- 响应面法
- 算法响应面设计
- 中央综合计划
- 博克斯-贝恩肯规划
什么是响应曲面法？
响应曲面法 (RSM) 用于开发、改进或优化产品或工艺。该方法包含一系列不同的统计、图形和数学技术，用于探索和模拟实验区域内响应的形状。
何时应使用响应面法？
使用因子选择规划来识别决定产品质量或流程结果的关键因素。确定关键因素后，响应曲面法 (RSM) 可以帮助您确定这些因素的设置，从而优化响应。具体来说，如果您有以下需求，RSM 可以提供帮助：
- 回答问题时要记住一个总体目标（例如，越高越好；越低越好；或者在一定范围内越好）。
- 为您的目标设定一个具体目标（例如，响应应至少达到 90%，小于 5 mg/L，或 20 ± 0.1 mm）。
- 答案不止一个，每个答案都有其特定目的。
此外，当可以确定实验区域内存在最优解时，响应曲面法最为有用。
为什么要使用响应面法？
假设您已使用因子选择规划缩小了流程中可能的重要因子范围。现在，您希望找到能够优化一个或多个响应的因子配置，但您需要比典型因子选择规划所能获得的更详细的信息。
或许您已经知道哪些因素很重要，但怀疑流程可以改进以更好地实现目标。无论哪种情况，了解响应形状（即响应曲面）都将有助于您确定根据预测能够产生理想响应的因子组合，无论该理想响应是已定义的（最大值、最小值还是目标值）。
我们暂且假设所有考虑的因素都是连续的。
对两个水平的实验因素进行测试，即可获得估计线性效应所需的数据。对于单因素设计，响应曲面建模为一条直线；对于双因素设计，响应曲面建模为一个平面；对于三个或更多因素设计，响应曲面建模为一个超平面。
然而，因素对响应的影响通常并非线性关系。在因素的低水平和高水平之间，响应值可能存在峰值（最大值）或谷值（最小值）。换句话说，响应曲面可能呈现曲率。在这种情况下，使用假设线性响应的设计方法很难甚至不可能找到最优条件。为了估计响应曲面的曲率，需要在模型中添加新的因素，这需要更多的数据点。例如，为了估计…… 影响 二次函数 （即 X²） 连续因子应该在三个水平上进行测试，而不仅仅是两个水平。响应曲面法（RSM）设计中，每个连续因子都包含第三个水平（有时甚至更多） 。
这些设计既可以作为独立设计执行，也可以基于现有数据来估计二次效应，并指定先前设计中未包含的因子水平和处理组合。假设您已执行因子选择设计以确定哪些因子是重要的。您已经收集了关于系统或过程的宝贵数据，但通常没有估计曲率所需的数据。通过后续设计（包含连续因子的第三个水平）来扩充现有数据，可以有效地对响应曲面进行建模。
找到能够优化一个或多个响应的因子配置可能极具挑战性。在大多数情况下，响应取决于多个因子，这使得响应曲面的形状呈现多维性，并且如果因子之间存在相互作用，则响应曲面的形状可能更加复杂。响应曲面法使我们能够探索该曲面，从而在实验区域内找到实现响应目标的最佳因子配置。
响应曲面法：一个例子
假设我们有兴趣通过确定哪些因素组合能产生最大效益来优化某个流程…… 表现 最小的 杂质 我们被告知，两种响应的目标同等重要。基于以往的知识，我们知道有三个因素至关重要，但我们希望通过找到最符合我们目标的操作条件来改进流程。在这个例子中，我们并非像上文所述那样改进之前的项目，而是创建一个新的响应面管理（RSM）项目。
答案和相关因素如下：
- 表现： 响应的目标是最大化（越高越好）。
- 杂质： 应对措施的目标是尽量减少（越小越好）。
- pH值： 该系数范围为 5 至 8。
- 温度： 该系数范围为 15°C 至 45°C。
- 供应商： 供应商分为三个级别（要素级别）：优质、快捷、廉价。
对于这两个连续因子， pH e 温度我们想确定在各因素的高低水平之间，响应是否存在峰值或谷值。我们感兴趣的范围是： o pH 介于 5 到 8 之间。要了解其影响， pH 在 收入 e 净化 它并非线性发展；我们测试了介于 5 和 8 之间的第三个中间级别（6.5）。我们对……也做了同样的测试。 温度， 角度分别为 15°、30° 和 45°。这三个角度使我们能够估计二次效应。 （曲率）适用于连续因子。分类因子的二次效应无法估计。我们还对是否存在交互作用感兴趣。在三个因素中，采用包含 18 次试验的响应面法 (RSM) 设计，可以估计主效应、两个因素之间的交互作用以及二次效应。
