- 반응 표면 방법론
- 알고리즘적 반응 표면 설계
- 중앙 복합 계획
- 박스-벤켄 플래닝
반응 표면 분석법이란 무엇인가요?
반응 표면 분석법(RSM)은 제품이나 공정을 개발, 개선 또는 최적화하는 데 사용됩니다. 이 방법론은 실험 영역 전체에 걸쳐 반응의 형태를 탐색하고 모델링하는 데 사용되는 다양한 통계적, 그래프적, 수학적 기법을 포함합니다.
반응 표면 분석법은 언제 사용해야 할까요?
요인 선택 계획을 활용하여 제품 품질 또는 공정 결과에 영향을 미치는 중요한 요인을 파악하십시오. 중요한 요인을 파악한 후에는 반응 표면 분석법(RSM)을 통해 이러한 요인의 설정을 최적화하여 결과를 개선할 수 있습니다. 특히 다음과 같은 경우에 RSM이 도움이 될 수 있습니다.
- 답변할 때 전반적인 목표를 염두에 두세요(예: 높을수록 좋음, 낮을수록 좋음, 또는 특정 범위 내에 있으면 좋음).
- 목표에 대한 구체적인 목표치를 설정하십시오(예: 반응률은 최소 90%, 5mg/L 미만 또는 20 ± 0.1mm).
- 정답은 하나 이상이며, 각각 특정한 목적을 가지고 있습니다.
또한, RSM은 실험 영역 내에 최적점이 존재한다는 것이 확실할 때 가장 유용합니다.
반응 표면 분석법을 사용하는 이유는 무엇일까요?
프로세스에서 중요한 요인 목록을 좁히기 위해 요인 선택 계획을 사용했다고 가정해 보겠습니다. 이제 하나 이상의 반응을 최적화하는 요인 구성을 찾고 싶지만, 일반적인 요인 선택 계획으로는 얻을 수 없는 더 자세한 정보가 필요합니다.
혹은 이미 어떤 요인이 중요한지 알고 있지만, 목표 달성을 위해 프로세스를 개선할 수 있을 거라고 생각할 수도 있습니다. 어느 경우든, 반응의 형태, 즉 반응 표면을 이해하면 예측에 따라 이상적인 반응(최대값, 최소값 또는 목표값)을 만들어낼 요인 조합을 파악하는 데 도움이 됩니다.
우선 고려 중인 모든 요소가 연속적이라고 가정해 보겠습니다.
두 가지 수준으로 검증된 실험 요인은 선형 효과를 추정하는 데 필요한 데이터를 제공합니다. 단일 요인 설계의 경우 반응 표면은 직선으로 모델링되고, 두 요인의 경우 평면으로 모델링되며, 세 개 이상의 요인의 경우 초평면으로 모델링됩니다.
하지만 어떤 요인이 반응에 미치는 영향은 종종 선형적이지 않습니다. 요인의 낮은 수준과 높은 수준 사이에서 반응에 최고점(최대값)이나 최저점(최소값)이 나타날 수 있습니다. 즉, 반응 표면에서 곡률을 관찰할 수 있습니다. 이러한 경우, 선형 반응을 가정한 설계를 사용해서는 최적 조건을 찾기가 어렵거나 심지어 불가능합니다. 반응의 곡률을 추정하려면 모델에 새로운 효과를 추가해야 하며, 이를 위해서는 더 많은 데이터 포인트가 필요합니다. 예를 들어, 추정하려면 효과 이차식 (즉, X²) 연속형 변수는 두 수준이 아니라 세 수준에서 검정해야 합니다. RSM 설계에는 각 연속형 변수에 대해 세 번째 수준(또는 그 이상)이 포함됩니다 .
이러한 설계는 독립적으로 수행할 수도 있지만, 기존 데이터를 활용하여 이전 설계에 포함되지 않았던 요인 수준과 처리 조합을 지정함으로써 이차 효과를 추정하는 데에도 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 요인이 중요한지 알아내기 위해 요인 선택 설계를 수행했다고 가정해 보겠습니다. 시스템이나 공정에 대한 유용한 데이터를 이미 수집했지만, 일반적으로 곡률을 추정하는 데 필요한 데이터는 없을 것입니다. 이때 연속형 요인에 대한 세 번째 수준을 포함하는 후속 설계를 통해 기존 데이터를 보강하는 것이 반응 표면을 모델링하는 효율적인 방법이 될 수 있습니다.
