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Méthodologie des surfaces de réponse

• Méthodologie des surfaces de réponse
• Conception de surface de réponse algorithmique
• Planification composite centrale
• Planification de Box-Behnken

Qu'est-ce que la méthodologie des surfaces de réponse ?

La méthodologie des surfaces de réponse (MSR) est utilisée pour développer, améliorer ou optimiser un produit ou un procédé. Cette méthodologie fait appel à un ensemble de techniques statistiques, graphiques et mathématiques variées permettant d'explorer et de modéliser l'évolution d'une réponse dans la zone expérimentale.

Quand faut-il utiliser la méthodologie des surfaces de réponse ?

Utilisez la planification de la sélection des facteurs pour identifier les facteurs importants qui déterminent la qualité de votre produit ou les résultats de votre processus. Une fois ces facteurs identifiés, la méthodologie des surfaces de réponse (MSR) vous aide à déterminer leurs paramètres afin d'optimiser vos réponses. Plus précisément, la MSR peut vous être utile si vous rencontrez les difficultés suivantes :

• Gardez à l'esprit un objectif global pour votre réponse (par exemple, plus c'est élevé, mieux c'est ; plus c'est bas, mieux c'est ; ou dans une certaine fourchette, mieux c'est).
• Un objectif précis pour votre but (par exemple, la réponse doit être d'au moins 90 %, inférieure à 5 mg/L ou de 20 ± 0,1 mm).
• Plusieurs réponses, chacune ayant un objectif précis.

De plus, la RSM est particulièrement utile lorsqu'on est certain qu'il existe un point optimal au sein de la région expérimentale.

Pourquoi utiliser la méthodologie des surfaces de réponse ?

Supposons que vous ayez utilisé la planification de la sélection des facteurs pour réduire la liste des facteurs potentiellement importants dans votre processus. Vous souhaitez maintenant trouver les configurations de facteurs qui optimisent une ou plusieurs réponses, mais vous avez besoin d'informations plus détaillées que celles fournies par une planification de la sélection des facteurs classique.

Ou peut-être connaissez-vous déjà les facteurs importants, mais soupçonnez-vous que le processus pourrait être amélioré pour mieux atteindre vos objectifs. Dans les deux cas, comprendre la forme de la réponse – la surface de réponse – vous aidera à identifier les configurations de facteurs qui, selon les prédictions, produiront la réponse idéale, qu'elle soit définie (maximum, minimum ou cible).

Supposons, pour l'instant, que tous les facteurs considérés soient continus.

Un facteur expérimental testé à deux niveaux fournit les données nécessaires à l'estimation d'un effet linéaire. Pour un plan à un seul facteur, la surface de réponse est modélisée par une droite ; pour deux facteurs, elle est modélisée par un plan ; et pour trois facteurs ou plus, elle est modélisée par un hyperplan.

Cependant, l'effet d'un facteur sur la réponse n'est souvent pas linéaire. Il peut y avoir un pic (maximum) ou un creux (minimum) dans la réponse entre les niveaux bas et élevés d'un facteur. Autrement dit, on peut observer une courbure dans la surface de réponse. Dans ces cas, il est difficile, voire impossible, de trouver les conditions optimales à l'aide de plans d'expériences qui supposent une réponse linéaire. Pour estimer la courbure de la réponse, il est nécessaire d'ajouter de nouveaux effets au modèle, ce qui requiert davantage de points de données. Par exemple, pour estimer… effet quadratique (c'est-à-dire X²) Un facteur continu doit être testé à trois niveaux, et non à deux seulement. Les plans RSM incluent un troisième niveau (ou parfois plus) pour chaque facteur continu dans leur plan ^.

Ces plans d'expérience peuvent être utilisés individuellement, mais ils peuvent également s'appuyer sur vos données existantes pour estimer les effets quadratiques, en spécifiant les niveaux des facteurs et les combinaisons de traitements non inclus dans les plans précédents. Supposons que vous ayez réalisé une sélection de facteurs pour identifier les facteurs importants. Vous avez déjà recueilli des données précieuses sur votre système ou procédé, mais vous ne disposez généralement pas des données nécessaires pour estimer la courbure. Compléter vos données existantes par un plan ultérieur incluant un troisième niveau pour les facteurs continus peut s'avérer une méthode efficace pour modéliser la surface de réponse.

