- 響應面法
- 演算法響應面設計
- 中央綜合計劃
- 博克斯-貝恩肯規劃
什麼是響應曲面法？
響應曲面法 (RSM) 用於開發、改進或最佳化產品或製程。此方法包含一系列不同的統計、圖形和數學技術，用於探索和模擬實驗區域內響應的形狀。
何時應使用響應曲面法？
使用因子選擇規劃來識別決定產品品質或流程結果的關鍵因素。確定關鍵因素後，響應曲面法 (RSM) 可以幫助您確定這些因素的設置，從而優化響應。具體來說，如果您有以下需求，RSM 可以提供協助：
- 回答問題時要記住一個總體目標（例如，越高越好；越低越好；或在一定範圍內越好）。
- 為您的目標設定一個具體目標（例如，反應應至少達到 90%，小於 5 mg/L，或 20 ± 0.1 mm）。
- 答案不只一個，每個答案都有其特定目的。
此外，當可以確定實驗區域內存在最優點時，響應曲面法最有用。
為什麼要使用響應曲面法？
假設您已使用因子選擇規劃縮小了流程中可能的重要因子範圍。現在，您希望找到能夠最佳化一個或多個回應的因子配置，但您需要比典型因子選擇規劃所能獲得的更詳細的資訊。
或許您已經知道哪些因素很重要，但懷疑流程可以改進以更好地實現目標。無論哪種情況，了解響應形狀（即響應曲面）都將有助於您確定根據預測能夠產生理想響應的因子組合，無論該理想響應是已定義的（最大值、最小值還是目標值）。
我們暫且假設所有考慮的因素都是連續的。
對兩個水平的實驗因素進行測試，即可獲得估計線性效應所需的數據。對於單因素設計，響應曲面建模為一條直線；對於雙因素設計，響應曲面建模為一個平面；對於三個或更多因素設計，響應曲面建模為一個超平面。
然而，因素對反應的影響通常並非線性關係。在因素的低水準和高水準之間，反應值可能存在峰值（最大值）或谷值（最小值）。換句話說，響應曲面可能呈現曲率。在這種情況下，使用假設線性響應的設計方法很難甚至不可能找到最優條件。為了估計響應曲面的曲率，需要在模型中加入新的因素，這需要更多的數據點。例如，為了估計… 影響 二次函數 （即 X²） 連續因子應該在三個水平上進行測試，而不僅僅是兩個水平。在響應曲面法（RSM）設計中，每個連續因子都包含第三個水平（有時甚至更多） 。
這些設計既可以作為獨立設計執行，也可以基於現有資料來估計二次效應，並指定先前設計中未包含的因子水準和處理組合。假設您已執行因子選擇設計以確定哪些因子是重要的。您已經收集了關於系統或過程的寶貴數據，但通常沒有估計曲率所需的數據。透過後續設計（包含連續因子的第三個水準）來擴充現有數據，可以有效地對響應曲面進行建模。
找到能夠優化一個或多個回應的因子配置可能極具挑戰性。在大多數情況下，響應取決於多個因子，這使得響應曲面的形狀呈現多維性，如果因子之間存在相互作用，則響應曲面的形狀可能更加複雜。響應曲面法使我們能夠探索該曲面，從而在實驗區域內找到實現響應目標的最佳因子配置。
響應曲面法：一個例子
假設我們有興趣透過確定哪些因素組合能產生最大的效益來優化某個流程… 表現 最小的 雜質 我們被告知，兩種回應的目標同等重要。基於以往的知識，我們知道有三個因素至關重要，但我們希望透過找到最符合我們目標的操作條件來改善流程。在這個例子中，我們並非像上文所述那樣改進先前的項目，而是建立一個新的響應面管理（RSM）項目。
答案與相關因素如下：
- 表現： 回應的目標是最大化（越高越好）。
- 雜質： 因應措施的目標是盡量減少（越小越好）。
- pH值： 此係數範圍為 5 至 8。
- 溫度： 此係數範圍為 15°C 至 45°C。
- 供應商： 供應商分為三個等級（要素等級）：優質、快速、廉價。
對於這兩個連續因子， pH e 溫度我們想確定在各因素的高低水準之間，反應是否存在峰值或谷值。我們感興趣的範圍是： o pH 介於 5 到 8 之間。要了解其影響， pH 在 收入 e 淨化 它並非線性發展；我們測試了介於 5 和 8 之間的第三個中間層級（6.5）。我們對……也做了同樣的測試。 溫度， 角度分別為 15°、30° 和 45°。這三個角度使我們能夠估計二次效應。 （曲率）適用於連續因子。分類因子的二次效應無法估計。我們也對是否存在交互作用感興趣。在三個因素中，採用包含 18 次試驗的響應曲面法 (RSM) 設計，可以估計主效應、兩個因素之間的交互作用以及二次效應。
