- 因子選擇規劃
- 因子選擇的演算法設計
- 確定性因素選擇工具
- 部分因子設計
- 普拉克特-伯曼計劃
什麼是因子選擇方案？
因子選擇設計是一種計劃好的實驗，通常作為初始步驟，用於識別影響過程或結果的眾多潛在變數中最具影響力的因素。它提供了一種高效且嚴謹的方法，能夠系統地確定哪些因素應該納入後續實驗，且所需的實驗重複次數相對較少。因子選擇的核心在於將「關鍵少數」與「無關緊要的多數」區分開來。
何時應該使用 p因子選擇規劃?
當滿足下列任一條件時，因子選擇規劃都可能有用：
- 有很多潛在因素值得研究。
- 重要因素尚不清楚。
- 這些因素的影響尚不清楚。
並非所有情況下都需要對因素進行篩選。例如，如果因素數量較少，或能夠承擔建立最複雜模型所需的所有規劃模擬成本，則可能無需使用篩選方法。
為什麼以及如何使用規劃進行因素選擇？
實驗過程通常包含一系列計劃步驟。在實驗的早期階段，通常需要考慮許多因素… 他們可以 為了影響這個過程，首要任務是將眾多潛在重要影響因素（主效應，以及在某些情況下還包括交互效應）精簡至少數最相關的因素。當需要考慮的因素眾多時，全因子設計可能非常耗時且耗力。此外，它們也可能造成資源浪費，因為通常沒有必要擬合包含三個或更多因子和交互作用（或至少並非所有因子和交互作用）的模型。另一方面，因子選擇設計可以幫助我們在較少的運行次數內識別出最顯著的影響因素。
因子選擇規劃和分析方法的有效性取決於四個基本原則。雖然這些原則並非適用於所有情況，但它們在實踐中普遍存在，因此非常實用。
稀疏性
原則 效果稀少 它指出，雖然可能有很多候選因素，並且會產生許多其他潛在影響，但只有一小部分因素對任何具體答案才是真正重要的。
等級制度
原則 層級結構 它指出，隨著模型項階數的增加，效應重要的機率會降低。換句話說，高階模型項（例如三因素交互作用）的重要性遠低於低階模型項（例如雙因素交互作用），而雙因素交互作用的重要性又低於主效果。
遺傳
原則 遺傳 該理論指出，高階項的存在通常與相同因素的低階效應的存在有關。例如，如果交互作用 X1 e X3 對於重要的事情，主要影響更有可能出現。 X1 或者 de X3 這也很重要。
投影
A 投影屬性 這指的是，當從模型中移除無關效應並將設計「投影」到維度更低、因子更少（僅包含相關效應）的設計上時，該設計仍能保持其理想的統計特性（例如效應的可估計性和估計值的獨立性）。具有良好投影特性的設計在分析該因子子集時能夠產生可靠的結果。
因子選擇規劃的第一步是識別與您的流程相關的所有因子。結果將包括您感興趣的因子——即您在規劃過程中可以改變且預期會影響響應的因子——以及任何可能會為流程引入隨機變異或噪音的因子。理想情況下，您可以在實驗過程中控制這些雜訊因子，或在統計模型中考慮它們的影響。您還應該考慮高階效應（例如交互作用）的可能性。
然而，在實際操作中，你可能無法將所有潛在因素及其交互作用都納入規劃。設計決策將取決於多種因素，包括：
- 在您的實驗預算範圍內，需要分析的因素數量。
- 制定計劃所需的時間。
- 您想要擬合的模型的複雜程度（即，您只想估計主效應，還是也想估計部分或全部雙因素交互作用？）。
- 相關主題的先驗知識或專業技能的性質和程度。
- 如果未能偵測到真正相關的效應，將會付出失去重要資訊的代價。
在某些情況下，可能需要進行多個實驗才能確定重要的影響因素。例如，最初的設計可能沒有考慮到雙因素交互作用的估計，因此需要進行額外的實驗來檢驗這些交互作用。
有很多方法可以用來設計因子選擇設計。 「經典」設計，例如部分因子設計和普拉克特-伯曼設計，是在20世紀初發展起來的。雖然這些方法廣為人知，但它們也有其限制。現代方法，例如客製化設計和確定性因子選擇設計，採用演算法方法，並具有許多優勢。無論採用何種方法，因子選擇設計都是決定如何改善或最佳化流程的第一步。
因子選擇規劃：一個例子
假設您正在開發一種製造工藝，其中您感興趣的回應是 表現 e 雜質 你的任務是在過程中找到理想的設置， 最大化 收入 e 最小化 淨化。 首先，你需要了解哪些因素會影響這些反應以及如何影響。
你和你的團隊已經確定了九個你認為對影響結果至關重要的因素。 收入 e 淨化 這七個因素是連續變量，兩個是分類變數。根據以往經驗，您為每個因素選擇了合適的區間和水平，如果該因素確實重要，那麼它所引起的反應變化應該足夠大，以便計劃能夠檢測到。
各項因素及其各自的範圍或程度如下：
- 混合時間： 10到30分鐘
- 壓力： 60-80千帕