하나 이상의 반응을 최적화하는 요인 조합을 찾는 것은 어려울 수 있습니다. 대부분의 경우 반응은 여러 요인에 따라 달라지므로, 요인들이 서로 상호작용할 경우 반응 표면의 형태는 다차원적이고 복잡해질 수 있습니다. 반응 표면 분석법을 사용하면 이러한 표면을 탐색하여 실험 영역 내에서 반응 목표를 달성하기 위한 최적의 요인 조합을 찾을 수 있습니다.
반응 표면 분석법: 예시
우리가 어떤 요소 조합이 가장 큰 효과를 내는지 파악하여 프로세스를 최적화하는 데 관심이 있다고 가정해 봅시다. 성능 그리고 가장 작은 불결 우리는 두 응답 모두 목표가 동등하게 중요하다는 정보를 받았습니다. 기존 지식을 바탕으로 세 가지 요소가 중요하다는 것을 알고 있지만, 목표 달성에 가장 적합한 운영 조건을 찾아 프로세스를 개선하고자 합니다. 이 예시에서는 앞서 설명한 것처럼 기존 프로젝트를 개선하는 것이 아니라 새로운 RSM 프로젝트를 생성하는 것입니다.
답변과 관련 요인은 다음과 같습니다.
- 성능: 응답의 목표는 최대화하는 것입니다(높을수록 좋습니다).
- 불결: 이 답변의 목표는 최소화하는 것입니다(작을수록 좋습니다).
- pH: 인수의 범위는 5에서 8까지입니다.
- 온도: 해당 온도 범위는 섭씨 15도에서 45도까지입니다.
- 공급업체: 공급업체 수준(요소 수준)은 좋은 품질, 빠른 속도, 저렴한 품질의 세 가지로 나뉩니다.
연속형 변수 두 가지 모두에 대해, pH e 온도우리는 요인들의 높은 수준과 낮은 수준 사이에서 반응에 최고점이나 최저점이 있는지 여부를 확인하고자 합니다. 관심 범위는 다음과 같습니다. pH 5에서 8 사이입니다. 그 효과를 이해하기 위해 pH ~에 소득 e 정화하다 선형적인 관계가 아닙니다. 5와 8 사이에 세 번째 중간 단계(6.5)를 테스트했습니다. 다른 경우에도 마찬가지입니다. 온도, 15°, 30°, 45°의 세 가지 각도 수준을 사용했습니다. 이 세 가지 수준을 통해 이차 효과를 추정할 수 있습니다. 연속형 변수에 대해서는 (곡률)을 고려합니다. 범주형 변수에 대해서는 이차 효과를 추정할 수 없습니다. 또한 상호작용이 있는지 여부에도 관심이 있습니다.세 가지 요인 중 어느 것이 더 큰 영향을 미치는지 알아보기 위해, 18회의 실험을 포함하는 반응 표면 분석법(RSM) 설계를 통해 주효과, 두 요인 간의 상호작용, 그리고 이차 효과를 추정할 수 있을 것입니다.
계획 단계가 끝나면 응답 내용이 데이터 표에 기록됩니다.
다중 선형 회귀 분석을 사용하십시오. 반응을 모델링하기 위해. 두 반응 모두에 대한 완전한 모델에는 다음 항들이 포함됩니다.
- 가로채기
- 세 가지 주요 효과( pH, 온도 e 공급업체 )
- 두 가지 요인의 세 가지 상호작용
- 두 개의 이차 효과(연속형 요인의 경우)
개별 모델을 조정한 후 성능 e 불결변수 선택을 사용할 수 있습니다. 모델에서 의미 없는 항들을 제거했습니다. 각 반응에 대해 축소된 모델에 남은 항들은 아래 표에 나와 있습니다.
사용: 모델에서 이탤릭체로 표시된 항들은 통계적으로 유의미하지는 않지만, 상위 항에 관련되어 있기 때문에 모델에 그대로 남아 있습니다.
