- 因子选择规划
- 因子选择的算法设计
- 决定性因素选择因素
- 部分因子设计
- 普拉克特-伯曼计划
什么是因子选择方案？
因子选择设计是一种计划好的实验，通常作为初始步骤，用于识别影响过程或结果的众多潜在变量中最具影响力的因素。它提供了一种高效且严谨的方法，能够系统地确定哪些因素应该纳入后续实验，且所需的实验重复次数相对较少。因子选择的核心在于将“关键少数”与“无关紧要的多数”区分开来。
何时应该使用 p因子选择规划?
当满足下列任一条件时，因子选择规划都可能有用：
- 有很多潜在因素值得研究。
- 重要因素尚不清楚。
- 这些因素的影响尚不清楚。
并非所有情况下都需要对因素进行筛选。例如，如果因素数量较少，或者能够承担构建最复杂模型所需的所有规划模拟成本，则可能无需使用筛选方法。
为什么以及如何使用规划进行因素选择？
实验过程通常包含一系列计划步骤。在实验的早期阶段，通常需要考虑许多因素…… 他们可以 为了影响这一过程，首要任务是将众多潜在重要影响因素（主效应，以及在某些情况下还包括交互效应）精简至少数最相关的因素。当需要考虑的因素众多时，全因子设计可能非常耗时耗力。此外，它们也可能造成资源浪费，因为通常没有必要拟合包含三个或更多因子和交互作用（或者至少并非所有因子和交互作用）的模型。另一方面，因子选择设计可以帮助我们在更少的运行次数内识别出最显著的影响因素。
因子选择规划和分析方法的有效性取决于四个基本原则。虽然这些原则并非适用于所有情况，但它们在实践中普遍存在，因此非常实用。
稀疏性
原则 效果稀少 它指出，虽然可能有很多候选因素，并且会产生许多其他潜在影响，但只有一小部分因素对任何具体答案才是真正重要的。
等级制度
原则 层级结构 它指出，随着模型项阶数的增加，效应重要的概率会降低。换句话说，高阶模型项（例如三因素交互作用）的重要性远低于低阶模型项（例如双因素交互作用），而双因素交互作用的重要性又低于主效应。
遗传
原则 遗传 该理论指出，高阶项的存在通常与相同因素的低阶效应的存在相关。例如，如果交互作用 X1 e X3 对于重要的事情，主要影响更有可能出现。 X1 或者 de X3 这也很重要。
投影
A 投影属性 这指的是，当从模型中移除无关效应并将设计“投影”到维度更低、因子更少（仅包含相关效应）的设计上时，该设计仍能保持其理想的统计特性（例如效应的可估计性和估计值的独立性）。具有良好投影特性的设计在分析该因子子集时能够产生可靠的结果。
因子选择规划的第一步是识别与您的流程相关的所有因子。结果将包括您感兴趣的因子——即您在规划过程中可以改变且预期会影响响应的因子——以及任何可能给流程引入随机变异或噪声的因子。理想情况下，您可以在实验过程中控制这些噪声因子，或在统计模型中考虑它们的影响。您还应该考虑高阶效应（例如交互作用）的可能性。
然而，在实际操作中，你可能无法将所有潜在因素及其相互作用都纳入规划。设计决策将取决于多种因素，包括：
- 在您的实验预算范围内，需要分析的因素数量。
- 制定计划所需的时间。
- 您想要拟合的模型的复杂程度（即，您是只想估计主效应，还是也想估计部分或全部双因素交互作用？）。
- 对相关主题的先验知识或专业技能的性质和程度。
- 如果未能检测到真正相关的效应，将会付出丢失重要信息的代价。
在某些情况下，可能需要进行多个实验才能确定重要的影响因素。例如，最初的设计可能没有考虑到双因素交互作用的估计，因此需要进行额外的实验来检验这些交互作用。
有很多方法可以用来设计因子选择设计。“经典”设计，例如部分因子设计和普拉克特-伯曼设计，是在20世纪初发展起来的。虽然这些方法广为人知，但它们也存在局限性。现代方法，例如定制设计和确定性因子选择设计，采用算法方法，并具有诸多优势。无论采用何种方法，因子选择设计都是确定如何改进或优化流程的第一步。
因子选择规划：一个例子
假设您正在开发一种制造工艺，其中您感兴趣的响应是 表现 e 杂质 你的任务是在此过程中找到理想的设置， 最大化 收入 e 最小化 净化。 首先，你需要了解哪些因素会影响这些反应以及如何影响。
你和你的团队已经确定了九个你认为对影响结果至关重要的因素。 收入 e 净化 这七个因素是连续变量，两个是分类变量。根据以往经验，您为每个因素选择了合适的区间和水平，如果该因素确实重要，那么它所引起的响应变化应该足够大，以便计划能够检测到。
各项因素及其各自的范围或水平如下：
- 混合时间： 10到30分钟