- pH值： 5-8
- 攪拌速度： 100-120轉/分
- 催化劑： 1-2%
- 溫度： 15-45 灰階 C
- 餐費： 10-15 公升/分鐘
- 賣方： 便宜、快速、好
- 粒徑： 小號，大號
你並不預期所有九個因素都重要（效應稀疏性原則），但目前你並不知道哪些因素會重要。你懷疑可能至少存在一個雙因素交互作用，也可能有二次效應，但你預期它們的重要性低於主效應（層級性原則）。你也假設任何存在的交互作用都將涉及你在設計中辨識出的重要主效應（遺傳性原則）。最後，你知道，如果能夠從模型中移除無關效應，即使原始設計不允許估計這些交互作用效應，你仍然可以估計涉及重要主效應的交互作用效應（投影性質）。
有很多可能的因子選擇策略：允許估計的小規模設計。 僅主要效果；中等規模的計劃，可以估算主要影響和 一些 雙因素交互作用；或允許估計主效果的大型設計； 全部 兩個因素之間可能存在交互作用。具體採用的策略很大程度取決於上述考慮因素。 （在確定重要因素之後，通常會在最佳化規劃中檢驗二次效應。）
在這個例子中，假設你的因素選擇計劃預算相對有限，因此你決定先制定一個只考慮主效果的計劃來識別重要因子。儘管你意識到這可能是一種風險策略，尤其是在交互效應強於主效應的情況下，但你仍然對因子選擇原則充滿信心，並且預留了資金用於後續實驗，以便在需要時驗證本次實驗的結果。
策略和計畫制定完畢後，您制定了一個包含 22 項執行措施的計畫。其中四項是… 中心點 – 所有連續因素均處於平均的執行情況。
在實驗設計中加入中心點有幾個原因。中心點可以為原本無法重複的設計提供重複性，從而幫助您估計純誤差並對模型項進行統計檢定。您可以選擇將中心點運行分佈在整個設計中，以便監控實驗過程中可能出現的意外過程變化；由於這些運行是重複的，因此它們的反應預計彼此相似。
在因子選擇規劃的背景下，中心點可用於： 探測 透過失擬檢驗來檢測響應中是否有曲率。統計上顯著的失擬檢定結果表明，模型可能遺漏了一個或多個二次項。由於設計之初並未考慮這種情況… 估算 就二次項而言——僅檢測它們——一項顯著缺乏擬合度的測試表明需要進一步實驗來了解反應的曲率。
你負責制定計劃並記錄答案。 表現 e 雜質如下表所示。
你使用的是多元線性迴歸。 為每個響應擬合一個模型。這些因素依重要性排序（基於對數效度指標）。 ）對於下圖中的每個響應。
根據你的因素選擇計劃，你確定，對於 收入最大的影響是 溫度 e o pH 最大的影響 作為 Impurezas 他們是 溫度, o pH e 供應商 .
基於這些結果，下一步可能包括簡化模型（移除無關項）、使用相關項及其交互作用（如果可能）擬合新模型，以及分析失擬檢驗，以檢查反應中是否存在曲線彎曲的跡象。這些結果可以引導您後續的規劃決策，幫助您理解並最終優化流程。
因子選擇的演算法設計
什麼是因子選擇的演算法規劃？
因子選擇的演算法設計由實驗設計 (DOE) 軟體構建，以適應特定的實驗環境。演算法設計可以包含各種類型的因子、設計空間限制、隨機化限制以及可變的運行次數，最終產生統計優化的因子選擇設計。
何時應該使用演算法規劃進行因子選擇？?
演算法因子選擇設計幾乎適用於任何因子選擇情境。當存在傳統因子選擇方法無法滿足的特定需求或限制時，它們尤其有用。
為什麼要使用因子選擇的演算法設計?
因子選擇設計提供了一種有效的方法，可以識別眾多因子中哪個因子對反應的影響最大。當經典設計（例如部分因子設計和Plackett-Burman設計）在您的實驗環境中不切實際或無法實施時，演算法因子選擇設計就非常有用。
經典的因子選擇設計已被有效應用多年。然而，這些設計是在幾十年前作為全面的解決方案而創建的，旨在應用於常規的實驗設計（DOE）場景。在實踐中，研究人員可能會遇到經典設計難以應對的情況或挑戰。例如，經典的因子選擇設計可能需要在因子空間中不可行或無法探索的區域進行實驗，或者所需的實驗次數可能超出可用預算。
傳統的因子選擇方案可能會迫使人們調整情況以適應方案，這可能需要排除原本要測試的因子或水平，對方案進行手動修改以損害其統計效益，或者存在其他缺點。
演算法因子選擇設計則利用計算演算法建構客製化設計，以適應特定的實驗環境。演算法設計允許進行各種定制，包括但不限於：
- 指定與您的執行預算相對應的執行次數。
- 將幾種不同類型的因素結合起來制定一個計劃。
- 限制規劃空間，以避免出現不理想的因素配置組合。
- 對隨機化施加各種限制。
演算法因子選擇設計是如何建構的？?