计划阶段结束后，将反馈意见记录在数据表中。
使用多元线性回归。 对响应进行建模。两个响应的完整模型均包含以下项：
- 截距
- 三大主要影响（ pH, 温度 e 供应商 )
- 两个因素的三种相互作用
- 两个二次效应（针对连续因子）
在调整了各个模型之后 表现 e 杂质您可以使用变量选择。 从模型中移除无意义的项。下表列出了每个响应变量在简化模型中保留的项。
使用： 模型中斜体字的项并不显著，但它们仍然保留在模型中，因为它们与高阶项有关。
我们发现两者 o pH 多少 温度以及它的一个或多个高阶效应，对两种反应都很重要。然而， 供应商 （及其与……的相互作用） o pH ）仅对……重要 不纯 .
可以通过三维曲面图来可视化连续因子的响应曲面形状。在这些图中，您可以观察到在实验区域的哪个部分可以获得较高的值。 表现 以及较低的值 杂质 .
收成
杂质
您还可以通过观察曲面截面或轮廓来可视化响应曲面。在这里，您可以看到单个因素水平的变化如何影响预测的响应值（如左图所示）。您还可以看到交互作用中涉及的因素的轮廓如何随其他因素水平的变化而变化。
该应对措施的目标是最大限度地 收入 并尽量减少 作为 Impurezas 在实验区域内，可以找到一组因子设置组合，以平衡两个目标之间的权衡。在本例中，设置 pH 至 6.85，a 温度 选择 34.25° 并使用快速方法 来自供应商 旨在最大化 收入 占 94.12%，并最小化 作为 Impurezas 0.89%。
可能还有其他因素组合会产生类似的结果。您也可能找到一些会产生类似结果的设置…… 收入 例如，更大，但代价是最小化。 杂质反之亦然。如果优化其中一个响应比另一个更重要，你或许愿意接受这种权衡。
算法响应面设计
什么是响应面法（RSM）的算法规划？
响应曲面法 (RSM) 的算法设计方法采用 I 最优设计，其统计特性与响应曲面法中用于响应优化的经典设计（例如中心复合设计和 Box-Behnken 设计）类似。算法设计旨在最大化多个优化准则之一，包括 I 最优性。I 最优性旨在最小化预测方差，适用于二阶模型（具有更多二次主效应和双向交互作用），在这些模型中，准确的预测在响应优化中至关重要。
何时应该对响应曲面模型（RSM）使用算法规划？
当目标是优化时，可以使用响应曲面法（RSM）的算法规划。当您需要的设计灵活性超出传统设计所能提供的范围时，算法规划尤其有用。例如，当设计空间中存在多种类型的因素或约束时，使用算法规划进行RSM设计将非常有效。
RSM的算法规划可能包括：
- 类别因素的类型。
- 不可行因素组合。
- 封锁。
- 非标准型号。
- 受限随机化。
- 为该项目量身定制的预算。
RSM算法规划简介
响应曲面法 (RSM) 的算法设计方法会根据问题调整设计，而不是试图将问题生硬地套入预先设定的设计中。实验设计 (DOE) 软件，例如 JMP，就是这种方法的典型例子。他们使用一种算法来创建一个符合其规范的响应曲面法（RSM）项目，以最大化多个优化准则之一。RSM 使用的优化准则是 I 最优性准则，该准则优先考虑预测的准确性。
让我们分析两种常见情况，说明算法设计如何为响应曲面法 (RSM) 提供灵活性。在 RSM 设计中，很多情况下我们也关注分类因子。例如，假设除了三个连续因子之外，我们还想了解三个供应商如何影响我们感兴趣的响应。传统上，我们会为每个供应商运行单独的 RSM 设计，因为经典的 RSM 设计无法包含分类因子。