- 压力： 60-80千帕
- pH值： 5-8
- 搅拌速度： 100-120转/分
- 催化剂： 1-2%
- 温度： 15-45 灰度 C
- 餐费： 10-15 升/分钟
- 卖方： 便宜、快捷、好
- 粒径： 小号，大号
你并不预期所有九个因素都重要（效应稀疏性原则），但目前你并不知道哪些因素会重要。你怀疑可能至少存在一个双因素交互作用，也可能存在二次效应，但你预期它们的重要性低于主效应（层级性原则）。你还假设任何存在的交互作用都将涉及你在设计中识别出的重要主效应（遗传性原则）。最后，你知道，如果能够从模型中移除无关效应，即使原始设计不允许估计这些交互作用效应，你仍然可以估计涉及重要主效应的交互作用效应（投影性质）。
有很多可能的因子选择策略：允许进行估计的小规模设计。 仅主要效果；中等规模的计划，可以估算主要影响和 一些 双因素交互作用；或允许估计主效应的大型设计以及 全部 两个因素之间可能存在相互作用。具体采用哪种策略主要取决于上述考虑因素。（在确定重要因素之后，通常会在优化规划中检验二次效应。）
在这个例子中，假设你的因子选择计划预算相对有限，因此你决定先制定一个只考虑主效应的计划来识别重要因子。尽管你意识到这可能是一种风险策略，尤其是在交互效应强于主效应的情况下，但你仍然对因子选择原则充满信心，并且预留了资金用于后续实验，以便在需要时验证本次实验的结果。
战略和计划制定完毕后，您制定了一个包含 22 项执行措施的计划。其中四项是…… 中心点 – 所有连续因素均处于平均水平的执行情况。
在实验设计中加入中心点有几个原因。中心点可以为原本无法重复的设计提供重复性，从而帮助您估计纯误差并对模型项进行统计检验。您可以选择将中心点运行分布在整个设计中，以便监测实验过程中可能出现的意外过程变化；由于这些运行是重复的，因此它们的响应预计彼此相似。
在因子选择规划的背景下，中心点可用于： 探测 通过失拟检验来检测响应中是否存在曲率。统计学上显著的失拟检验结果表明，模型可能遗漏了一个或多个二次项。由于设计之初并未考虑这种情况…… 估算 就二次项而言——仅检测它们——一项显著缺乏拟合度的测试表明需要进一步实验来了解响应的曲率。
你负责制定计划并记录答案。 表现 e 杂质如下表所示。
你使用的是多元线性回归。 为每个响应拟合一个模型。这些因素按重要性排序（基于对数效度指标）。 ）对于下图中的每个响应。
根据你的因素选择计划，你确定，对于 收入最大的影响是 温度 e o pH 最大的影响 作为 Impurezas 他们是 温度, o pH e 供应商 .
基于这些结果，下一步可能包括简化模型（移除无关项）、使用相关项及其交互作用（如果可能）拟合新模型，以及分析失拟检验，以检查响应中是否存在曲线弯曲的迹象。这些结果可以指导您后续的规划决策，帮助您理解并最终优化流程。
因子选择的算法设计
什么是因子选择的算法规划？
因子选择的算法设计由实验设计 (DOE) 软件构建，以适应特定的实验环境。算法设计可以包含各种类型的因子、设计空间约束、随机化限制以及可变的运行次数，最终生成统计优化的因子选择设计。
何时应该使用算法规划进行因子选择？?
算法因子选择设计几乎适用于任何因子选择情境。当存在传统因子选择方法无法满足的特定需求或限制时，它们尤其有用。
为什么要使用因子选择的算法设计?
因子选择设计提供了一种有效的方法，可以识别众多因子中哪个因子对响应的影响最大。当经典设计（例如部分因子设计和Plackett-Burman设计）在您的实验环境中不切实际或无法实施时，算法因子选择设计就非常有用。
经典的因子选择设计已被有效应用多年。然而，这些设计是在几十年前作为全面的解决方案而创建的，旨在应用于常规的实验设计（DOE）场景。在实践中，研究人员可能会遇到经典设计难以应对的情况或挑战。例如，经典的因子选择设计可能需要在因子空间中不可行或无法探索的区域进行实验，或者所需的实验次数可能超出可用预算。
传统的因子选择方案可能会迫使人们调整情况以适应方案，这可能需要排除原本要测试的因子或水平，对方案进行手动修改以损害其统计效益，或者存在其他缺点。
算法因子选择设计则利用计算算法构建定制化设计，以适应特定的实验环境。算法设计允许进行各种定制，包括但不限于：
- 指定与您的执行预算相对应的执行次数。
- 将几种不同类型的因素结合起来制定一个计划。
- 限制规划空间，以避免出现不理想的因素配置组合。
- 对随机化施加各种限制。
算法因子选择设计是如何构建的？?