DOE 軟體會根據您的需求建立演算法因子來選擇設計。在您指定因子及其類型、所需的運行次數、設計空間限制和其他參數後，軟體會使用演算法識別出符合您要求的統計最優因子選擇設計。您也可以選擇該設計是否僅用於主效應的因子選擇，還是用於任何您感興趣的特定高階效應的因子選擇。
在此背景下，「統計最優」由一個數值（a）定義。 最優性準則 此指標量化了實驗設計的統計特性。在典型的因子選擇設計中，最適性準則量化了設計對因素效應進行準確估計的能力。因子選擇實驗之所以需要這樣做，是因為需要對效應進行準確估計，才能精確地確定哪些因子對反應的影響最大。其他最優性準則也適用於其他實驗設計（DOE）場景；例如，演算法響應曲面設計通常使用最優性準則來量化設計建構模型以準確預測響應的能力。
因子選擇中的演算法規劃範例是什麼？?
讓我們從規劃概覽頁面上展示的因素選擇場景開始。但情況變得更加複雜。
假設你在製藥公司工作，負責開發一種新藥的生產流程。你需要確定哪些因素對藥物的雜質水平影響最大，最終目標是應用響應曲面法。這些因素用於尋找能夠最大限度減少雜質的配置。此因素選擇規劃中的因素包括：
- 混合時間： （持續；10至30分鐘）
- 壓力： （連續；60 至 80 kPa）
- pH值： （連續；5至8）
- 攪拌速率： （連續；100 至 120 轉/分）
- 催化劑： （連續；1%至2%）
- 溫度： （連續；15°至45°攝氏度）
- 餐費： （連續；10 至 15 公升/分鐘）
- 供應商： （三級分類；三個不同的原料供應商）
- 粒徑： （兩級分類；小和大）
在設計此實驗時，您面臨兩個難題。首先，資源限制使得運行次數只能達到 15 次，這僅涵蓋因子空間中 768 個頂點的不到 2%。在這種稀疏設計下，您需要評估每個因子的主效應，以及一個或多個連續因子效應中可能存在的二次曲率，這至少需要一個中心點（即所有連續因子取平均值時的運行結果）。其次，您知道在高密度下運行設計會造成效能損失。 壓力 低 溫度（反之亦然）是不可行的。因此，您需要限制設計，以避免在因子空間的這些區域進行試驗。下圖以圖形方式展示了這種限制，其中紅色區域表示需要避免的因子空間區域。
最初，你嘗試建立一個經典的因子選擇設計，這會立即限制你的選擇，因為大多數經典的因子選擇設計都假設任何分類因子都是兩個層次的，而 供應商 它分為三個級別。現有的經典規劃（L18 規劃）至少需要 18 次運行，且沒有考慮限制條件。 沮喪 經過 溫度所以你決定放棄傳統設計，改採用演算法設計。
使用實驗設計（DOE）軟體，例如JMP您創建了一個包含 15 次運行的設計，其中不包含因子空間中不可行角落的運行。軟體提示您，設計至少需要 11 次運行，這是為了估計七個連續因子、一個三水平分類因子和一個兩水平分類因子的截距和主效應。 （請注意，一個 k 水平因子需要估計 k-1 個模型參數。）您的預算中還剩下四次運行，因此您指定演算法產生一個包含兩個中心點和兩次重複運行的設計。這些運行將有助於評估是否存在任何連續效應呈現二次曲率。 （我們將在分析數據時更詳細地討論這一點。）設計表如下所示，其後是顯示該設計在因子空間中位置的圖表。 壓力 x 溫度 .