对于三个连续因子，我们可以运行一个包含 15 次运行的 Box-Behnken 设计。如果对三个供应商分别运行 15 次 Box-Behnken 设计，则总共需要 45 次运行，这很快就会超出我们的运行预算。然而，使用算法设计，我们可以将供应商作为一个因子，与三个连续因子一起纳入模型，并运行一个包含 24 次运行的单一设计来了解其对响应的影响。这 24 次运行基于启发式方法，旨在为所提出的二阶模型的各项创建一个平衡设计，并额外进行一些运行以估计误差项。
响应曲面法 (RSM) 的算法规划能够提供灵活性的另一种情况是，当我们预先知道某些因子水平组合由于安全等原因不可行时。例如，假设我们正在优化一种新的披萨制作工艺。我们知道某些条件下无法制作出合格的披萨。长时间高温烘烤会导致披萨烤焦，而短时间低温烘烤则会导致披萨未烤熟。在这个例子中，设计区域形状不规则，并且存在诸多约束条件。
响应曲面法的算法规划赋予我们应对这些设计挑战以及其他情况（例如项目停滞和定制化的执行预算）所需的灵活性。当符合项目规范时，算法规划可以生成响应曲面法中使用的经典设计。
RSM算法规划示例。
让我们更详细地探讨一下RSM项目概述中提出的规划。. 规划的目标是通过找到能够产生最大结果的操作条件来改进流程。 表现 最小的 杂质 最大化 收入 它与尽量减少 杂质 为了制定算法方案，我们首先选择响应变量和影响因素。
答案和相关因素如下：
- 表现： 响应的目标是最大化（越高越好）。
- 杂质： 应对措施的目标是尽量减少（越小越好）。
- pH值： 该系数范围为 5 至 8。
- 温度： 该系数范围为 15°C 至 45°C。
- 供应商： 供应商分为三个级别（要素级别）：优质、快捷、廉价。
关于采用哪些配置的运行决策 pH e 温度 使用，以及 供应商， 它们基于这些因素的预测能力 收入 e 作为不纯洁 技术知识对于确定各因素的精确取值范围也至关重要。这一点至关重要： 收入 e 作为不纯洁 它们能最大限度地减少误差，从而确保运营决策的准确性。I-最优优化准则非常理想，因为它能最大限度地降低预测的方差。
接下来，我们需要提出一个初始统计模型。该统计模型与本次规划的优化目标直接相关。我们希望提出一个包含二次项和交互项的二阶模型。这提供了预测和优化的灵活性 收入 和 杂质 连续因子的二次项使我们能够确定曲线中是否存在峰值或谷值…… 表现 或者 关于 Impureza 高低水平之间的 pH e 温度 分类因子的二次效应无法估计。当初始提出的统计模型中指定了二次效应时，设计中会添加第三个水平，即中点…… pH e 温度 在规划方面， o pH 它将在 5、6.5 和 8 中进行测试，而 温度 将在 15°C、30°C 和 45°C 下进行测试。
初始统计模型中包含的模型项如下图所示。
基于我们纳入的模型项，生成一个最优方案。如果我们做出其他选择，例如对规划区域施加限制，这些选择会影响生成的方案。在本例中，我们没有任何可能影响方案的限制或其他选择。该方案包括估计所提出的统计模型所需的运行次数，以及用于估计模型误差的五到六次额外运行。对于我们的示例，我们提出了一个包含 18 次运行的响应面法 (RSM)方案，如下所示。
如下图所示，该最优因子可使预测的平均方差最小化。您会注意到，在大部分设计空间内，预测方差保持较低水平，而在设计空间边界附近，方差则有所增加。下图的横轴表示因子的幅度，纵轴表示方差。
价值观 表现 e 杂质 计划执行完毕后，数据将按照计划的执行顺序记录在数据表中。
为了分析实验数据，我们将采用多元线性回归。 调整最初指定的“完整”统计模型 表现 e 杂质 针对每项响应，都会量身定制一个模型。 表现 e 杂质 模板条款与我们在项目设置期间指定的条款相同，包括以下条款：
对于这两个模型，均采用变量选择法去除无效效应。有效效应是指对响应变量有显著影响的统计项。观察两个包含有效效应的模型的效应汇总，我们发现曲率是其中一个模型的有效效应…… 温度 e pH 包含二次项。我们还注意到，它们之间存在活跃的相互作用。 pH e 供应商以及两者之间 pH e 温度.