DOE 软件会根据您的需求构建一个算法因子选择设计。在您指定因子及其类型、所需的运行次数、设计空间约束和其他参数后，软件会使用算法识别出一个符合您要求的统计最优因子选择设计。您还可以选择该设计是仅用于主效应的因子选择，还是用于任何您感兴趣的特定高阶效应的因子选择。
在此背景下，“统计最优”由一个数值（a）定义。 最优性准则 该指标量化了实验设计的统计特性。在典型的因子选择设计中，最优性准则量化了设计对因子效应进行准确估计的能力。因子选择实验之所以需要这样做，是因为需要对效应进行准确估计，才能精确确定哪些因子对响应的影响最大。其他最优性准则也适用于其他实验设计（DOE）场景；例如，算法响应面设计通常使用最优性准则来量化设计构建模型以准确预测响应的能力。
因子选择中的算法规划示例是什么？?
让我们从规划概览页面上提出的相同场景开始，进行因素选择。但情况变得更加复杂。
假设你在一家制药公司工作，负责开发一种新药的生产工艺。你需要确定哪些因素对药物的杂质水平影响最大，最终目标是应用响应面法。这些因素用于寻找能够最大限度减少杂质的配置。此因素选择规划中的因素包括：
- 混合时间： （持续；10至30分钟）
- 压力： （连续；60 至 80 kPa）
- pH值： （连续；5至8）
- 搅拌速率： （连续；100 至 120 转/分）
- 催化剂： （连续；1%至2%）
- 温度： （连续；15°至45°摄氏度）
- 餐费： （连续；10 至 15 升/分钟）
- 供应商： （三级分类；三个不同的原材料供应商）
- 粒径： （两级分类；小和大）
在设计此实验时，您面临两个难题。首先，资源限制使得运行次数只能达到 15 次，这仅覆盖因子空间中 768 个顶点的不到 2%。在这种稀疏设计下，您需要评估每个因子的主效应，以及一个或多个连续因子效应中可能存在的二次曲率，这至少需要一个中心点（即所有连续因子取平均值时的运行结果）。其次，您知道在高密度下运行设计会造成性能损失。 压力 低 温度（反之亦然）是不可行的。因此，您需要限制设计，以避免在因子空间的这些区域进行试验。下图以图形方式展示了这种限制，其中红色区域表示需要避免的因子空间区域。
最初，你尝试构建一个经典的因子选择设计，这会立即限制你的选择，因为大多数经典的因子选择设计都假设任何分类因子都是两水平的，而 供应商 它分为三个级别。现有的经典规划（L18 规划）至少需要 18 次运行，并且没有考虑约束条件。 沮丧 经过 温度所以你决定放弃传统设计，转而采用算法设计。
使用实验设计（DOE）软件，例如JMP您创建了一个包含 15 次运行的设计，其中不包含因子空间中不可行角落的运行。软件提示您，该设计至少需要 11 次运行，这是为了估计七个连续因子、一个三水平分类因子和一个两水平分类因子的截距和主效应。（请注意，一个 k 水平因子需要估计 k-1 个模型参数。）您的预算中还剩下四次运行，因此您指定算法生成一个包含两个中心点和两次重复运行的设计。这些运行将有助于评估是否存在任何连续效应呈现二次曲率。（我们将在分析数据时更详细地讨论这一点。）设计表如下所示，其后是一个显示该设计在因子空间中位置的图表。 压力 x 温度 .