你會注意到，這種規劃方式與你以往見過的任何經典因素選擇規劃方式都截然不同。 壓力 多少 溫度 測量是在五個不同高度進行的，而不是兩到三個。您也會注意到，中心點的測量位置接近但並非正好位於各範圍的中點。 沮喪 e 溫度 （即，69.9） 壓力 以及 30.1 溫度 這是因為規劃演算法找到了一個符合其限制條件的統計最優方案。 沮喪 經過 溫度， 在分析階段尋求精確的參數估計時，您意識到約束條件確實已滿足，因為圖表的左上角和右下角都沒有點。 沮喪 經過 溫度 相反，演算法在約束條件允許的範圍內，盡可能地將這些點放置在靠近這些角落的位置。
接下來，你隨機進行 15 次測試，每次測量所得的雜質含量，然後使用多元迴歸模型分析結果。 僅考慮主效應。分析結果顯示，有三個因素的 p 值小於 0.05，顯示有統計學意義上的影響。 淨化 : 溫度, 供應商 e pH 你得出結論，其他因素要么不起作用，要么影響微乎其微。
接下來，你需要繪製一個圖表來理解你所發現的影響的本質。此圖表顯示： 效果 溫度 e pH 值呈正值，並產生以下影響 溫度 在其整個範圍內都表現更佳。你也可以觀察到效果的明顯模式： 供應商……其中，廉價供應商的雜質含量明顯高於快速或優質供應商。您還會注意到，兩個中心點（以空心圓圈表示）遠低於代表…影響的線條。 溫度 e 做 pH 值 這表明至少有一種連續效應具有二次曲率，儘管透過中心點無法確定是哪個因素造成的。
最後，您進行了失擬檢驗，以檢查模型是否遺漏了任何效應，例如二次曲率。此檢定要求實驗設計中至少包含一個重複樣本，而您已正確指定演算法應包含重複樣本。檢定的 p 值小於 0.05，因此您得出結論：模型遺漏了一些效應。這與您對圖中曲率的視覺評估一致。您決定繼續使用已確定的三個有效因子，透過新的運行擴展模型，以產生響應曲面，從而估計連續因子以及三個因子之間所有交互作用的二次曲率。
缺乏適應性
因子選擇的最終規劃
什麼是最終因素選擇方案？
確定性篩選設計 (DSD) 是一種專門用於識別眾多連續因子中哪個因子對反應變數影響最大的實驗設計。 DSD 所需的實驗次數較少，因此比因子選擇設計更具優勢。
具有相似運行規模的標準模型。它們減少了識別有效效應的歧義，允許識別單一因素效應的曲率，並能夠對一小部分因素估計完整的二次模型。
為什麼要使用明確的因素選擇計劃？
與標準因子選擇設計（例如部分因子設計或Plackett-Burman設計）相比，動態結構設計（DSD）具有許多優勢。這些標準設計可能會掩蓋一些主效果和雙因子交互作用，甚至完全混淆兩個因子之間的交互作用，導致難以辨識有效效應。
此外，儘管具有中心點的標準因子選擇方案可以識別出 在場 儘管曲率是由一個或多個因素造成的，但他們無法確定是哪些因素導致了曲率的產生。 來源 無需額外執行即可確定曲率。相較之下，確定性因子選擇方案具有以下幾個優點：
- 主要效應與雙因素交互作用正交，這意味著當雙因素交互作用活躍時，它們的估計值不會產生偏差。
- 兩個因素之間的交互作用不會完全與另一個因素混淆，從而減少了識別兩個因素之間活躍交互作用效應的歧義。
- 在僅包含主效應和二次效應的模型中，所有二次效應都是可估計的，從而可以識別哪些特定因素與其反應之間的關係表現出曲率。
動態因子設計 (DSD) 能夠以更少的運行次數提供這些優勢。對於六個或更多因子，這些設計所需的運行次數僅略多於因子數的兩倍。例如，對於 14 個連續因子，最小規模的 DSD 僅需 29 次運行，僅為對應全因子設計 (2¹⁴ = )的一小部分。 16384 例死刑執行。
相比之下，分辨率為 IV 的部分因子設計至少需要 32 次運行。與 DSD 類似，它避免了主效應和雙因子交互作用的混淆，但與 DSD 不同的是，它會完全混淆某些雙因子交互作用，並且即使添加中心點，也無法評估單一因子的二次曲率。 DSD 能夠在高效率的設計中收集相對大量的資訊。
除了因子選擇之外，當有效因子數量較少時，動態結構設計 (DSD) 還可以利用響應曲面法進行直接響應最佳化。包含六個或更多因子的 DSD 允許對任意三個因子進行完整的二次模型估計；包含十八個或更多因子的 DSD 允許對任意四個因子擬合完整的二次模型；而包含二十四個或更多因子的 DSD 允許對任意五個因子擬合完整的二次模型。這意味著，如果您的有效因子數量較少，則可以將相同設計用於因子選擇和回應最佳化。否則，您可以根據需要通過額外的試驗來補充您的 DSD。
如何制定明確的因素選擇計劃?