우리는 둘 다 발견했습니다 pH 얼마나 많이 온도그뿐만 아니라 그 상위 효과 중 하나 이상이 두 반응 모두에 중요했습니다. 그러나 공급업체 (그리고 그것과의 상호작용) pH )는 오직 에만 중요했습니다. 불순한 .
연속 변수에 대한 반응 표면의 형태는 3차원 표면 그래프를 통해 시각화할 수 있습니다. 이 그래프에서 실험 영역의 어느 부분에서 더 높은 값을 얻을 수 있는지 확인할 수 있습니다. 성능 그리고 더 낮은 값 불결 .
수확하다
불결
반응 표면은 단면 또는 프로파일을 관찰함으로써 시각화할 수도 있습니다. 여기서는 개별 요인의 수준 변화가 예측된 반응 값에 어떤 영향을 미치는지(왼쪽 그림 참조) 확인할 수 있습니다. 또한 상호작용에 관련된 요인들의 프로파일이 다른 요인의 수준에 따라 어떻게 변화하는지도 볼 수 있습니다.
이 대응의 목표는 최대화하는 것입니다. 소득 그리고 최소화 불순물처럼 실험 영역 내에서 두 목표 간의 균형을 맞추는 요인 설정 조합을 찾을 수 있습니다. 이 예에서는 다음과 같이 설정합니다. pH 6.85까지, 온도 34.25°의 경우 빠른 방법을 사용하십시오. 공급업체로부터 극대화하는 것을 목표로 합니다 소득 94.12%에서 최소화 불순물처럼 0.89%입니다.
비슷한 결과를 내는 다른 요인 조합이 있을 수 있습니다. 또한 다음과 같은 설정을 찾을 수도 있습니다... 소득 예를 들어 더 큰 규모를 가질 수 있지만, 최소화에는 손해를 보게 됩니다. 불순물또는 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 만약 두 가지 반응 중 하나를 최적화하는 것이 다른 하나보다 더 중요하다면, 이러한 절충안을 기꺼이 받아들일 수도 있습니다.
알고리즘적 반응 표면 설계
반응 표면 분석법(RSM)을 위한 알고리즘적 계획이란 무엇인가요?
반응표면분석(RSM)을 위한 알고리즘적 설계 접근법은 I-최적 설계를 활용하는데, 이는 중심 합성 설계 및 Box-Behnken 설계와 같이 반응 최적화를 위해 반응표면분석에서 사용되는 고전적인 설계와 통계적 특성이 유사합니다. 알고리즘적 설계는 I-최적성을 포함한 여러 최적화 기준 중 하나를 최대화하는 것을 목표로 합니다. I-최적성은 예측 분산을 최소화하는 것을 목표로 하며, 정확한 예측이 반응 최적화에서 우선시되는 2차 모델(더 많은 이차 주효과 및 이원 상호작용)에 사용됩니다.
RSM에서 알고리즘적 계획 수립은 언제 사용해야 할까요?
RSM에 알고리즘적 계획을 적용하면 최적화를 목표로 할 때 유용합니다. 특히 기존 설계 방식보다 유연성이 요구되는 경우에 효과적입니다. 예를 들어, 설계 공간에 다양한 유형의 요소나 제약 조건이 있는 경우 RSM에 알고리즘적 계획을 적용하면 효과적입니다.
RSM에 대한 알고리즘 계획에는 다음이 포함될 수 있습니다.
- 범주형 요인의 유형.
- 실현 불가능한 요인 조합.
- 봉쇄.
- 비표준 모델.
- 제한적 무작위 배정.
- 프로젝트에 맞춘 맞춤형 예산.
RSM을 위한 알고리즘 계획법 소개
반응 표면 분석법(RSM)에서 알고리즘적 설계 접근 방식은 미리 정해진 설계에 문제를 맞추려 하기보다는 문제에 맞게 설계를 조정하는 것입니다. JMP와 같은 실험 설계(DOE) 소프트웨어가 이러한 접근 방식의 예입니다.그들은 알고리즘을 사용하여 여러 최적화 기준 중 하나를 최대화하면서 사양을 충족하는 RSM 프로젝트를 생성합니다. RSM에 사용되는 최적화 기준은 정확한 예측을 우선시하는 I-최적성 기준입니다.