让我们分析一下简化后的模型。 表现 e 杂质 通过观察表面的横截面或轮廓。在我们的示例中，目标是最大化 收入 与尽量减少 杂质 为了了解权衡取舍并找到平衡两个目标之间权衡取舍的因素设置组合，我们将概况特征结合起来并进行优化。
在这个例子中，我们确定了定义 pH 对于 7.18， 温度 设置为 33.71 并使用“快速”选项 来自供应商 旨在最大化 收入 占 96.06%，并最小化 作为不纯洁 为0.82%。但值得注意的是，可能还有其他因素组合会产生类似的结果。
中央综合计划
什么是中央综合计划？
中心复合设计（CCD）是一种经典的响应面设计。它融合了部分因子设计中的点。 在分辨率为 V 或更高的设计中，使用中心点和轴点（星形点）。在分辨率为 V 的设计中，可以估计主效应和所有双因素交互作用。这些点构成一个立方体加一个星形，并且到中心的距离相等。
我应该何时使用规划中心化合物？
中心复合设计用于响应面设计，其目标是预测和优化。它们尤其适用于序贯试验，因为它们包含来自双水平因子试验或部分因子试验的设计点。初始设计可以通过添加中心点和轴点来扩展，从而获得中心复合设计。中心复合设计仅支持连续因子。
中心复合设计简介
中心复合设计是一种经典的响应曲面法设计，因其在序贯实验中的实用性而闻名。它只包含连续因子，每个因子测试五个水平：两个轴向水平、低水平、中水平和高水平，或者 -α、-1、0、+1、+α。
中心复合设计包括来自最小分辨率部分因子设计 V 的点、中心点和轴点。该设计的三个部分允许估计主效应、交互作用和二次项：
- 因子点（编码为 -1、+1）：允许估计主效应和二阶交互作用。
- 中心点（编码为 0）：允许您检测曲率、提高精度并测试是否不拟合。
- 轴点（编码为 –α，+α）：允许估计二次项。
在下图所示的例子中，阶乘点用黑色方块表示，中心点用蓝色圆圈表示，轴点用橙色菱形表示。
中心点代表所有因素值取平均值时的时刻。它们用于判断是否存在曲率（二次效应），提高精度，并进行失拟检验。如果失拟检验表明一阶模型不适用，则可使用轴点补充规划，以获得中心复合规划。
轴向点（也称星形点）定义了规划属性，例如旋转性和正交性，并用于估计二次效应。它们位于距规划中心 ±α 的距离处。每个轴向点对于一个因子为 ±α，对于所有其他因子为 0。轴向值可以位于规划中的不同位置，因此可以构建不同类型的中心复合规划。
- 面中心点：轴向值位于立方体（阶乘空间）各个面的中心。这些中心中心点也称为中心化中心点。 别这么做 或者 以脸部为中心。
- 外接：轴向值位于立方体（阶乘空间）之外。
- 已订阅：轴向值位于立方体（阶乘空间）内。
中心复合设计可以通过扩展设计进行顺序运行，这是其优势之一。扩展设计是指在现有实验设计中添加运行次数。首先，从析因设计或部分析因设计中收集数据。然后，通过扩展设计添加中心点来检验模型是否拟合不足。最后，如果在一阶模型中发现拟合不足，则可以通过添加轴点来扩展设计，从而获得中心复合设计。
对于相应因子数，三因子和五因子 I-最优设计将产生与中心复合设计相同数量的独特试验。当因子类型不止连续因子（例如分类因子）、设计空间存在约束、采用非标准模型或自定义运行预算时，请考虑算法设计。 由于其更大的灵活性。
中央综合计划的一个例子
假设我们想要找到因子的最佳配置以最大化 密封强度 面包包装。根据已有知识，我们知道这三个连续因素—— % 聚乙烯, 冷却温度 e 密封温度 – 这些都很重要。我们决定采用中心复合设计，利用二阶模型来了解响应曲面的形状。首先，我们定义了响应目标和因子设置。