動態序列設計 (DSD) 的優勢源自於其特殊的結構。例如，考慮以下包含六個連續因子的 DSD 計劃表。每個因子都被編碼為高值 1、低值 -1 和中位數 0。
動態序列設計 (DSD) 的優勢源自於其特殊的結構。例如，考慮以下包含六個連續因子的 DSD 計劃表。每個因子都被編碼為高值 1、低值 -1 和中位數 0。
DSD 是一種規劃工具。重疊在這個模型中，每次運行都與另一次運行配對，其中所有因子的值符號都相反。例如，運行 1 和 2 構成一對重疊的運行，運行 2 只是簡單地將運行 1 中的值符號反轉。運行 3 和 4、5 和 6 也遵循相同的規則，以此類推，而運行 13 則是一個中心點，其測量值為所有因子的平均值。這種重疊設計消除了主效果和雙因子交互作用的混淆。
需要注意的是，在任何具有重疊變數（折疊）的兩項研究中，一個因子在兩次運行中均以其平均值測量，而所有其他因子則以其最小值或最大值測量。這使得測量點位於因子空間的邊緣，而不僅僅是像標準因子選擇研究那樣位於角點或中心。研究的此特點使得所有二次效應均可估計。
透過在前三個因子中表示設計，DSD 的結構變得更加清晰。請注意，每個點（中心點除外）都有一個對應的拐點，這些拐點在整個立方體中呈現「鏡像」位置。該設計還包括因子空間邊緣的中點，每個因子在其中點總共測量三次，包括中心點。
此規劃範例代表了六個連續因子所需的最少運行次數。在實踐中，建議至少增加四次運行，這可以透過在規劃中引入非活性虛擬因子來實現。這顯著提高了DSD檢測活性雙因子交互作用和二次曲率的能力。
那麼，要如何創建自己的DSD呢？不用擔心自己動手，像JMP這樣的統計軟體可以幫助你。他們可以為您處理整個規劃過程。
因子選擇明確規劃的一個例子。
假設你是一家生技公司的工程師，你的任務是開發一種新的提取工藝，目標是最大限度地提高產量（以毫克為單位）。首先，你需要確定哪些製程因素對產量影響最大，於是你開始測試各種溶劑、pH值和溶解時間。你的測試因素和範圍如下：
- 甲醇： （0 至 10 毫升）
- 乙醇： （0 至 10 毫升）
- 丙醇： （0 至 10 毫升）
- 丁醇： （0 至 10 毫升）
- pH值： （6 至 9）
- 期間： （1至2小時）
您選擇使用動態隨機設計 (DSD) 是因為您的所有因子均為連續因子，懷疑存在雙因子交互作用和二次曲率，並且在因子選擇後，您希望在無需進行太多（或任何）額外運行的情況下，對有效因子擬合一個完整的二次模型。您選擇在至少 13 次運行的基礎上增加 4 次運行，以便更好地偵測二階效應。您使用以下 17 次運行的 DSD，並將結果記錄在對應列中。 表現 。
將每個因素的主效應視覺化顯示如下： 甲醇 e 時間 對…產生強烈的正面影響 收入， 和 乙醇 也產生了積極影響，儘管較小。這些線 丙醇, 丁醇 e pH值呈現平穩狀態，顯示這些因素的主要影響可以忽略不計。模型僅包含主效應的多元迴歸 證實了主要影響 甲醇, 乙醇 e 時間 它們確實存在，而且由於您使用了DSD方法，因此您知道主效應的估計值不會受到您尚未研究的兩個因素之間任何活躍交互作用的影響。您選擇繼續進行。 甲醇, 乙醇 e 時間 作為其活性成分。
由於您使用了六因子DSD模型，並且只識別出三個有效因子，因此無需增加計劃運行次數即可擬合完整的二次模型。您正在使用具有變數選擇方法的多元迴歸。 最終得到一個用於優化的最終模型。該模型揭示了以下因素的影響： 甲醇 呈現二次曲率，並且 乙醇 e 時間 它們表現出雙因素交互作用： 乙醇 當……時，它的影響可以忽略不計。 時間 雖然數值很低，但當…時會產生強烈的正面影響 時間 它很高。
利用最終模型，您可以確定以下理想的因子配置，根據預測結果，這些配置將產生… 表現 平均含量為 45.34 毫克。
- 甲醇 = 8.13 毫升
- 乙醇 = 10 毫升
- 時間 = 2 小時
部分因子設計
什麼是部分因子設計？
部分因子設計是經典的因子選擇設計類型，當使用包含所有可能的因子處理組合的全因子設計過於耗時或昂貴時，可以使用部分因子設計。
部分因子設計是全因子設計的子集或一部分，其中選擇的處理組合子集允許估計至少主效應，並且可能估計兩個因子之間的一些或全部交互作用。
何時應該使用部分因子設計？
與任何因子選擇設計一樣，在實驗初期，當目標是選擇因子並識別最重要的因子時，可以使用部分因子設計。然而，現代因子選擇方法，例如演算法設計或確定性因子選擇設計，則更為適用。它們在所需運行次數或可估計的效果方面提供了更大的靈活性。
如何使用部分因子設計？
