beispiel für einen Box-Behnken-Plan

Angenommen, wir möchten die Elastizität eines Tennisballs optimieren, gemessen als Dehnung (Elastizität), für einen standardisierten Zielwert. Die Elastizität des Balls kann je nach Menge der Siliziumdioxid, Schwefel e Silan wird während der Fertigung eingesetzt. Ziel der Planung ist die Verbesserung des Fertigungsprozesses durch Optimierung der Konfiguration der Faktoren zur Herstellung eines Produkts. Strecken von 450. O Stretch Um ein zufriedenstellendes Produkt zu erhalten, darf der Wert weder unter 350 noch über 550 liegen. Wir gehen davon aus, dass ein Modell zweiter Ordnung erforderlich ist und haben uns daher für ein Box-Behnken-Design entschieden, um zu verhindern, dass die Faktoren gleichzeitig Extremwerte annehmen. Zur Erstellung des Box-Behnken-Designs haben wir zunächst die gewünschte Zielgröße und die Wertebereiche der Faktoren definiert.

Die Antwort und die Faktoren lauten:

• Ziel: Die Zielreaktion soll einen Wert von 450 erreichen, mit einer Untergrenze von 350 und einer Obergrenze von 550.
• Siliziumdioxid: Der Faktorbereich liegt zwischen 0,7 und 1,7 (Mittelwert ist 1,2).
• Schwefel: Der Faktorbereich liegt zwischen 1,8 und 2,8 (der Mittelwert ist 2,3).
• Silano: Der Faktorbereich liegt zwischen 40 und 60 (der Mittelwert ist 50).

Jeder kontinuierliche Faktor wird in einem Box-Behnken-Design bei niedrigen, mittleren und hohen Werten getestet, um ein Modell zweiter Ordnung mit quadratischen und Interaktionstermen zu erstellen.Zum Beispiel, Siliziumdioxid Es wurde bei 0,7, 1,2 und 1,7 getestet. Bei drei kontinuierlichen Faktoren wurde ein Box-Behnken-Design mit 15 Durchläufen und drei Mittelpunkten gewählt. In 12 Durchläufen werden alle möglichen Kombinationen von niedrigen und hohen Werten für jedes Faktorenpaar untersucht, wobei der dritte Faktor jeweils auf dem mittleren Wert liegt. Die folgende Tabelle zeigt das randomisierte Design mit einer Spalte, die das Muster der Designpunkte darstellt.

Zur Veranschaulichung ist die gleiche Tabelle, sortiert nach der Spalte „Muster“, unten dargestellt. Man beachte, dass jede Ausführung einen der Faktoren mit einem mittleren Wert enthält, während die anderen beiden Faktoren hohe oder niedrige Werte aufweisen. Keine der Ausführungen befindet sich an den Extremen des Entwurfsraums, wo Kombinationen extremer Faktoren wie +++, --- oder +-- vorkommen. Dies ist ein Charakteristikum eines Planungs- Box-Behnken-Modells.

Die Werte von Dehnen Die Daten werden nach Durchführung des Versuchsaufbaus in der Datentabelle erfasst, und zwar in der Reihenfolge der Durchführung des ursprünglichen randomisierten Versuchsaufbaus.

Zur Analyse der experimentellen Daten verwenden wir die multiple lineare Regression. um das anfängliche "vollständige" statistische Modell anzupassen, das für Strecken Die Modellterme umfassen für ein Modell zweiter Ordnung die folgenden Terme:

• Abfangen.
• Drei Haupteffekte ( Siliziumdioxid, Schwefel e Silano ).
• Drei Wechselwirkungen zweier Faktoren.
• Drei quadratische Effekte.

Inaktive Effekte werden durch Variablenauswahl aus dem Modell entfernt.Aktive Effekte sind statistisch signifikante Terme, die die Reaktionen beeinflussen. Betrachtet man die Zusammenfassung der Effekte für das Modell mit aktiven Effekten, so sieht man, dass die Krümmung ein aktiver Effekt ist für... Schwefel e Siliziumdioxid mit dem quadratischen Term. Es gibt auch aktive Wechselwirkungen zwischen Siliziumdioxid e Schwefelsowie zwischen Schwefel e Silano .

Lassen Sie uns das reduzierte Modell analysieren für Strecken Im Folgenden können wir anhand der Querschnitte bzw. Profile der Oberfläche den aktiven quadratischen Effekt erkennen... Schwefel e in Siliciumdioxid mit den gekrümmten Profilen. Wir sehen, dass Oh Silanus, Ohne einen aktiven quadratischen Effekt ist der Zusammenhang linear. Aktuell, mit den Faktoren an ihren jeweiligen Mittelpunkten definiert, prognostizieren wir Folgendes: Strecken von 396,15. Wir möchten die Kombination der Faktoreinstellungen optimieren, die einen Wert von 396,15 ergibt. Strecken von 450.

In diesem Beispiel definieren Siliziumdioxid bis 1,06, Schwefel bis 1,91 und oder Silano für 43,82 sagt voraus, dass der Zielwert für o Dehnen Sagen wir 450. Es mag auch andere Kombinationen von Faktoren geben, die zu ähnlichen Ergebnissen führen.

Versuchsplanung