Trouver les configurations de facteurs qui optimisent une ou plusieurs réponses peut s'avérer complexe. Dans la plupart des cas, une réponse dépend de plusieurs facteurs, ce qui rend la surface de réponse multidimensionnelle et potentiellement complexe si les facteurs interagissent entre eux. La méthodologie des surfaces de réponse permet d'explorer cette surface afin de déterminer, au sein de la zone expérimentale, les meilleures configurations de facteurs pour atteindre les objectifs de réponse.

Méthodologie des surfaces de réponse : un exemple

Supposons que nous souhaitions optimiser un processus en identifiant les configurations de facteurs qui produisent le meilleur résultat... performance et le plus petit impureté On nous a indiqué que les objectifs des deux réponses sont d'égale importance. Forts de nos connaissances antérieures, nous savons que trois facteurs sont importants, mais nous souhaitons optimiser le processus en identifiant les conditions opérationnelles qui répondent le mieux à nos objectifs. Dans cet exemple, il ne s'agit pas d'améliorer un projet existant, comme décrit précédemment, mais de créer un nouveau projet RSM.

Les réponses et les facteurs sont :

• Performance: L'objectif de la réponse est de maximiser (plus elle est élevée, mieux c'est).
• Impureté: L'objectif de la réponse est de minimiser (plus c'est petit, mieux c'est).
• pH : La plage de facteurs est de 5 à 8.
• Température: La plage de température est de 15° à 45° Celsius.
• Fournisseur: Il existe trois niveaux de fournisseurs (niveaux de facteurs) : Bon, Rapide et Bon marché.

Pour les deux facteurs continus, pH e TempératureNous souhaitons déterminer s'il existe un pic ou un creux dans la réponse entre les niveaux hauts et bas des facteurs. La plage d'intérêt pour o pH Il se situe entre 5 et 8. Pour comprendre si l'effet de pH sur Revenu e purifier Ce n'est pas linéaire ; nous avons testé un troisième niveau intermédiaire entre 5 et 8 (6,5). Nous faisons de même pour la température, avec des niveaux de 15°, 30° et 45°. Ces trois niveaux nous permettent d'estimer l'effet quadratique. (courbure) pour les facteurs continus. Les effets quadratiques ne peuvent être estimés pour les facteurs catégoriels. Nous nous intéressons également à l'existence d'interactions.Parmi les trois facteurs, une méthodologie de surface de réponse (MSR) avec 18 essais nous permettra d'estimer les effets principaux, les interactions entre deux facteurs et les effets quadratiques.

Après la phase de planification , les réponses sont enregistrées dans le tableau de données.

Utilisez la régression linéaire multiple. pour modéliser les réponses. Le modèle complet pour les deux réponses comprend les termes suivants :

• Intercepter
• Trois effets principaux ( pH, température e fournisseur )
• Trois interactions de deux facteurs
• Deux effets quadratiques (pour les facteurs continus)

Après avoir ajusté des modèles séparés pour Performance e ImpuretéVous pouvez utiliser la sélection de variables. Afin d'éliminer les termes non pertinents des modèles, les termes conservés dans les modèles réduits pour chaque réponse sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Utiliser: Les termes en italique dans le modèle n'étaient pas significatifs, mais ils restent dans les modèles car ils sont impliqués dans des termes d'ordre supérieur.

Nous avons constaté que les deux o pH Combien la température, ainsi qu'un ou plusieurs de ses effets d'ordre supérieur, étaient importants pour les deux réponses. Cependant, le fournisseur (et son interaction avec) o pH ) n'était important que pour impur .

Il est possible de visualiser la forme de la surface de réponse pour les facteurs continus à l'aide d'un graphique tridimensionnel. Sur ces graphiques, on peut observer dans quelle partie de la région expérimentale il est possible d'obtenir des valeurs plus élevées de Performance et des valeurs inférieures de Impureté .

Récolte

Impureté

Vous pouvez également visualiser la surface de réponse en observant ses sections transversales ou ses profils. Vous pouvez ainsi constater comment la variation du niveau d'un facteur individuel influence les valeurs de réponse prédites (représentées à gauche). De plus, vous pouvez observer comment les profils des facteurs impliqués dans les interactions évoluent en fonction du niveau de l'autre facteur.