答案及相关因素如下：
- 密封强度： 响应的目标是最大化（越高越好）。
- 聚乙烯含量： 该系数范围为 85 至 95（中值为 90）。
- 冷却温度： 系数范围为 120° 至 140°（中点为 130°）。
- 密封温度： 温度范围为 220° 至 240°（中点为 230°）。
在中心复合设计中，每个连续因子均以低、中、高三个值进行测试，以构建包含二次项和交互项的二阶模型。例如： 聚乙烯的百分比 分别在 85、90 和 95 处进行测试。对于三个连续因子，我们选择了一个具有 20 次运行的均匀精度中心复合设计 (CCD)。其中，因子点运行 8 次，面轴向点运行 6 次，中心点运行 6 次。均匀精度是指中心点的数量经过选择，使得设计中心和角点的预测方差大致相同。下方是随机设计表，其中一列显示了设计点的分布模式。
为了便于教学，下表按字母顺序排列，以便更直观地展示三个不同的设计点。此外，设计点也以图示方式呈现。在表格和图中，因子点用黑色方块表示，中心点用蓝色圆圈表示，轴点用橙色菱形表示。
价值观 密封强度 计划执行完毕后，数据按照原始随机化项目的执行顺序记录在数据表中，以消除与任何潜在未知或隐藏变量的相关性。
为了分析实验数据，我们采用了多元线性回归。 调整最初指定的“完整”统计模型 密封强度 该二阶模型的术语包括以下几项：
- 截距。
- 三大主要影响（ % 聚乙烯, 冷却温度 e 密封温度 ）。
- 两个因素的三种相互作用。
- 三个二次效应。
通过分析模型效应及其主动效应的汇总结果，我们发现曲率是一个主动效应。 密封温度 包含二次项。我们保留模型中的所有项进行优化，并检查是否存在最大值。 密封温度如果它存在的话。
我们可以分析该模型 密封强度 通过表面横截面或轮廓。目前，在各因子各自的中点处定义，我们预测 密封强度 满分 10.04 分。我们希望优化找到一组因子设置组合，以产生最高的得分。 密封强度 .
在这个例子中，我们看到定义 聚乙烯的百分比 至 92.61 冷却温度 至 131.75 和 密封温度 对于 226.22，预测最大值为 10.35。 密封强度 这些设置使得期望值为 0.67，表明我们已实现了最大化目标的约 67%…… 密封强度 可能还有其他因素组合会产生类似的结果。
博克斯-贝恩肯规划
什么是博克斯-贝恩肯计划？
Box-Behnken 设计是一种经典的响应面设计，它由析因设计中的部分点构建而成，每个因子均定义为三个水平。Box-Behnken 设计中的点位于超立方体的边界上，且到中心的距离相等。这种设计避免了极端点，因此不能从用于序贯试验的析因设计中构建。
何时应该使用 Box-Behnken 规划方法？
Box-Behnken 设计用于响应面设计，其主要目标是预测和优化。当需要避免因子组合的极端情况时，例如避免每个连续因子都处于高水平时，Box-Behnken 设计就显得尤为重要。有时，因子组合的极端情况会带来危险、物理上不可能或成本过高。Box-Behnken 设计仅包含连续因子。
Box-Behnken规划简介。
Box-Behnken 设计是一种经典的响应面模型设计，其特点是避免极端点。它仅包含连续因子，且每个因子在三个水平上进行测试：低、中、高，或用编码单位表示为 -1、0、+1。