你会注意到，这种规划方式与你以往见过的任何经典因素选择规划方式都截然不同。 压力 多少 温度 测量是在五个不同高度进行的，而不是两到三个。您还会注意到，中心点的测量位置接近但并非正好位于各范围的中点。 沮丧 e 温度 （即，69.9） 压力 以及 30.1 温度 这是因为规划算法找到了一个符合其约束条件的统计最优方案。 沮丧 经过 温度， 在分析阶段寻求精确的参数估计时，您意识到约束条件确实已满足，因为图表的左上角和右下角都没有点。 沮丧 经过 温度 相反，该算法在约束条件允许的范围内，尽可能地将这些点放置在靠近这些角的位置。
接下来，你随机进行 15 次测试，每次测量所得的杂质含量，然后使用多元回归模型分析结果。 仅考虑主效应。分析结果显示，有三个因素的 p 值小于 0.05，表明存在统计学意义上的影响。 净化 : 温度, 供应商 e pH 你得出结论，其他因素要么不起作用，要么影响微乎其微。
接下来，你需要绘制一个图表来理解你所发现的影响的本质。该图表显示： 效果 温度 e pH 值呈正值，并产生以下影响 温度 在其整个范围内都表现更佳。你还可以观察到效果的明显模式： 供应商……其中，廉价供应商的杂质含量明显高于快速或优质供应商。您还会注意到，两个中心点（以空心圆圈表示）远低于代表……影响的线条。 温度 e 做 pH 值 这表明至少有一种连续效应具有二次曲率，尽管通过中心点无法确定是哪个因素造成的。
最后，您进行了失拟检验，以检查模型是否遗漏了任何效应，例如二次曲率。该检验要求实验设计中至少包含一个重复样本，而您已正确指定算法应包含重复样本。检验的 p 值小于 0.05，因此您得出结论：模型遗漏了一些效应。这与您对图中曲率的视觉评估一致。您决定继续使用已确定的三个有效因子，通过新的运行扩展模型，以生成响应曲面，从而估计连续因子以及三个因子之间所有交互作用的二次曲率。
缺乏适应
因子选择的最终规划
什么是最终因素选择方案？
确定性筛选设计 (DSD) 是一种专门用于识别众多连续因子中哪个因子对响应变量影响最大的实验设计。DSD 所需的实验次数较少，因此比因子选择设计更具优势。
具有相似运行规模的标准模型。它们减少了识别有效效应的歧义，允许识别单个因素效应的曲率，并能够对一小部分因素估计完整的二次模型。
为什么要使用明确的因素选择计划？
与标准因子选择设计（例如部分因子设计或Plackett-Burman设计）相比，动态结构设计（DSD）具有诸多优势。这些标准设计可能会掩盖一些主效应和双因子交互作用，甚至完全混淆两个因子之间的交互作用，从而导致难以识别有效效应。
此外，尽管具有中心点的标准因子选择方案可以识别出 在场 尽管曲率是由一个或多个因素造成的，但他们无法确定是哪些因素导致了曲率的产生。 来源 无需额外执行即可确定曲率。相比之下，确定性因子选择方案具有以下几个优势：
- 主要效应与双因素交互作用正交，这意味着当双因素交互作用活跃时，它们的估计值不会产生偏差。
- 两个因素之间的相互作用不会完全与另一个因素混淆，从而减少了识别两个因素之间活跃相互作用效应的歧义。
- 在仅包含主效应和二次效应的模型中，所有二次效应都是可估计的，从而可以识别哪些特定因素与响应之间的关系表现出曲率。
动态因子设计 (DSD) 能够以更少的运行次数提供这些优势。对于六个或更多因子，这些设计所需的运行次数仅略多于因子数的两倍。例如，对于 14 个连续因子，最小规模的 DSD 仅需 29 次运行，仅为相应全因子设计 (2¹⁴ = )的一小部分。 16384 例死刑执行。
相比之下，分辨率为 IV 的部分因子设计至少需要 32 次运行。与 DSD 类似，它避免了主效应和双因子交互作用的混淆，但与 DSD 不同的是，它会完全混淆某些双因子交互作用，并且即使添加中心点，也无法评估单个因子的二次曲率。DSD 能够在高效的设计中收集相对大量的信息。
除了因子选择之外，当有效因子数量较少时，动态结构设计 (DSD) 还可以利用响应面法进行直接响应优化。包含六个或更多因子的 DSD 允许对任意三个因子进行完整的二次模型估计；包含十八个或更多因子的 DSD 可以对任意四个因子拟合完整的二次模型；而包含二十四个或更多因子的 DSD 则可以对任意五个因子拟合完整的二次模型。这意味着，如果您的有效因子数量较少，则可以将同一设计用于因子选择和响应优化。否则，您可以根据需要通过额外的试验来补充您的 DSD。
如何制定明确的因素选择计划?