Les objectifs de la réponse sont de maximiser Revenu et minimiser as Impurezas Il est possible de trouver, au sein de la zone expérimentale, une combinaison de paramètres qui équilibre les compromis entre les deux objectifs. Dans cet exemple, le réglage de pH à 6,85, un Température pour 34,25° et utilisez la méthode rapide du fournisseur vise à maximiser Revenu dans 94,12 % et minimiser as Impurezas à 0,89 %.

D'autres combinaisons de facteurs peuvent produire des résultats similaires. Vous pouvez également trouver des paramètres qui produisent… un revenu plus grand, par exemple, mais au prix de la minimisation. des impuretésOu inversement. Vous pourriez accepter ce compromis si l'optimisation de l'une des réponses est plus importante que celle de l'autre.

Conception de surface de réponse algorithmique

Qu’est-ce que la planification algorithmique pour la méthodologie de surface de réponse (RSM) ?

Une approche de conception algorithmique pour la méthodologie des surfaces de réponse (MSR) utilise des plans I-optimaux, dont les propriétés statistiques sont similaires à celles des plans classiques utilisés en MSR pour l'optimisation de la réponse, tels que les plans composites centrés et les plans de Box-Behnken. Les plans algorithmiques visent à maximiser l'un des critères d'optimisation, dont l'I-optimalité. L'I-optimalité vise à minimiser la variance de prédiction et est utilisée pour les modèles du second ordre (effets principaux quadratiques et interactions à deux facteurs), où la précision des prédictions est prioritaire dans l'optimisation de la réponse.

Quand dois-je utiliser la planification algorithmique pour la RSM ?

La planification algorithmique pour la méthodologie des surfaces de réponse (RSM) peut être utilisée lorsque l'objectif est l'optimisation. Elle est particulièrement utile lorsqu'une plus grande flexibilité de conception est requise, au-delà des possibilités offertes par les méthodes classiques. Par exemple, son utilisation est efficace en présence de multiples facteurs ou contraintes dans l'espace de conception.

La planification algorithmique pour RSM peut inclure :

• Types de facteurs catégoriels.
• Combinaisons de facteurs non viables.
• Blocus.
• Modèles non standard.
• Randomisation restreinte.
• Un budget personnalisé pour le projet.

Introduction à la planification algorithmique pour RSM

L'approche algorithmique de conception pour la méthodologie des surfaces de réponse (MSR) adapte votre plan d'expériences à votre problème, plutôt que d'essayer de faire entrer votre problème dans un plan prédéterminé. Les logiciels de planification d'expériences (DOE), tels que JMP, illustrent cette approche.Ils utilisent un algorithme pour créer un projet RSM conforme à leurs spécifications, en maximisant l'un des critères d'optimisation suivants : le critère d'optimalité I, qui privilégie la précision des prédictions.

Analysons deux situations courantes où les plans d'expérience algorithmiques offrent une plus grande flexibilité à la méthodologie des surfaces de réponse (MSR). Dans de nombreuses situations, un facteur catégoriel présente également un intérêt dans un plan MSR. Par exemple, supposons que nous souhaitions comprendre l'impact de trois fournisseurs sur notre variable réponse principale, en plus de trois facteurs continus. Traditionnellement, nous réaliserions un plan MSR distinct pour chaque fournisseur, car un facteur catégoriel ne peut être inclus dans le plan MSR classique.

Pour trois facteurs continus, nous pourrions réaliser un plan d'expériences de Box-Behnken avec 15 itérations. Réaliser 15 plans de Box-Behnken pour chacun des trois fournisseurs aboutit à un total de 45 itérations, ce qui dépasse rapidement notre budget. Avec des plans algorithmiques, en revanche, nous pourrions inclure le fournisseur comme facteur, en plus des trois facteurs continus, et réaliser un seul plan d'expériences pour comprendre son impact sur la réponse en 24 itérations. Ces 24 itérations sont basées sur des heuristiques afin de créer un plan équilibré pour les termes du modèle du second ordre proposé, avec quelques itérations supplémentaires pour estimer un terme d'erreur.