알고리즘 설계가 반응 표면 분석법(RSM)에 유연성을 제공할 수 있는 두 가지 일반적인 상황을 분석해 보겠습니다. 범주형 요인이 RSM 설계에서 중요한 고려 사항이 되는 경우는 많습니다. 예를 들어, 세 가지 연속형 요인 외에도 세 가지 공급업체가 관심 있는 반응에 미치는 영향을 이해하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 기존 RSM 설계에서는 범주형 요인을 포함할 수 없었기 때문에 각 공급업체별로 별도의 RSM 설계를 수행해야 했습니다.
연속형 변수 세 개를 사용하는 경우, Box-Behnken 설계를 15회 실행할 수 있습니다. 세 공급업체 각각에 대해 15회씩 Box-Behnken 설계를 실행하면 총 45회가 소요되어 예산 초과를 빠르게 초래합니다. 하지만 알고리즘 설계를 사용하면 연속형 변수 세 개 외에 공급업체를 하나의 변수로 포함하여 단 24회 실행으로 반응에 미치는 영향을 파악할 수 있습니다. 이 24회 실행은 제안된 2차 모델의 각 항에 대해 균형 잡힌 설계를 만들기 위한 휴리스틱을 기반으로 하며, 오차항을 추정하기 위한 추가 실행도 포함됩니다.
RSM을 이용한 알고리즘적 계획 수립이 유연성을 제공하는 또 다른 상황은 안전상의 이유 등으로 사전에 실현 불가능하다고 알려진 요인 수준의 조합이 존재하는 경우입니다. 예를 들어, 새로운 피자 제조 공정을 최적화한다고 가정해 보겠습니다. 만족스러운 피자를 만들 수 없는 조건들이 있습니다. 고온에서 장시간 구우면 피자가 타버리고, 저온에서 단시간 구우면 덜 익게 됩니다. 이 예에서 설계 영역은 불규칙한 형태를 가지며 여러 제약 조건이 존재합니다.
RSM(반응 표면 방법론)을 위한 알고리즘 기반 계획은 이러한 설계 과제는 물론, 교착 상태 및 맞춤형 실행 예산과 같은 다양한 시나리오에 대처하는 데 필요한 유연성을 제공합니다. 알고리즘 기반 계획은 프로젝트 사양에 가장 적합한 경우 반응 표면 방법론에서 사용되는 기존 설계를 생성할 수 있습니다.
RSM을 위한 알고리즘 계획의 예입니다.
RSM 프로젝트 개요에 제시된 계획을 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.. 계획의 목표는 최상의 결과를 산출하는 운영 조건을 찾아 프로세스를 개선하는 것입니다. 성능 그리고 가장 작은 불결 최대화 소득 이는 최소화하는 것만큼 중요합니다. 불결 알고리즘 기반 계획을 수립하기 위해 먼저 반응과 요인을 선택합니다.
답변과 관련 요인은 다음과 같습니다.
- 성능: 응답의 목표는 최대화하는 것입니다(높을수록 좋습니다).
- 불결: 이 답변의 목표는 최소화하는 것입니다(작을수록 좋습니다).
- pH: 인수의 범위는 5에서 8까지입니다.
- 온도: 해당 온도 범위는 섭씨 15도에서 45도까지입니다.
- 공급업체: 공급업체 수준(요소 수준)은 좋은 품질, 빠른 속도, 저렴한 품질의 세 가지로 나뉩니다.
어떤 구성을 사용할지에 대한 운영상의 결정 pH e 온도 사용, 그리고 그것과 함께 공급업체, 이것들은 이러한 요소들이 어떻게 예측하는지에 기반합니다. 소득 e 불순물처럼 기술적 지식은 요인들의 값 범위를 좁히는 데에도 중요합니다. 이는 필수적인 사항입니다. 소득 e 불순물처럼 이들은 운영상의 의사 결정이 정확하도록 오차 범위를 최소화합니다. I-최적 최적화 기준은 예측의 분산을 최소화하기 때문에 이상적입니다.