Box-Behnken 平面图具有两个显著特征：它们是旋转的（或近似旋转的）且呈球形。旋转平面图是指当平面图绕其中心旋转时，预测方差保持不变。Box-Behnken 平面图也是球形的，平面图上的所有点到中心的距离都相等——这与长方体平面图不同，长方体的极端点并非规划点。当需要避免极端点以降低成本或产生不良副作用时，Box-Behnken 平面图可能具有优势。然而，由于长方体顶点处缺少规划点，导致顶点附近（即没有数据的地方）的预测方差较高。下图是三个因素的规划点三维散点图。请注意，空间的角点处没有规划点。
当除了连续因素之外还有多种类型的因素时（例如分类因素、设计空间约束、非标准模型或定制的执行预算），请考虑算法规划。 由于其更大的灵活性。
Box-Behnken 方案示例
假设我们想要优化网球的弹性，其测量值为 拉伸（弹性）对于标准化的目标值，球的弹性会根据以下因素而变化： 二氧化硅, 硫 e 硅烷 用于制造过程中。计划的目标是通过优化生产要素的配置来改进制造过程。 拉紧 450。 O 型伸展 为了生产出合格的产品，该值既不能低于 350，也不能高于 550。我们认为有必要采用二阶模型，因此选择 Box-Behnken 设计来防止各因素同时取极端值。为了创建 Box-Behnken 设计，我们首先定义了期望响应和各因素的取值范围。
答案及相关因素如下：
- 目的： 目标响应值达到 450，下限为 350，上限为 550。
- 二氧化硅： 该因子范围为 0.7 至 1.7（中值为 1.2）。
- 硫： 该因子范围为 1.8 至 2.8（中点为 2.3）。
- 西拉诺： 该系数范围为 40 至 60（中点为 50）。
在 Box-Behnken 设计中，每个连续因子均以低、中、高三个值进行测试，以生成具有二次项和交互项的二阶模型。例如， 二氧化硅 测试值分别为 0.7、1.2 和 1.7。对于三个连续因子，我们选择 Box-Behnken 设计，进行 15 次试验，并设置三个中心点。其中 12 次试验用于检验每对因子所有可能的低值和高值组合，而第三个因子则处于中间水平，并设置了三个中心点。下方是随机设计表，其中一列显示了设计点的分布模式。
为了便于教学，下表按模式列排序。请注意，每个执行结果都包含一个处于中间值的因子，而另外两个因子则处于高值或低值。所有执行结果均未处于设计空间的极端值，即因子组合为极端值（例如+++、---或+--）的情况。这是Box-Behnken设计的特征。
价值观 伸展运动 实验设计执行完毕后，数据按照原始随机实验设计的执行顺序记录在数据表中。
为了分析实验数据，我们将采用多元线性回归。 调整最初指定的“完整”统计模型 拉紧 对于二阶模型，模型术语包括以下术语：
- 截距。
- 三大主要影响（ 二氧化硅, 硫 e 西拉诺 ）。
- 两个因素的三种相互作用。
- 三个二次效应。
通过变量选择，从模型中移除无效效应。有效效应是指对响应变量有显著影响的统计项。观察包含有效效应的模型的效应汇总，我们发现曲率是其中一个有效效应…… 硫 e 二氧化硅 与二次项。此外，它们之间还存在积极的相互作用。 二氧化硅 e 硫以及两者之间 硫 e 西拉诺 .
让我们分析一下简化后的模型。 拉紧 下方观察表面横截面或轮廓，我们可以看到明显的二次效应…… 硫 e 二氧化硅 采用曲面轮廓。我们可以看到 哦，西拉努斯， 如果没有主动二次效应，则关系呈线性。目前，在各因子定义于各自中点的情况下，我们预测…… 拉紧 396.15。我们希望优化找到一组因子设置组合，以产生 拉紧 450。
在这个例子中，定义 二氧化硅 至 1.06， 硫 至 1.91 和 或西拉诺 43.82 预测目标值为 拉伸 假设是 450。可能还有其他因素组合也能产生类似的结果。