計劃階段結束後，將回饋意見記錄在資料表中。
使用多元線性迴歸。 對響應進行建模。兩個響應的完整模型均包含以下項目：
- 截距
- 三大主要影響（ pH, 溫度 e 供應商 )
- 兩個因素的三種交互作用
- 兩個二次效應（針對連續因子）
在調整了各個模型之後 表現 e 雜質您可以使用變數選擇。 從模型中移除無意義的項。下表列出了每個反應變數在簡化模型中保留的項目。
使用： 模型中斜體字的項並不顯著，但它們仍然保留在模型中，因為它們與高階項有關。
我們發現兩者 o pH 多少 溫度以及它的一個或多個高階效應，對兩種反應都很重要。然而， 供應商 （及其與…的相互作用） o pH ）僅對…重要 不純 .
可以透過三維曲面圖來視覺化連續因子的響應曲面形狀。在這些圖中，您可以觀察到在實驗區域的哪個部分可以獲得較高的值。 表現 以及較低的值 雜質 .
收成
雜質
您也可以透過觀察曲面截面或輪廓來視覺化響應曲面。在這裡，您可以看到單一因素水準的變化如何影響預測的反應值（如左圖所示）。您還可以看到交互作用中涉及的因素的輪廓如何隨其他因素水平的變化而變化。
該應對措施的目標是最大限度地 收入 並儘量減少 作為 Impurezas 在實驗區域內，可以找到一組因子設定組合，以平衡兩個目標之間的權衡。在本例中，設定 pH 至 6.85，a 溫度 選擇 34.25° 並使用快速方法 來自供應商 旨在最大化 收入 佔 94.12%，並最小化 作為 Impurezas 0.89%。
可能還有其他因素組合會產生類似的結果。您也可能會找到一些會產生類似結果的設定… 收入 例如，更大，但代價是最小化。 雜質反之亦然。如果優化其中一個回應比另一個反應更重要，你或許願意接受這種權衡。
演算法響應面設計
什麼是響應面法（RSM）的演算法規劃？
響應曲面法 (RSM) 的演算法設計方法採用 I 最優設計，其統計特性與響應曲面法中用於響應最佳化的經典設計（例如中心複合設計和 Box-Behnken 設計）類似。演算法設計旨在最大化多個最佳化準則之一，包括 I 最優性。 I 最適性旨在最小化預測方差，適用於二階模型（具有更多二次主效應和雙向交互作用），在這些模型中，準確的預測在響應優化中至關重要。
何時應該對響應曲面模型（RSM）使用演算法規劃？
當目標是最佳化時，可以使用響應曲面法（RSM）的演算法規劃。當您需要的設計彈性超出傳統設計所能提供的範圍時，演算法規劃尤其有用。例如，當設計空間中存在多種類型的因素或限制時，使用演算法規劃進行RSM設計將非常有效。
RSM的演算法規劃可能包括：
- 類別因素的類型。
- 不可行因素組合。
- 封鎖。
- 非標準型號。
- 受限隨機化。
- 為該專案量身定制的預算。
RSM演算法規劃簡介
響應曲面法 (RSM) 的演算法設計方法會根據問題調整設計，而不是試圖將問題生硬地套入預先設定的設計中。實驗設計 (DOE) 軟體，例如 JMP，就是這種方法的典型例子。他們使用一種演算法來創建一個符合其規範的響應曲面法（RSM）項目，以最大化多個最佳化準則之一。 RSM 使用的最佳化準則是 I 最優性準則，該準則優先考慮預測的準確性。
讓我們分析兩種常見情況，說明演算法設計如何為響應曲面法 (RSM) 提供靈活性。在 RSM 設計中，許多情況下我們也關注分類因子。例如，假設除了三個連續因子之外，我們還想了解三個供應商如何影響我們感興趣的回應。傳統上，我們會為每個供應商運行單獨的 RSM 設計，因為經典的 RSM 設計無法包含分類因子。