动态序列设计 (DSD) 的优势源于其特殊的结构。例如，考虑以下包含六个连续因子的 DSD 计划表。每个因子都被编码为高值 1、低值 -1 和中值 0。
动态序列设计 (DSD) 的优势源于其特殊的结构。例如，考虑以下包含六个连续因子的 DSD 计划表。每个因子都被编码为高值 1、低值 -1 和中值 0。
DSD 是一种规划工具。重叠在这个模型中，每次运行都与另一次运行配对，其中所有因子的值符号都相反。例如，运行 1 和 2 构成一对重叠的运行，运行 2 只是简单地将运行 1 中的值符号反转。运行 3 和 4、5 和 6 也遵循同样的规则，以此类推，运行 13 则是一个中心点，其测量值为所有因子的平均值。这种重叠设计消除了主效应和双因子交互作用的混淆。
请注意，在任何具有重叠变量（折叠）的两项研究中，一个因子在两次运行中均以其平均值测量，而所有其他因子则以其最小值或最大值测量。这使得测量点位于因子空间的边缘，而不仅仅是像标准因子选择研究那样位于角点或中心。研究的这一特点使得所有二次效应均可估计。
通过在前三个因子中表示设计，DSD 的结构变得更加清晰。请注意，每个点（中心点除外）都有一个对应的拐点，这些拐点在整个立方体中呈“镜像”位置。该设计还包括因子空间边缘的中点，每个因子在其中点处总共测量三次，包括中心点。
此规划示例代表了六个连续因子所需的最少运行次数。在实践中，建议至少增加四次运行，这可以通过在规划中引入非活性虚拟因子来实现。这显著提高了DSD检测活性双因子交互作用和二次曲率的能力。
那么，如何创建自己的DSD呢？不用担心自己动手，像JMP这样的统计软件可以帮到你。他们可以为您处理整个规划过程。
因子选择明确规划的一个例子。
假设你是一家生物技术公司的工程师，你的任务是开发一种新的提取工艺，目标是最大限度地提高产量（以毫克为单位）。首先，你需要确定哪些工艺因素对产量影响最大，于是你开始测试各种溶剂、pH值和溶解时间。你的测试因素和范围如下：
- 甲醇： （0 至 10 毫升）
- 乙醇： （0 至 10 毫升）
- 丙醇： （0 至 10 毫升）
- 丁醇： （0 至 10 毫升）
- pH值： （6 至 9）
- 期间： （1至2小时）
您选择使用动态随机设计 (DSD) 是因为您的所有因子均为连续因子，怀疑存在双因子交互作用和二次曲率，并且在因子选择后，您希望在无需进行太多（或任何）额外运行的情况下，对有效因子拟合一个完整的二次模型。您选择在至少 13 次运行的基础上增加 4 次运行，以便更好地检测二阶效应。您使用以下 17 次运行的 DSD，并将结果记录在相应列中。 表现 。
将每个因素的主效应可视化显示： 甲醇 e 时间 对……产生强烈的积极影响 收入， 和 乙醇 也产生了积极影响，尽管较小。这些线 丙醇, 丁醇 e pH值呈现平稳状态，表明这些因素的主要影响可以忽略不计。模型仅包含主效应的多元回归 证实了主要影响 甲醇, 乙醇 e 时间 它们是活跃的，而且由于您使用了DSD，因此您知道主效应的估计值不会受到您尚未研究的两个因素之间任何活跃交互作用的影响。您选择继续进行。 甲醇, 乙醇 e 时间 作为其活性成分。
由于您使用了六因子DSD模型，并且只识别出三个有效因子，因此无需增加计划运行次数即可拟合完整的二次模型。您正在使用带有变量选择方法的多元回归。 最终得到一个用于优化的最终模型。该模型揭示了以下因素的影响： 甲醇 呈现二次曲率，并且 乙醇 e 时间 它们表现出双因素交互作用： 乙醇 当……时，它的影响可以忽略不计。 时间 虽然数值很低，但当……时会产生强烈的积极影响 时间 它很高。
利用最终模型，您可以确定以下理想的因子配置，根据预测结果，这些配置将产生…… 表现 平均含量为 45.34 毫克。
- 甲醇 = 8.13 毫升
- 乙醇 = 10 毫升
- 时间 = 2 小时
部分因子设计
什么是部分因子设计？
部分因子设计是一种经典的因子选择设计类型，当使用包含所有可能的因子处理组合的全因子设计过于耗时或昂贵时，可以使用部分因子设计。
部分因子设计是全因子设计的一个子集或一部分，其中选择的处理组合子集允许估计至少主效应，并且可能估计两个因子之间的一些或全部交互作用。
何时应该使用部分因子设计？
与任何因子选择设计一样，在实验初期，当目标是选择因子并识别最重要的因子时，可以使用部分因子设计。然而，现代因子选择方法，例如算法设计或确定性因子选择设计，则更为适用。它们在所需运行次数或可估计的效果方面提供了更大的灵活性。
如何使用部分因子设计？