Une autre situation où la planification algorithmique pour la méthodologie des surfaces de réponse (RSM) offre une grande flexibilité est celle où l'on sait a priori que certaines combinaisons pratiques de niveaux de facteurs sont irréalisables, notamment pour des raisons de sécurité. Prenons l'exemple de l'optimisation d'un nouveau procédé de fabrication de pizzas. Certaines conditions ne permettraient pas d'obtenir une pizza acceptable. Cuire une pizza à haute température pendant une longue période la brûlerait, tandis que la cuire à basse température pendant une courte période la laisserait insuffisamment cuite. Dans cet exemple, la zone de conception a une forme irrégulière et présente des contraintes.

La planification algorithmique pour la méthodologie des surfaces de réponse (MSR) nous offre la flexibilité nécessaire pour relever ces défis de conception, ainsi que d'autres défis tels que les blocages et un budget d'exécution personnalisé. Elle permet de générer des plans d'expériences classiques utilisés en MSR lorsque ceux-ci correspondent parfaitement aux spécifications du projet.

Un exemple de planification algorithmique pour RSM.

Examinons plus en détail la planification présentée dans l'aperçu du projet RSM.. L'objectif de la planification est d'améliorer un processus en identifiant les conditions opérationnelles qui produisent les meilleurs résultats. performance et le plus petit impureté Maximiser le revenu Il est aussi important de minimiser le impureté Pour créer un plan algorithmique, nous choisissons d'abord les réponses et les facteurs.

Les réponses et les facteurs sont :

• Performance: L'objectif de la réponse est de maximiser (plus elle est élevée, mieux c'est).
• Impureté: L'objectif de la réponse est de minimiser (plus c'est petit, mieux c'est).
• pH : La plage de facteurs est de 5 à 8.
• Température: La plage de température est de 15° à 45° Celsius.
• Fournisseur: Il existe trois niveaux de fournisseurs (niveaux de facteurs) : Bon, Rapide et Bon marché.

Décisions opérationnelles concernant les configurations à adopter pH e température utilisation, ainsi que fournisseur, Elles sont basées sur la façon dont ces facteurs prédisent le revenu e as impurezas Les connaissances techniques sont également importantes pour définir des plages de valeurs précises pour les facteurs. Il est essentiel que le revenu e as impurezas Ils présentent la marge d'erreur la plus faible possible afin que les décisions opérationnelles soient précises. Le critère d'optimisation I-optimal est idéal car il minimise la variance des prévisions.

Ensuite, nous devons proposer un modèle statistique initial. Ce modèle est directement lié à l'objectif d'optimisation de cette planification. Nous souhaitons proposer un modèle du second ordre incluant des termes quadratiques et d'interaction.qui offrent la flexibilité de prévoir et d'optimiser Revenu et Impureté Les termes quadratiques des facteurs continus nous permettent de déterminer s'il y a un pic ou un creux dans la... Performance ou sur Impureza entre les niveaux élevés et faibles de pH e Température Il est impossible d'estimer les effets quadratiques pour les facteurs catégoriels. Lorsque des effets quadratiques sont spécifiés dans le modèle statistique initial proposé, un troisième niveau, le point médian, est ajouté au plan d'expérience pour… pH e Température Dans la planification, o pH Il sera testé sur les versions 5, 6.5 et 8, tandis que la température Il sera testé à 15°C, 30°C et 45°C.

Les termes du modèle inclus dans le modèle statistique initial sont présentés dans la figure ci-dessous.

Un plan I-optimal est généré à partir des termes du modèle inclus. D'autres choix, comme des contraintes sur la région de planification , auraient influencé le plan généré. Dans cet exemple, aucune contrainte ni aucun autre choix n'ont influencé le plan. Ce dernier comprend le nombre d'exécutions nécessaires à l'estimation du modèle statistique proposé, auquel s'ajoutent cinq ou six exécutions uniques supplémentaires pour estimer l'erreur du modèle. Dans notre exemple, un plan RSM avec 18 exécutions est proposé, comme illustré ci-dessous.

Cette planification optimale minimise la variance moyenne des prévisions, comme le montrent les figures ci-dessous. On constate que la variance des prévisions reste faible sur la majeure partie de l'espace de conception, tandis qu'elle augmente à proximité de ses limites. Les profils ci-dessous représentent l'étendue du facteur en abscisse et la variance en ordonnée.