對於三個連續因子，我們可以執行一個包含 15 次運行的 Box-Behnken 設計。如果對三個供應商分別運行 15 次 Box-Behnken 設計，則總共需要 45 次運行，這很快就會超出我們的運行預算。然而，使用演算法設計，我們可以將供應商作為一個因子，與三個連續因子一起納入模型，並運行一個包含 24 次運行的單一設計來了解其對響應的影響。這 24 次運行基於啟發式方法，旨在為所提出的二階模型的各項創建一個平衡設計，並額外進行一些運行以估計誤差項。
演算法響應面法 (RSM) 規劃能夠提供靈活性的另一種情況是，當我們預先知道某些因素水平組合由於安全等原因不可行時。例如，假設我們正在優化一種新的披薩製作流程。我們知道某些條件下無法製作出合格的披薩。長時間高溫烘烤會導致披薩烤焦，而短時間低溫烘烤則會導致披薩未烤熟。在這個例子中，設計區域形狀不規則，並且有許多約束條件。
響應曲面法的演算法規劃賦予我們應對這些設計挑戰以及其他情況（例如專案停滯和客製化的執行預算）所需的靈活性。當符合專案規範時，演算法規劃可以產生響應曲面法中使用的經典設計。
RSM演算法規劃範例。
讓我們更詳細地探討RSM專案概述中所提出的規劃。. 規劃的目標是透過找到能夠產生最大結果的操作條件來改善流程。 表現 最小的 雜質 最大化 收入 它與盡量減少 雜質 為了製定演算法方案，我們首先選擇響應變數和影響因素。
答案與相關因素如下：
- 表現： 回應的目標是最大化（越高越好）。
- 雜質： 因應措施的目標是盡量減少（越小越好）。
- pH值： 此係數範圍為 5 至 8。
- 溫度： 此係數範圍為 15°C 至 45°C。
- 供應商： 供應商分為三個等級（要素等級）：優質、快速、廉價。
關於採用哪些配置的運行決策 pH e 溫度 使用，以及 供應商， 它們基於這些因素的預測能力 收入 e 作為不潔 技術知識對於確定各因素的精確取值範圍也至關重要。這一點至關重要： 收入 e 作為不潔 它們能最大限度地減少誤差，從而確保營運決策的準確性。 I-最優最佳化準則非常理想，因為它能最大限度地降低預測的變異數。
接下來，我們需要提出一個初始統計模型。此統計模型與本次規劃的最佳化目標直接相關。我們希望提出一個包含二次項和交互項的二階模型。這提供了預測和優化的靈活性 收入 和 雜質 連續因子的二次項使我們能夠確定曲線中是否存在峰值或谷值… 表現 或者 關於 Impureza 高低水平之間的 pH e 溫度 分類因子的二次效應無法估計。當初始提出的統計模型中指定了二次效應時，設計中會添加第三個水平，即中點… pH e 溫度 在規劃方面， o pH 它將在 5、6.5 和 8 中進行測試，而 溫度 將在 15°C、30°C 和 45°C 下進行測試。
初始統計模型中所包含的模型項如下圖所示。
基於我們納入的模型項，產生一個 I 最優方案。如果我們做出其他選擇，例如對目標區域施加約束，這些選擇會影響生成的方案。在本例中，我們沒有任何可能影響方案的約束或其他選擇。該方案包括估計所提出的統計模型所需的運行次數，以及用於估計模型誤差的五到六次額外運行。對於我們的範例，我們提出了一個包含 18 次運行的 RSM方案，如下所示。
如圖所示，此最優 I值使預測的平均變異數最小。您會注意到，在大部分設計空間內，預測變異數保持較低水平，而在設計空間邊界附近，變異數則增加。下圖顯示了 X 軸上的因子振幅和 Y 軸上的變異數。
價值觀 表現 e 雜質 計劃執行完畢後，資料將依照計畫的執行順序記錄在資料表中。
為了分析實驗數據，我們將採用多元線性迴歸。 調整最初指定的「完整」統計模型 表現 e 雜質 針對每項回應，都會量身訂做一個模型。 表現 e 雜質 範本條款與我們在專案設定期間指定的條款相同，包括以下條款：
對於這兩個模型，均採用變數選擇法來去除無效效應。有效效應是指對反應變數有顯著影響的統計項。觀察兩個包含有效效應的模型的效應總和，我們發現曲率是其中一個模型的有效效應… 溫度 e pH 包含二次項。我們也注意到，它們之間存在著活躍的相互作用。 pH e 供應商以及兩者之間 pH e 溫度.