大多数因子选择设计，包括部分因子设计，都会表现出一定程度的…… 困惑 或者 别名这是因为并非所有可能的处理组合都像全因子设计那样执行。换句话说，某些效应会与其他效应混淆（或混淆）。当两个或多个效应彼此混淆时，在数据分析阶段就无法分别估计它们对响应变量的各自影响。
我们重点关注两水平部分因子设计，其中每个因子只有两个水平。这种设计是完全两水平因子设计（或称两水平设计）的一个子集。k， 在哪里 k 是因子数。处理数是 2 的幂，设计通常由全因子设计与相同因子数的比值来定义（例如，1/2 分数，1/4 分数， 1/8 分数等等）。
发电机： 两水平部分因子设计用 2 表示。克尔， 在哪里 r 这是用于选择全因子设计子集的生成器数量。（有些资料将其表示为……） p而不是 r 生成器是高阶交互项，用于指定如何在全因子设计中选择试验次数的比例。它们决定了哪些效应彼此混淆。你可以使用生成器手动构建部分因子设计，但大多数人都会直接使用统计软件！
解决： 部分因子设计的分辨率表明了区分主效应和交互效应的能力。换句话说，它衡量了设计中混杂的程度。设计的分辨率越高，混杂程度越低。在分辨率为 III 的设计中，主效应与其他主效应之间不存在混杂，但至少与某些双因子交互作用存在混杂。在分辨率为 IV 的设计中，主效应与其他主效应以及任何双因子交互作用均不存在混杂，但双因子交互作用之间可能存在混杂。在分辨率为 V 的设计中，可以估计主效应和所有双因子交互作用，但双因子交互作用与三因子交互作用存在混杂。
让我们想象一个包含三个因素、进行四次试验的部分因子设计，或者一个双因子设计。 3-1。
这是第三项决议计划，因此其主要影响是（ X1, X2 e X3 它们之间没有别名关系，但它们各自都与两个因素的相互作用有关。
在这种情况下， X1 它容易与两个因素的相互作用混淆。 X2*X3 在分析规划数据时，统计模型将仅包含以下方面的估计值： X1, X2 e X3 交互作用的影响无法估计。在您的模型中，估计值为 X1 事实上，这是多种因素综合作用的结果。 X1 以及互动 X2*X3这意味着即使估计结果具有统计学意义，你也无法确定主效应还是交互作用才是关键因素。需要进行额外的规划才能将它们各自的影响区分开来。
让我们设想这样一个场景：你想研究半导体制造过程中的各种因素如何影响…… 厚度 在晶圆上生长的薄膜的四个因素（及其最小值和最大值）如下： 气体流动 （250，275）， 温度 （825，850）， 低频功率 （180，260）和 高频功率 （750，850）。
采用所有可能的处理组合进行全因子设计需要 16 次重复，但您只想确定哪些因素会影响…… 厚度 在较小的设计中，一个包含八个重复（占总重复次数的二分之一）的部分因子设计属于分辨率工具变量设计，这意味着主效应不会与任何交互作用混淆。您还可以估计一些双因子交互作用，尽管它们会与其他双因子交互作用混淆。该设计共有八种处理组合。2⁴⁻¹ 它们如下图所示。
两种因素相互作用之间的混淆情况如下：
在将模型拟合到数据时，每组混杂交互作用中只能估计一个交互作用。例如，模型可能包含 气体流量*温度 或者 低频功率*高频功率但两者不可兼得。请记住，无论模型中包含哪个项，估计值都是两个效应之和；它们无法分离。拟合模型时，我们将包含左侧列中的交互项，但这种选择是任意的（在本例中，它取决于实验设计中主效应的输入顺序）。
您负责制定计划并记录响应变量的结果。 厚度 柱状 标准 下表列出了每种处理组合中各因素的最小值（-）和最大值（+）。请注意，处理顺序是随机的。
分析部分因子设计
实验结果分析包括构建统计模型。 它描述了各因素对响应变量的影响。总共运行八次后，可以拟合一个包含截距项和七个项的模型：四个主效应和六个双因素交互作用中的三个。这被称为饱和模型，意味着它的估计值（参数）数量与数据点的数量相同。
主效应不受双因素交互作用的影响，但每个主效应都受到三因素交互作用的影响。幸运的是， 层级原则 因子选择规划这告诉我们，模型中高阶项（例如三因素交互作用）的重要性通常低于低阶项（例如主效应）。基于此原理以及您对该领域的了解，您或许可以假设主效应是估计值的主要贡献者，而三因素交互作用的贡献可以忽略不计。
如上所述，两个因素之间的相互作用容易混淆。如果相互作用 气体流量*温度 例如，对于模型中的一个重要效应，该重要效应实际上可能是： 低频功率*高频功率或许这两种交互作用都对答案有所贡献。
下面拟合的模型提供了每个项的估计值，但在饱和模型中没有自由度。 因此，要计算标准误差，不可能得到比率。 t 或一个值 p （由……表示） 概率>|t| （如下图所示）。换句话说，无法检验这些估计值的统计显著性。