Les valeurs de Performance e Impureté Les données sont enregistrées dans le tableau de données après l'exécution du plan, selon l'ordre d'exécution prévu.

Pour analyser les données expérimentales, nous utiliserons une régression linéaire multiple. ajuster le modèle statistique « complet » initial spécifié pour Performance e Impureté Un modèle individuel est adapté à chaque réponse. Performance e Impureté Les conditions du modèle sont identiques à celles que nous avons spécifiées lors de la configuration du projet et comprennent les conditions suivantes :

• Intercepter.

• Trois effets principaux ( pH, température e fournisseur ).

• Trois interactions de deux facteurs.

• Deux effets quadratiques (pour les facteurs continus).

Pour les deux modèles, les effets inactifs sont éliminés par sélection de variables.Les effets actifs sont des termes statistiquement significatifs qui influencent les réponses. En observant le résumé des effets pour les deux modèles avec effets actifs, on constate que la courbure est un effet actif pour… Température e pH avec le terme quadratique. Nous notons également qu'il existe des interactions actives entre pH e Fournisseurainsi qu'entre pH e Température.

Analysons le modèle réduit pour Performance e Impureté en observant des coupes transversales de la surface, ou profils. Dans notre exemple, l'objectif est de maximiser Revenu est tout aussi important que de minimiser Impureté Pour comprendre les compromis et trouver une combinaison de paramètres de facteurs qui équilibre les compromis entre les deux objectifs, nous avons combiné les caractéristiques du profil et les avons optimisées ensemble.

Dans cet exemple, nous avons déterminé que définir le pH pour 7.18, un température à 33,71 et utilisez l'option « Rapide » du fournisseur vise à maximiser le revenu dans 96,06 % et minimiser as impurezas à 0,82 %. Il convient toutefois de noter que d'autres combinaisons de facteurs peuvent produire des résultats similaires.

Planification composite centrale

Qu'est-ce qu'un plan composite central ?

Un plan composite centré (CCD) est un plan d'expériences classique de type surface de réponse. Il intègre des points issus d'un plan factoriel fractionnaire. À partir de la résolution V, on utilise les points centraux et les points axiaux (points en étoile). Dans les plans d'expérience de résolution V, les effets principaux et toutes les interactions à deux facteurs peuvent être estimés. Les points forment un cube et une étoile et sont équidistants du centre.

Quand dois-je utiliser unplanificationcomplexe central ?

Les plans composites centrés sont utilisés dans la conception de surfaces de réponse lorsque l'objectif est la prédiction et l'optimisation. Ils sont particulièrement utiles pour les expérimentations séquentielles, car ils intègrent des points de conception issus d'un plan factoriel à deux niveaux ou d'un plan factoriel fractionnaire. Le plan initial peut être étendu par l'ajout de points centraux et axiaux pour obtenir un plan composite centré. Ces plans ne prennent en charge que les facteurs continus.

Introduction aux plans composites centraux

Les plans composites centrés sont un type classique de plan RSM et sont reconnus pour leur utilité dans l'expérimentation séquentielle. Ils ne comprennent que des facteurs continus, chacun testé à cinq niveaux : deux niveaux axiaux, faible, moyen et élevé, soit –α, –1, 0, +1, +α.

Les plans composites centrés comprennent des points issus d'un plan factoriel fractionnaire à résolution minimale V, des points centraux et des points axiaux. Ces trois composantes permettent d'estimer les effets principaux, les interactions et les termes quadratiques.

• Points factoriels (codés -1, +1) : Permettent l’estimation des effets principaux et des interactions du second ordre.
• Points centraux (codés 0) : permettent de détecter la courbure, d’améliorer la précision et de vérifier l’adéquation.
• Points axiaux (codés comme –α, +α) : Permettent l'estimation des termes quadratiques.

Dans la figure ci-dessous, les points factoriels sont représentés par des carrés noirs, les points centraux par des cercles bleus et les points axiaux par des losanges orange.

Les points centraux représentent les instants où les valeurs de tous les facteurs sont définies comme leurs valeurs moyennes. Ils servent à déterminer la présence d'une courbure (effet quadratique), à ​​améliorer la précision et à réaliser un test d'adéquation. Si ce test indique que le modèle du premier ordre n'est pas approprié, il est possible de compléter la planification avec des points axiaux afin d'obtenir un plan composite centré.