讓我們來分析一下簡化後的模型。 表現 e 雜質 透過觀察表面的橫截面或輪廓。在我們的範例中，目標是最大化 收入 與盡量減少 雜質 為了了解權衡取捨並找到平衡兩個目標之間權衡取捨的因素設定組合，我們將概況特徵結合起來並進行最佳化。
在這個例子中，我們確定了定義 pH 對於 7.18， 溫度 設定為 33.71 並使用“快速”選項 來自供應商 旨在最大化 收入 佔 96.06%，並最小化 作為不潔 為0.82%。但值得注意的是，可能還有其他因素組合會產生類似的結果。
中央綜合計劃
什麼是中央綜合計畫？
中心複合設計（CCD）是經典的響應曲面設計。它融合了部分因子設計中的點。 在解析度為 V 或更高的設計中，使用中心點和軸點（星形點）。在解析度為 V 的設計中，可以估計主效應和所有雙因素交互作用。這些點構成一個立方體加一個星形，並且到中心的距離相等。
我應該何時使用規劃中心化合物？
中心複合設計用於響應曲面設計，其目標是預測和最佳化。它們尤其適用於序貫試驗，因為它們包含來自雙水平因子試驗或部分因子試驗的設計點。初始設計可以透過添加中心點和軸點來擴展，從而獲得中心複合設計。中心複合設計僅支援連續因子。
中心複合設計簡介
中心複合設計是一種經典的響應曲面法設計，因其在序貫實驗中的實用性而聞名。它只包含連續因子，每個因子測試五個水平：兩個軸向水平、低水平、中水平和高水平，或 -α、-1、0、+1、+α。
中心複合設計包括來自最小解析度部分因子設計 V 的點、中心點和軸點。該設計的三個部分允許估計主效應、交互作用和二次項：
- 因子點（編碼為 -1、+1）：允許估計主效應和二階交互作用。
- 中心點（編碼為 0）：讓您可以偵測曲率、提高精度並測試是否不擬合。
- 軸點（編碼為 –α，+α）：允許估計二次項。
在下圖所示的例子中，階乘點以黑色方塊表示，中心點以藍色圓圈表示，軸點以橘色菱形表示。
中心點代表所有因素值取平均值時的時刻。它們用於判斷是否存在曲率（二次效應），提高精度，並進行失擬檢驗。如果失擬檢定顯示一階模型不適用，則可使用軸點補充規劃，以獲得中心複合規劃。
軸向點（也稱為星形點）定義了規劃屬性，例如旋轉性和正交性，並用於估計二次效應。它們位於與規劃中心 ±α 的距離處。每個軸向點對於一個因子為 ±α，對於所有其他因子為 0。軸向值可以位於規劃中的不同位置，因此可以建構不同類型的中心複合規劃。
- 面中心點：軸向值位於立方體（階乘空間）各個面的中心。這些中心中心點也稱為中心化中心點。 別這麼做 或者 以臉部為中心。
- 外接：軸向值位於立方體（階乘空間）之外。
- 已訂閱：軸向值位於立方體（階乘空間）內。
中心複合設計可以透過擴展設計進行順序運行，這是其優勢之一。擴展設計是指在現有實驗設計中加入運行次數。首先，從析因設計或部分析因設計中收集資料。然後，透過擴展設計添加中心點來檢驗模型是否適合不足。最後，如果在一階模型中發現擬合不足，則可以透過添加軸點來擴展設計，從而獲得中心複合設計。
對於對應因子數，三因子和五因子 I-最優設計將產生與中心複合設計相同數量的獨特試驗。當因子類型不只連續因子（例如分類因子）、設計空間存在限制、採用非標準模型或自訂運行預算時，請考慮演算法設計。 由於其更大的靈活性。
中央綜合計劃的一個例子
假設我們想要找到因子的最佳配置以最大化 密封強度 麵包包裝。根據已有知識，我們知道這三個連續因素— % 聚乙烯, 冷卻溫度 e 密封溫度 – 這些都很重要。我們決定採用中心複合設計，利用二階模型來了解響應曲面的形狀。首先，我們定義了響應目標和因子設定。