幸运的是，在分析饱和模型时，有一种方法可以评估各种效应的重要性，这种方法基于…… 稀疏性原理 因子选择规划稀疏性原理假设某些效应对响应没有显著影响，可以视为随机噪声。这些不显著的效应被用来估计实验误差，称为伦斯伪标准误差（Lenth's PSE）。
标准化效应估计值的绝对值绘制在称为半正态图（或半正态概率图）的图表上，图中还绘制了一条斜率等于 Lenth 的 PSE 的直线。靠近该直线的效应可以被认为是无关的（即随机噪声），而相关的效应则远离该直线。
图中所示的两个主要影响因素被认为非常重要： 低频 (LF) 功率 e 高频 (HF) 功率 第三个重要的影响因素是交互作用。 气体流量*温度 这时，专业知识和对研究设计中混杂因素的审查就显得尤为重要。请记住双因素交互作用的同义词：
气体流动与温度的相互作用 与……混淆 低频功率*高频功率 这意味着对……的估计 气体流量*温度 实际上，这反映了两个交互项的影响。它们对响应的贡献可能相同，也可能其中一个可以忽略不计，而另一个才是真正重要的因素。
O 遗传原理 在因子选择规划中 这告诉我们，高阶项的存在通常与相同因素的低阶效应的存在相关。在本例中，主要的重要效应是…… 低频 (LF) 功率 e 高频 (HF) 功率而不是 气体流动 或者 温度这表明它们之间的互动可能是重要因素。如果一位领域专家知道这一点…… 低频功率 e 高频功率 它们经常在这种类型的过程中进行互动，但它们之间不应该有互动。 气体流动 e 温度 在本次规划所采用的层面上，这将为上述结论提供额外的支持。
结论
初步规划的目标是从少量运行结果中筛选出四个候选因子，并调整模型以找出最重要的因子。您可以利用这些结果指导后续的实验阶段。例如，您可以简化模型。 去除那些看起来无关紧要的主要效应和交互作用（根据正态分布图和对该地区的知识），进行设计以确认这些结果，然后使用响应面方法。 找到各因素的最佳设置，以优化响应。
如果结果不如本例清晰，您可以补充额外的实验数据。一种方法是运行全因子设计中未包含在原始部分因子设计中的处理。或者，您可以选择进行针对性实验，以便估计您感兴趣的特定交互作用，而不是完成全因子设计的所有实验。
这种方法是先制定计划。部分因子设计，或任何其他类型的因子选择设计，然后进行额外的实验，通常比从一开始就进行完全因子设计更有效率，也更能利用资源。
普拉克特-伯曼规划
什么是 Plackett-Burman 计划？
Plackett-Burman 设计是一种计划实验，用于在相对较少的实验次数内评估大量因素的情况。这类设计属于部分因子设计，其重点在于识别哪些因素最为重要，并假设因素间的交互作用可以忽略不计。与其他因子选择设计一样，它们在早期阶段尤其有用。
何时应该使用普拉克特-伯曼计划？
当处理大量因子且主要目的是估计其主效应时，Plackett-Burman 设计是一个不错的选择。此外，它们在设计规模方面也提供了更多选择。标准部分因子设计的运行次数是 2 的幂（例如，4、8、16、32、64……）。而在 Plackett-Burman 设计中，运行次数是 4 的倍数（例如，4、8、12、16、20、24……），因此这些设计的规模增长速度较慢。然而，现代因子选择方法，例如算法因子选择设计或因子选择设计，提供了更大的灵活性。它们在所需运行次数和可估算的效果方面提供了更大的灵活性。
为什么（以及如何）使用 Plackett-Burman 计划？
与标准部分因子设计相比，Plackett-Burman 设计能够更好地控制因子选择的设计规模。在标准部分因子设计中，试验次数只能选择 16 次或 32 次，没有中间值。而在 Plackett-Burman 设计中，除了 16 次试验和 32 次试验之外，还有三种额外的试验次数选择：20 次、24 次或 28 次。Plackett-Burman 设计与标准部分因子设计之间还存在其他重要区别。
解决： 任何部分因子设计的分辨率都表明了将主效应与交互作用分离的程度。换句话说，它衡量的是…… 困惑 在设计中，标准部分因子设计的分辨率为 III、IV 或 V。分辨率越高，混淆因素越少。Plackett-Burman 设计几乎总是 III 级分辨率，这意味着您可以独立估计主效应，因为它们彼此之间不存在混淆。然而，在这些设计中，主效应会与双因子交互作用部分混淆。Plackett-Burman 设计的结果在您可以假设交互作用效应较弱或可忽略不计的情况下最为有用。