大多數因子選擇設計，包括部分因子設計，都會表現出一定程度的… 困惑 或者 別名這是因為並非所有可能的處理組合都像全因子設計一樣執行。換句話說，某些效應會與其他效應混淆（或混淆）。當兩個或多個效應彼此混淆時，在資料分析階段就無法分別估計它們對反應變數的各自影響。
我們重點關注兩個水平部分因子設計，其中每個因子只有兩個水平。這種設計是完全兩水平因子設計（或稱為兩水平設計）的子集。k， 在哪裡 k 是因子數。處理數是 2 的冪，設計通常由全因子設計與相同因子數的比值來定義（例如，1/2 分數，1/4 分數， 1/8 分數等等）。
發電機： 兩水平部分因子設計以 2 表示。克爾， 在哪裡 r 這是用於選擇全因子設計子集的生成器數量。 （有些資料將其表示為…） p而不是 r 生成器是高階交互項，用於指定如何在全因子設計中選擇試驗次數的比例。它們決定了哪些效應彼此混淆。你可以使用生成器手動建立部分因子設計，但大多數人都會直接使用統計軟體！
解決： 部分因子設計的分辨率顯示了區分主效應和交互效應的能力。換句話說，它衡量了設計中混雜的程度。設計的解析度越高，混雜程度越低。在分辨率為 III 的設計中，主效應與其他主效應之間不存在混雜，但至少與某些雙因子交互作用有混雜。在分辨率為 IV 的設計中，主效應與其他主效應以及任何雙因子交互作用均不存在混雜，但雙因子交互作用之間可能存在混雜。在解析度為 V 的設計中，可以估計主效應和所有雙因子交互作用，但雙因子交互作用與三因子交互作用有混雜。
讓我們想像一個包含三個因素、進行四次試驗的部分因子設計，或是一個雙因子設計。 3-1。
這是第三項決議計劃，因此其主要影響是（ X1, X2 e X3 它們之間沒有別名關係，但它們各自都與兩個因素的相互作用有關。
在這種情況下， X1 它容易與兩個因素的相互作用混淆。 X2*X3 在分析規劃資料時，統計模型將僅包含以下方面的估計值： X1, X2 e X3 交互作用的影響無法估計。在您的模型中，估計值為 X1 事實上，這是多種因素綜合作用的結果。 X1 以及互動 X2*X3這意味著即使估計結果具有統計意義，你也無法確定是主效應還是交互作用更重要。需要進行額外的規劃才能將它們各自的影響區分開來。
讓我們設想這樣一個場景：你想研究半導體製造過程中的各種因素如何影響… 厚度 在晶圓上生長的薄膜的四個因素（及其最小值和最大值）如下： 氣體流動 （250，275）， 溫度 （825，850）， 低頻功率 （180，260）和 高頻功率 （750，850）。
採用所有可能的處理組合進行全因子設計需要 16 次重複，但您只想確定哪些因素會影響… 厚度 在較小的設計中，一個包含八個重複（佔總重複次數的二分之一）的部分因子設計屬於解析度工具變數設計，這意味著主效應不會與任何交互作用混淆。您也可以估計一些雙因子交互作用，儘管它們會與其他雙因子交互作用混淆。設計共有八種處理組合。2⁴⁻¹ 它們如下圖所示。
兩種因素交互作用之間的混淆如下：
將模型擬合到資料時，每組混雜交互作用中只能估計一個交互作用。例如，模型可能包含 氣體流量*溫度 或者 低頻功率*高頻功率但兩者不可兼得。請記住，無論模型中包含哪個項，估計值都是兩個效應總和；它們無法分離。在擬合模型時，我們將包含左側列中的交互項，但這種選擇是任意的（在本例中，它取決於實驗設計中主效應的輸入順序）。
您負責制定計劃並記錄回應變數的結果。 厚度 柱狀 標準 下表列出了每種處理組合中各因素的最小值（-）和最大值（+）。請注意，處理順序是隨機的。
分析部分因子設計
實驗結果分析包括建構統計模型。 它描述了各因素對反應變項的影響。總共運行八次後，可以擬合一個包含截距項和七個項的模型：四個主效果和六個雙因素交互作用中的三個。這被稱為飽和模型，意味著它的估計值（參數）數量與資料點的數量相同。
主效果不受雙因素交互作用的影響，但每個主效果都受到三因素交互作用的影響。幸運的是， 層級原則 因子選擇規劃這告訴我們，模型中高階項（例如三因素交互作用）的重要性通常低於低階項（例如主效應）。基於此原理以及您對該領域的了解，您或許可以假設主效應是估計值的主要貢獻者，而三因素交互作用的貢獻可以忽略不計。
如上所述，兩個因素之間的相互作用容易混淆。如果相互作用 氣體流量*溫度 例如，對於模型中的一個重要效應，該重要效應實際上可能是： 低頻功率*高頻功率或許這兩種交互作用都對答案有所貢獻。
下面擬合的模型提供了每個項的估計值，但在飽和模型中沒有自由度。 因此，要計算標準誤差，不可能得到比率。 t 或一個值 p （由……表示） 機率>|t| （如下圖所示）。換句話說，無法檢定這些估計值的統計顯著性。