Les points axiaux (également appelés points étoiles) définissent les propriétés de planification telles que la rotationnalité et l'orthogonalité, et servent à estimer les effets quadratiques. Ils sont situés à une distance de ±α du centre de la planification. Chaque point axial vaut ±α pour un facteur donné et 0 pour tous les autres. Les valeurs axiales peuvent être positionnées à différents endroits au sein de la planification, ce qui permet de disposer de différents types de plans composites centrés.

• Faced : Les valeurs axiales se trouvent au centre des faces du cube (espace factoriel). Ces CCD sont également appelés centrés. ne le fais pas ou centré sur le visage.
• Circonscription : Les valeurs axiales sont à l'extérieur du cube (espace factoriel).
• Abonné : Les valeurs axiales sont à l'intérieur du cube (espace factoriel).

Les plans composites centrés peuvent être exécutés séquentiellement par extension d'un plan, ce qui constitue l'un de leurs avantages. Étendre un plan consiste à ajouter des essais à un plan expérimental existant. Dans un premier temps, des données sont collectées à partir d'un plan factoriel ou factoriel fractionnaire. Ensuite, des points centraux sont ajoutés par extension du plan afin de tester l'adéquation du modèle. Enfin, si une adéquation est constatée dans le modèle du premier ordre, le plan peut être étendu avec des points axiaux pour obtenir un plan composite centré.

Les plans optimaux à trois et cinq facteurs génèrent le même nombre d'essais uniques qu'un plan composite centré pour le nombre de facteurs correspondant. En présence de plusieurs types de facteurs autres que continus (par exemple, des facteurs catégoriels, des contraintes sur l'espace de conception, des modèles non standard ou un budget d'exécution personnalisé), il est recommandé d'utiliser des plans algorithmiques. en raison de sa plus grande flexibilité.

Un exemple de planification composite centrale

Supposons que nous voulions trouver les configurations idéales des facteurs pour maximiser la force d'étanchéité de l'emballage du pain. D'après nos connaissances antérieures, nous savons que les trois facteurs continus – % de polyéthylène, Température de refroidissement e Température de scellage – Ces éléments sont importants. Nous avons décidé de réaliser un plan d'expériences composite centré afin de comprendre la forme de la surface de réponse à l'aide d'un modèle du second ordre. Nous avons d'abord défini les objectifs de réponse et les paramètres des facteurs.

La réponse et les facteurs sont :

• Résistance du joint : L'objectif de la réponse est de maximiser (plus elle est élevée, mieux c'est).
• % Polyéthylène : La plage de facteurs va de 85 à 95 (le point médian est 90).
• Température de refroidissement : La plage du facteur est de 120° à 140° (point médian de 130°).
• Température de scellage : La plage de température est de 220° à 240° (point médian de 230°).

Chaque facteur continu est testé à des valeurs faibles, moyennes et élevées dans un plan d'expérience composite centré afin de produire un modèle du second ordre avec des termes quadratiques et d'interaction. Par exemple, le pourcentage de polyéthylène Le test est réalisé à 85, 90 et 95 %. Avec trois facteurs continus, nous avons opté pour un plan composite centré (CCD) à précision uniforme de 20 essais. Huit essais sont prévus pour les points factoriels, six pour les points axiaux et six pour les points centraux. La précision uniforme signifie que le nombre de points centraux est choisi de manière à ce que la variance de prédiction soit approximativement la même au centre et aux coins du plan. Le tableau du plan d'expériences randomisé est présenté ci-dessous, avec une colonne indiquant la disposition des points.

À des fins didactiques, le même tableau est présenté ci-dessous, mais par ordre alphabétique, afin de visualiser les trois types de points de conception. Ces points sont également représentés visuellement. Dans le tableau et la figure, les points factoriels sont représentés par des carrés noirs, les points centraux par des cercles bleus et les points axiaux par des losanges orange.

Les valeurs de force d'étanchéité Les données sont enregistrées dans le tableau de données après l'exécution de la planification, en suivant l'ordre d'exécution du projet de randomisation initial afin d'éliminer toute corrélation avec des variables potentiellement inconnues ou cachées.