困惑： 如前所述，在Plackett-Burman设计中，效应的混淆是部分性的，而非完全性的（如标准部分因子设计中的情况）。这种部分混淆会导致估计值的方差增加，但仍然可以发现显著的效应。由于因子选择设计的主要目标之一是从大量候选因子中识别出重要因子，因此通常会发现其中许多因子并不相关。当能够从模型中移除不相关因子时，这些设计表现出良好的预测特性。通常简化为完全析因设计，从而消除大部分（或在某些情况下，全部）混杂因素。
在某些情况下，制定计划是值得考虑的。因子选择的决定性因素而不是普拉克特-伯曼方案。您可以在这里了解更多关于两者比较的信息。
12 次运行的 10 因子 Plackett-Burman 计划示例。
假设一家聚合物材料制造商的工程团队想要确定影响新材料配方硬度的因素。他们选择了十个候选因素，每个因素都将在两个层面上进行研究。
2 的阶乘的完整阶乘k 对于两水平的 10 个因子，需要 210 或者进行 1024 次试验——显然这是不可行的选择。由于工程师们认为只有少数几个因素是决定材料硬度的主要因素，因此他们决定采用因子选择设计。可以采用标准的部分因子设计。一些可能的设计方案如下：
在8次运行中采用1/128的比例进行规划并非理想选择，因为它仅属于II级分辨率方案。这意味着无法独立估计所有10个主效应，因为某些主效应会与其他主效应完全混淆。在16次运行中采用1/64的比例进行规划属于III级分辨率方案。在这种情况下，10个主效应可以彼此独立地估计。所有双因素交互作用都与其他双因素交互作用混淆，因此无法独立估计。在32次运行中采用1/32的比例进行规划属于IV级分辨率方案，这意味着主效应可以彼此独立地估计，并且与任何双因素交互作用无关。然而，某些双因素交互作用之间仍然存在混淆。
1/64分辨率的三级部分因子设计可能是一个不错的选择。然而，考虑到设计成本以及其他限制因素，工程师们更倾向于设计最多只需12次运行即可完成的方案。标准的三级部分因子设计需要16次运行——比实验人员愿意进行的次数多出4次。
然而，有一种Plackett-Burman III分辨率设计，适用于10个因素，仅需12次运行。该设计及其结果…… 硬度如下表所示。
在分析数据之前，让我们先来看一下这种规划的一些重要特性，这些特性需要牢记在心。
如前所述，Plackett-Burman 设计中的 10 个主效应可以彼此独立地估计。也就是说，它们之间不存在混淆因素。然而，每个主效应不仅与某些双因素交互作用存在部分混淆，而且与许多其他双因素交互作用也存在部分混淆。此外，这些双因素交互作用也与其他一些双因素交互作用存在部分混淆。Plackett-Burman 设计用于规划硬度例如，主要效应 树脂 它呈现了两种不同因素的 36 种交互作用以及两种因素的交互作用的部分混淆。 树脂*单体 它与其他 28 个双因素交互作用存在部分混淆！
显然，即使运用专业知识，如果没有相对较多的额外设计，也很难解决这一混淆因素。因此，在分析普拉克特-伯曼设计时，应假定只有主效应可能重要，而交互作用则无关紧要。
10 个因素，模型仅包含主要效应，12 次试验设计具有获得实验误差估计所需的试验次数，从而可以计算 p 值。 评估效应的统计显著性。每个主要效应的估计值及其各自的检验统计量和 值 p（用 概率>|t| 主要效应如下所示。请注意，每个主要效应都受到多个双因素交互作用的部分混淆。在得出主要效应显著的结论时，您假设这些混淆的交互作用的影响可以忽略不计。
在因子选择阶段，一种常见的策略是使用较高的显著性水平（α）来确定哪些项是重要的，以避免遗漏真正影响响应变量的因子。例如，在分析因子选择数据之前，您可以选择 0.10 的显著性水平。在后续设计中，使用因子选择研究中确定的重要因子时，您可能会使用较低的显著性水平（例如 0.05）来评估模型项的显著性。
在显著性水平为 0.10 的情况下，有三个因素显得较为重要： 增塑剂, 加载 e 冷却速率 . 加载中 影响最大，标准化估计值为 7.25，其次是 增塑剂 （2.75）和 按冷却速率 （1,75）。
结论
在因子选择规划中，其目的并非构建一个能够完整描述因子与响应变量之间关系的模型。相反，目标是找到所有候选因子的一个子集，以指导下一轮实验。基于上述示例的结果，合乎逻辑的下一步是设计一个仅包含以下因子的方案： 加载, 增塑剂 e 冷却速率 为了估计主要效应及其可能的交互作用，如果初始 Plackett-Burman 设计的结果不够明确，可以通过增加运行次数来改进原始设计，以消除部分或全部混杂因素。在确定重要因素及其潜在交互作用后，您可以进行下一步，即设计方案以找到能够优化响应的因素组合。