幸運的是，在分析飽和模型時，有一種方法可以評估效應的顯著性，這種方法是基於… 稀疏原理 因子選擇規劃稀疏原理假設某些效應對反應沒有顯著影響，可以視為隨機雜訊。這些不顯著的效應被用來估計實驗誤差，稱為倫斯偽標準誤差（Lenth's PSE）。
標準化效應估計值的絕對值繪製在稱為半常態圖（或半常態機率圖）的圖表上，圖中也繪製了一條斜率等於 Lenth 的 PSE 的直線。靠近該直線的效應可以被認為是無關的（即隨機雜訊），而相關的效應則遠離該直線。
圖中所示的兩個主要影響因素被認為非常重要： 低頻 (LF) 功率 e 高頻 (HF) 功率 第三個重要的影響因素是交互作用。 氣體流量*溫度 這時，專業知識和研究設計中混雜因素的檢視就顯得格外重要。請記住雙因素交互作用的同義詞：
氣體流動與溫度的相互作用 與……混淆 低頻功率*高頻功率 這意味著對…的估計 氣體流量*溫度 實際上，這反映了兩個交互項的影響。它們對反應的貢獻可能相同，也可能其中一個可以忽略不計，而另一個才是真正重要的因素。
O 遺傳原理 在因子選擇規劃中 這告訴我們，高階項的存在通常與相同因素的低階效應的存在有關。在本例中，主要的重要效應是… 低頻 (LF) 功率 e 高頻 (HF) 功率而不是 氣體流動 或者 溫度這表明它們之間的互動可能是重要因素。如果一位領域專家知道這一點… 低頻功率 e 高頻功率 它們經常在這種類型的過程中互動，但它們之間不應該有互動。 氣體流動 e 溫度 在本次規劃所採用的層面上，這將為上述結論提供額外的支持。
結論
初步規劃的目標是從少量運行結果中篩選出四個候選因子，並調整模型以找出最重要的因子。您可以利用這些結果來指導後續的實驗階段。例如，您可以簡化模型。 移除那些看起來無關緊要的主要效應和交互作用（根據常態分佈圖和對該地區的知識），進行設計以確認這些結果，然後使用響應曲面方法。 找到各因素的最佳設置，以優化響應。
如果結果不如本例清晰，您可以補充額外的實驗數據。一種方法是運行全因子設計中未包含在原始部分因子設計中的處理。或者，您可以選擇進行針對性實驗，以便估計您感興趣的特定交互作用，而不是完成全因子設計的所有實驗。
這種方法是先制定計劃。部分因子設計，或任何其他類型的因子選擇設計，然後進行額外的實驗，通常比從一開始就進行完全因子設計更有效率，也更能利用資源。
普拉克特-伯曼規劃
什麼是 Plackett-Burman 計劃？
Plackett-Burman 設計是一種計劃實驗，用於在相對較少的實驗次數內評估大量因素的情況。這類設計屬於部分因子設計，其重點在於辨識哪些因素最為重要，並假設因素間的交互作用可以忽略。與其他因子選擇設計一樣，它們在早期階段尤其有用。
何時應該使用普拉克特-伯曼計畫？
當處理大量因子且主要目的是估計其主效應時，Plackett-Burman 設計是一個不錯的選擇。此外，它們在設計規模方面也提供了更多選擇。標準部分因數設計的運行次數是 2 的冪次方（例如，4、8、16、32、64…）。而在 Plackett-Burman 設計中，運行次數是 4 的倍數（例如，4、8、12、16、20、24…），因此這些設計的規模增長速度較慢。然而，現代因子選擇方法，例如演算法因子選擇設計或因子選擇設計，提供了更大的靈活性。它們在所需運行次數和可估算的效果方面提供了更大的靈活性。
為什麼（以及如何）使用普拉克特-伯曼計劃？
與標準部分因子設計相比，Plackett-Burman 設計能夠更好地控制因子選擇的設計規模。在標準部分因子設計中，試驗次數只能選擇 16 次或 32 次，沒有中間值。而在 Plackett-Burman 設計中，除了 16 次試驗和 32 次試驗之外，還有三種額外的試驗次數選擇：20 次、24 次或 28 次。 Plackett-Burman 設計與標準部分因子設計之間還有其他重要差異。
解決： 任何部分因子設計的分辨率都顯示了將主效應與交互作用分離的程度。換句話說，它衡量的是… 困惑 在設計中，標準部分因子設計的分辨率為 III、IV 或 V。解析度越高，混淆因素越少。 Plackett-Burman 設計幾乎總是 III 級分辨率，這意味著您可以獨立估計主效應，因為它們彼此之間不存在混淆。然而，在這些設計中，主效果會與雙因子交互作用部分混淆。 Plackett-Burman 設計的結果在您可以假設交互作用效應較弱或可忽略不計的情況下最為有用。