Pour analyser les données expérimentales, nous avons utilisé une régression linéaire multiple. ajuster le modèle statistique « complet » initial spécifié pour force d'étanchéité Les termes de ce modèle du second ordre comprennent les éléments suivants :

• Intercepter.
• Trois effets principaux ( % de polyéthylène, Température de refroidissement e Température de scellage ).
• Trois interactions de deux facteurs.
• Trois effets quadratiques.

En analysant le résumé des effets du modèle avec les effets actifs, on constate que la courbure est un effet actif pour Température de scellage avec le terme quadratique. Nous conservons tous les termes du modèle pour l'optimisation et vérifions s'il existe un maximum pour Température de scellage, si elle existe.

Nous pouvons analyser le modèle de force d'étanchéité avec des sections transversales de la surface, ou des profils. Actuellement, avec les facteurs définis à leurs points médians respectifs, nous prévoyons un force d'étanchéité sur 10,04. Nous souhaitons optimiser afin de trouver une combinaison de paramètres de facteurs qui produise le meilleur résultat. force d'étanchéité .

Dans cet exemple, nous voyons que la définition le pourcentage de polyéthylène à 92,61 température de refroidissement à 131,75 et la température de scellage pour 226,22, il prédit une valeur maximale de 10,35. la force d'étanchéité Ces paramètres donnent un score de désirabilité de 0,67, ce qui indique que nous avons atteint environ 67 % de notre objectif de maximisation... la force d'étanchéité D'autres combinaisons de facteurs peuvent produire des résultats similaires.

Planification de Box-Behnken

Qu'est-ce qu'un plan Box-Behnken ?

Les plans de Box-Behnken constituent une méthode classique de modélisation des surfaces de réponse, construite à partir d'un sous-ensemble de points d'un plan factoriel, chaque facteur étant défini à trois niveaux. Les points de ces plans sont situés sur les bords d'un hypercube et équidistants du centre. Ils évitent les valeurs extrêmes et ne peuvent être construits à partir de plans factoriels pour des expériences séquentielles.

Quand dois-je utiliser la méthode de planification Box-Behnken ?

Les plans d'expériences de type Box-Behnken sont utilisés dans la conception de surfaces de réponse lorsque les principaux objectifs sont la prédiction et l'optimisation. Un plan de Box-Behnken présente l'avantage d'éviter les combinaisons extrêmes de facteurs, comme par exemple l'utilisation de valeurs élevées pour chaque facteur continu. Parfois, les essais impliquant des valeurs extrêmes de facteurs sont dangereux, physiquement impossibles ou très coûteux. Les plans de Box-Behnken ne comprennent que des facteurs continus.

Introduction à la planification Box-Behnken.

Les plans d'expériences de Box-Behnken sont un type classique de modélisation de surface de réponse et sont connus pour éviter les valeurs extrêmes. Ils ne comprennent que des facteurs continus testés à trois niveaux : faible, moyen et élevé, soit -1, 0 et +1 en unités codées.

Les plans de Box-Behnken présentent deux caractéristiques distinctes : ils sont rotationnels (ou quasi rotationnels) et sphériques. Les plans rotationnels sont ceux dont la variance prédite reste constante lorsqu'on effectue une rotation autour de leur centre. Les plans de Box-Behnken sont également sphériques, c'est-à-dire que tous leurs points sont équidistants du centre – contrairement aux plans cuboïdes, où les extrémités du cube ne constituent pas des points de planification. Ils peuvent s'avérer avantageux lorsqu'il est nécessaire d'éviter les points extrêmes pour des raisons de coût ou d'effets secondaires indésirables. Cependant, l'absence de points de planification aux sommets du cube entraîne une variance de prédiction plus élevée à proximité de ces sommets, là où les données sont indisponibles. Ci-dessous figure un nuage de points 3D représentant les points de planification pour trois facteurs. On notera l'absence de points de planification aux coins de l'espace.

Lorsque vous avez plusieurs types de facteurs en plus des facteurs continus (tels que des facteurs catégoriels, des contraintes d'espace de conception, des modèles non standard ou un budget d'exécution personnalisé), envisagez une planification algorithmique. en raison de sa plus grande flexibilité.