答案及相關因素如下：
- 密封強度： 回應的目標是最大化（越高越好）。
- 聚乙烯含量： 此係數範圍為 85 至 95（中位數為 90）。
- 冷卻溫度： 係數範圍為 120° 至 140°（中點為 130°）。
- 密封溫度： 溫度範圍為 220° 至 240°（中點為 230°）。
在中心複合設計中，每個連續因子均以低、中、高三個值進行測試，以建立包含二次項和交互項的二階模型。例如： 聚乙烯的百分比 分別在 85、90 和 95 處進行測試。對於三個連續因子，我們選擇了一個具有 20 次運行的均勻精度中心複合設計 (CCD)。其中，因子點運行 8 次，面軸向點運行 6 次，中心點運行 6 次。均勻精度是指中心點的數量經過選擇，使得設計中心和角點的預測變異數大致相同。下方是隨機設計表，其中一列顯示了設計點的分佈模式。
為了方便教學，下表按字母順序排列，以便更直觀地展示三個不同的設計點。此外，設計點也以圖示方式呈現。在表格和圖中，因子點以黑色方塊表示，中心點以藍色圓圈表示，軸點以橘色菱形表示。
價值觀 密封強度 計劃執行完畢後，資料會依照原始隨機化項目的執行順序記錄在資料表中，以消除與任何潛在未知或隱藏變數的相關性。
為了分析實驗數據，我們採用了多元線性迴歸。 調整最初指定的「完整」統計模型 密封強度 此二階模型的術語包括以下幾項：
- 截距。
- 三大主要影響（ % 聚乙烯, 冷卻溫度 e 密封溫度 ）。
- 兩個因素的三種交互作用。
- 三個二次效應。
透過分析模型效應及其主動效應的總結結果，我們發現曲率是一個主動效應。 密封溫度 包含二次項。我們保留模型中的所有項目進行最佳化，並檢查是否有最大值。 密封溫度如果它存在的話。
我們可以分析該模型 密封強度 通過表面橫截面或輪廓。目前，在各因子各自的中點處定義，我們預測 密封強度 滿分 10.04 分。我們希望優化找到一組因子設定組合，以產生最高的得分。 密封強度 .
在這個例子中，我們看到定義 聚乙烯的百分比 至 92.61 冷卻溫度 至 131.75 和 密封溫度 對於 226.22，預測最大值為 10.35。 密封強度 這些設定使得期望值為 0.67，表明我們已實現了最大化目標的約 67%… 密封強度 可能還有其他因素組合會產生類似的結果。
博克斯-貝恩肯規劃
什麼是博克斯-貝恩肯計畫？
Box-Behnken 設計是一種經典的響應曲面設計，它由析因設計中的部分點建構而成，每個因子均定義為三個水平。 Box-Behnken 設計中的點位於超立方體的邊界上，且到中心的距離相等。這種設計避免了極端點，因此不能從用於序貫試驗的析因設計中建構。
何時應該使用 Box-Behnken 規劃方法？
Box-Behnken 設計用於響應曲面設計，其主要目標是預測和最佳化。當需要避免因子組合的極端情況時，例如避免每個連續因子都處於高水準時，Box-Behnken 設計就顯得特別重要。有時，因子組合的極端情況會帶來危險、物理上不可能或成本過高。 Box-Behnken 設計僅包含連續因子。
Box-Behnken規劃簡介。
Box-Behnken 設計是一種經典的響應曲面模型設計，其特點是避免極端點。它僅包含連續因子，且每個因子在三個水準上進行測試：低、中、高，或編碼單位為 -1、0、+1。