困惑： 如前所述，在Plackett-Burman設計中，效應的混淆是部分性的，而非完全性的（如標準部分因子設計中的情況）。這種部分混淆會導致估計值的變異數增加，但仍可發現顯著的效應。由於因子選擇設計的主要目標之一是從大量候選因子中識別出重要因子，因此通常會發現其中許多因子並不相關。當能夠從模型中移除不相關因子時，這些設計表現出良好的預測特性。通常簡化為完全析因設計，從而消除大部分（或在某些情況下，全部）混雜因素。
在某些情況下，制定計劃是值得考慮的。因子選擇的決定性因素而不是普拉克特-伯曼方案。您可以在這裡了解更多關於兩者比較的資訊。
12 次運行的 10 因子 Plackett-Burman 計劃範例。
假設一家聚合物材料製造商的工程團隊想要確定影響新材料配方硬度的因素。他們選擇了十個候選因素，每個因素都將在兩個層面上進行研究。
2 的階乘的完整階乘k 對於兩個水平的 10 個因素，需要 210 或進行 1024 次試驗——顯然這是不可行的選擇。由於工程師認為只有少數幾個因素是決定材料硬度的主要因素，因此他們決定採用因子選擇設計。可以採用標準的部分因子設計。一些可能的設計方案如下：
在8次運行中採用1/128的比例進行規劃並非理想選擇，因為它僅屬於II級解析度方案。這意味著無法獨立估計所有10個主效應，因為某些主效應會與其他主效應完全混淆。在16次運行中採用1/64的比例進行規劃屬於III級分辨率方案。在這種情況下，10個主效果可以彼此獨立估計。所有雙因素交互作用都與其他雙因素交互作用混淆，因此無法獨立估計。在32次運行中採用1/32的比例進行規劃屬於IV級分辨率方案，這意味著主效應可以彼此獨立地估計，並且與任何雙因素交互作用無關。然而，某些雙因素交互作用之間仍然存在混淆。
1/64解析度的三級部分因子設計可能是個不錯的選擇。然而，考慮到設計成本以及其他限制因素，工程師更傾向於設計最多只需12次運行即可完成的方案。標準的三級部分因子設計需要16次運行－比實驗人員願意進行的次數多出4次。
然而，有一種Plackett-Burman III解析度設計，適用於10個因素，僅需12次運行。該設計及其結果… 硬度如下表所示。
在分析資料之前，讓我們先來看看這種規劃的一些重要特性，這些特性需要牢記在心。
如前所述，Plackett-Burman 設計中的 10 個主效果可以彼此獨立估計。也就是說，它們之間不存在混淆因素。然而，每個主效果不僅與某些雙因素交互作用有部分混淆，而且與許多其他雙因素交互作用也存在部分混淆。此外，這些雙因素交互作用也與其他一些雙因素交互作用有部分混淆。 Plackett-Burman 設計用於規劃硬度例如，主要效應 樹脂 它呈現了兩種不同因素的 36 種交互作用以及兩種因素的交互作用的部分混淆。 樹脂*單體 它與其他 28 個雙因素交互作用存在部分混淆！
顯然，即使運用專業知識，如果沒有相對較多的額外設計，也很難解決這個混淆因素。因此，在分析普拉克特-伯曼設計時，應假定只有主效果可能重要，而交互作用則無關緊要。
10 個因素，模型僅包含主要效應，12 次試驗設計具有獲得實驗誤差估計所需的試驗次數，從而可以計算 p 值。 評估效應的統計顯著性。每個主要效應的估計值及其各自的檢定統計量和 值 p（用 機率>|t| 下面列出了主要效應。請注意，每個主要效應都受到多個雙因素交互作用的部分混淆。在得出主要效應顯著的結論時，您需要假設這些混淆的交互作用的影響可以忽略不計。
在因子選擇階段，常見的策略是使用較高的顯著水準（α）來確定哪些項目是重要的，以避免遺漏真正影響反應變數的因子。例如，在分析因子選擇資料之前，您可以選擇 0.10 的顯著水準。在後續設計中，使用因子選擇研究中確定的重要因子時，您可能會使用較低的顯著性水準（例如 0.05）來評估模型項的顯著性。
在顯著水準為 0.10 的情況下，有三個因素顯得較為重要： 增塑劑, 載入 e 冷卻速率 . 載入中 影響最大，標準化估計值為 7.25，其次是 增塑劑 （2.75）和 按冷卻速率 （1,75）。
結論
在因子選擇規劃中，其目的並非建構一個能夠完整描述因子與反應變數之間關係的模型。相反，目標是找到所有候選因子的子集，以指導下一輪實驗。基於上述範例的結果，合乎邏輯的下一步是設計一個僅包含以下因子的方案： 載入, 增塑劑 e 冷卻速率 為了估計主要效果及其可能的交互作用，如果初始 Plackett-Burman 設計的結果不夠明確，可以透過增加運行次數來改進原始設計，以消除部分或全部混雜因素。在確定重要因素及其潛在交互作用後，您可以進行下一步，即設計方案以找到能夠優化回應的因素組合。