Exemple de plan Box-Behnken

Supposons que nous voulions optimiser l'élasticité d'une balle de tennis mesurée comme Étirement (élasticité), pour une valeur cible standardisée. L'élasticité de la balle peut varier en fonction des quantités de silice, soufre e silane utilisé lors de la fabrication. L'objectif de la planification est d'améliorer le processus de fabrication en optimisant la configuration des facteurs afin de produire un Extensible de 450. Étirement O Pour obtenir un produit acceptable, la valeur ne peut être inférieure à 350 ni supérieure à 550. Nous estimons qu'un modèle du second ordre est nécessaire et avons donc opté pour un plan d'expériences de Box-Behnken afin d'éviter que les facteurs ne prennent simultanément des valeurs extrêmes. Pour élaborer ce plan, nous avons d'abord défini la réponse souhaitée ainsi que les plages de valeurs des facteurs.

La réponse et les facteurs sont :

• But: La réponse cible est d'atteindre une valeur de 450, avec une limite inférieure de 350 et une limite supérieure de 550.
• Silice: La plage de facteurs va de 0,7 à 1,7 (le point médian est 1,2).
• Soufre: La plage de facteurs va de 1,8 à 2,8 (le point médian est 2,3).
• Silano : La plage de facteurs va de 40 à 60 (le point médian est 50).

Chaque facteur continu est testé à des valeurs faibles, moyennes et élevées dans un plan Box-Behnken pour produire un modèle du second ordre avec des termes quadratiques et d'interaction.Par exemple, silice Le dispositif a été testé aux valeurs 0,7, 1,2 et 1,7. Avec trois facteurs continus, nous avons opté pour un plan de Box-Behnken à 15 essais, avec trois points centraux. Douze essais permettent d'examiner toutes les combinaisons possibles de valeurs minimales et maximales pour chaque paire de facteurs, le troisième facteur étant situé au niveau intermédiaire, auquel s'ajoutent les trois points centraux. Le tableau du plan d'expérience randomisé est présenté ci-dessous, avec une colonne indiquant la disposition des points.

À des fins didactiques, le même tableau, trié par la colonne « motif », est présenté ci-dessous. Remarquez que chaque exécution contient l'un des facteurs à une valeur intermédiaire, tandis que les deux autres facteurs ont des valeurs élevées ou faibles. Aucune des exécutions ne se situe aux extrémités de l'espace de conception, où l'on trouve des combinaisons de facteurs extrêmes telles que +++, --- ou +--. Il s'agit d'une caractéristique de la planification de Box-Behnken.

Les valeurs de Étirage Les données sont enregistrées dans le tableau de données après l'exécution du plan expérimental, en suivant l'ordre d'exécution du plan expérimental randomisé initial.

Pour analyser les données expérimentales, nous utiliserons une régression linéaire multiple. ajuster le modèle statistique « complet » initial spécifié pour Extensible Les termes du modèle comprennent les termes suivants pour un modèle du second ordre :

• Intercepter.
• Trois effets principaux ( Silice, Soufre e Silano ).
• Trois interactions de deux facteurs.
• Trois effets quadratiques.

Les effets inactifs sont éliminés du modèle par sélection de variables.Les effets actifs sont des termes statistiquement significatifs qui influencent les réponses. En observant le résumé des effets du modèle avec effets actifs, on constate que la courbure est un effet actif pour… Soufre e Silice, avec le terme quadratique. Il existe également des interactions actives entre Silice e Soufreainsi qu'entre Soufre e Silano .

Analysons le modèle réduit pour Extensible Ci-dessous, en observant les sections transversales de la surface, ou profils, nous pouvons constater l'effet quadratique actif dans... Soufre e dans la silice avec les profils courbes. Nous constatons que Ô Silanus, En l'absence d'effet quadratique actif, la relation est linéaire. Actuellement, les facteurs étant définis à leurs points médians respectifs, nous prévoyons une relation linéaire. Extensible de 396,15. Nous souhaitons optimiser pour trouver une combinaison de paramètres de facteurs qui produit un Extensible de 450.

Dans cet exemple, définissez Silice à 1,06, Soufre à 1,91 et ou Silano pour 43,82 prédit que la valeur cible pour o Étirement Supposons que ce soit 450. Il peut exister d'autres combinaisons de facteurs qui produisent des résultats similaires.

Conception des expériences