Box-Behnken 平面圖具有兩個顯著特徵：它們是旋轉的（或近似旋轉的）且呈球形。旋轉平面圖是指當平面圖繞著其中心旋轉時，預測變異數保持不變。 Box-Behnken 平面圖也是球形的，平面圖上的所有點到中心的距離都相等——這與長方體平面圖不同，長方體的極端點並非規劃點。當需要避免極端點以降低成本或產生不良副作用時，Box-Behnken 平面圖可能具有優勢。然而，由於長方體頂點缺少規劃點，導致頂點附近（即沒有資料的地方）的預測變異數較高。下圖是三個因素的規劃點三維散佈圖。請注意，空間的角落處沒有規劃點。
當除了連續因素之外還有多種類型的因素時（例如分類因素、設計空間限制、非標準模型或自訂的執行預算），請考慮演算法規劃。 由於其更大的靈活性。
Box-Behnken 方案範例
假設我們想要優化網球的彈性，其測量值為 拉伸（彈性）對於標準化的目標值，球的彈性會根據以下因素而改變： 二氧化矽, 硫 e 矽烷 用於製造過程中。計劃的目標是透過優化生產要素的配置來改善製造流程。 拉緊 450。 O 型伸展 為了生產出合格的產品，該值既不能低於 350，也不能高於 550。我們認為有必要採用二階模型，因此選擇 Box-Behnken 設計來防止各因素同時取極值。為了創建 Box-Behnken 設計，我們首先定義了期望響應和各因素的取值範圍。
答案及相關因素如下：
- 目的： 目標反應值達到 450，下限為 350，上限為 550。
- 二氧化矽： 此因子範圍為 0.7 至 1.7（中位數為 1.2）。
- 硫： 此因子範圍為 1.8 至 2.8（中點為 2.3）。
- 西拉諾： 此係數範圍為 40 至 60（中點為 50）。
在 Box-Behnken 設計中，每個連續因子均以低、中、高三個值進行測試，以產生具有二次項和交互項的二階模型。例如， 二氧化矽 測試值分別為 0.7、1.2 和 1.7。對於三個連續因子，我們選擇 Box-Behnken 設計，進行 15 次試驗，並設定三個中心點。其中 12 個試驗用於檢驗每對因子所有可能的低值和高值組合，而第三個因子則取中間值加上三個中心點。下方是隨機設計表，其中一列顯示了設計點的分佈模式。
為了方便教學，下表按模式列排序。請注意，每個執行結果都包含一個處於中間值的因子，而另外兩個因子則處於高值或低值。所有執行結果均未處於設計空間的極端值，即因子組合為極端值（例如+++、---或+--）的情況。這是Box-Behnken設計的特徵。
價值觀 伸展運動 實驗設計執行完畢後，資料依照原始隨機實驗設計的執行順序記錄在資料表中。
為了分析實驗數據，我們將採用多元線性迴歸。 調整最初指定的「完整」統計模型 拉緊 對於二階模型，模型術語包括以下術語：
- 截距。
- 三大主要影響（ 二氧化矽, 硫 e 西拉諾 ）。
- 兩個因素的三種交互作用。
- 三個二次效應。
透過變數選擇，從模型中移除無效效應。有效效應是指對反應變數有顯著影響的統計項。觀察包含有效效應的模型的效應總合，我們發現曲率是其中一個有效效應… 硫 e 二氧化矽 與二次項。此外，它們之間還存在著積極的相互作用。 二氧化矽 e 硫以及兩者之間 硫 e 西拉諾 .
讓我們來分析一下簡化後的模型。 拉緊 下方觀察表面橫斷面或輪廓，我們可以看到明顯的二次效應… 硫 e 二氧化矽 採用曲面輪廓。我們可以看到 哦，西拉努斯， 如果沒有主動二次效應，則關係呈線性。目前，在各因子定義於各自中點的情況下，我們預測… 拉緊 396.15。我們希望優化找到一組因子設定組合，以產生 拉緊 450。
在這個例子中，定義 二氧化矽 至 1.06， 硫 至 1.91 和 或西拉諾 43.82 預測目標值為 伸展 假設這個數字是 450。可能還有其他因素組合會產生類似的結果。