다음으로, 초기 통계 모델을 제안해야 합니다. 제안된 통계 모델은 본 계획의 최적화 목표와 직접적인 관련이 있습니다. 우리는 이차항과 상호작용항을 포함하는 2차 모델을 제안하고자 합니다.예측 및 최적화를 위한 유연성을 제공합니다. 소득 그리고 불결 연속 변수에 대한 이차항을 통해 그래프에 최고점이나 최저점이 있는지 여부를 판단할 수 있습니다. 성능 또는 임퓨레자에 관하여 높은 수준과 낮은 수준 사이 pH e 온도 범주형 요인에 대해서는 이차 효과를 추정할 수 없습니다. 처음 제안된 통계 모델에 이차 효과가 명시된 경우, 설계에 세 번째 수준인 중간값이 추가됩니다. pH e 온도 계획 단계에서, pH 5, 6.5, 8 버전에서 테스트될 예정입니다. 온도 15°C, 30°C, 45°C에서 테스트를 진행할 예정입니다.
초기 통계 모델에 포함된 모델 항은 아래 그림에 나와 있습니다.
우리가 포함한 모델 항들을 기반으로 I-최적 계획이 생성됩니다. 만약 계획 영역에 대한 제약 조건과 같은 다른 선택 사항들이 있었다면, 이는 생성된 계획에 영향을 미쳤을 것입니다. 이 예시에서는 계획에 영향을 줄 수 있는 제약 조건이나 다른 선택 사항들이 없었습니다. 계획 은 제안된 통계 모델을 추정하는 데 필요한 실행 횟수에 모델 오차를 추정하기 위한 5~6회의 추가 실행 횟수를 더한 값으로 구성됩니다. 이 예시에서는 아래와 같이 18회 실행으로 구성된 RSM 계획이 제안됩니다.
아래 그림에서 볼 수 있듯이, 이 최적의 I 값은 예측값의 평균 분산을 최소화합니다. 예측값의 분산은 설계 공간의 대부분 영역에서 낮게 유지되다가 설계 공간의 경계 부근에서 증가하는 것을 알 수 있습니다. 아래 그래프는 X축에 요인의 크기, Y축에 분산을 나타냅니다.
값 성능 e 불결 계획된 실행 순서에 따라 실행이 완료된 후 데이터가 데이터 테이블에 기록됩니다.
실험 데이터를 분석하기 위해 다중 선형 회귀 분석을 사용하겠습니다. 처음에 지정된 "완전한" 통계 모델을 조정하기 위해 성능 e 불결 각 응답에 맞춰 개별 모델이 맞춤 제작됩니다. 성능 e 불결 템플릿 약관은 프로젝트 설정 시 지정한 약관과 동일하며 다음 약관을 포함합니다.
- 세 가지 주요 효과( pH, 온도 e 공급업체 ).
두 모델 모두에서 변수 선택을 통해 비활성 효과를 제거합니다.활성 효과는 반응에 영향을 미치는 통계적으로 유의미한 요인입니다. 활성 효과를 포함한 두 모델의 효과 요약을 살펴보면, 곡률이 활성 효과임을 알 수 있습니다. 온도 e pH 이차항을 포함합니다. 또한 활발한 상호작용이 존재한다는 점도 주목해야 합니다. pH e 공급업체또한 그 사이에도 pH e 온도.
축소된 모델을 분석해 봅시다. 성능 e 불결 표면의 단면, 즉 프로파일을 관찰함으로써 가능합니다. 우리 예시의 경우, 목표는 최대화하는 것입니다. 소득 최소화하는 것만큼이나 중요합니다. 불결 두 가지 목표 사이의 상충 관계를 이해하고 균형을 이루는 요인 설정 조합을 찾기 위해 프로필 특성을 결합하고 함께 최적화했습니다.
이 예시에서 우리는 정의하는 것이 pH 7.18의 경우, 온도 33.71로 설정하고 "빠른" 옵션을 사용하세요. 공급업체로부터 극대화하는 것을 목표로 합니다 소득 96.06%에서 최소화 불순물처럼 0.82%입니다. 하지만 비슷한 결과를 가져오는 다른 요인들의 조합이 있을 수 있다는 점에 유의해야 합니다.
중앙 복합 계획
중앙 합성 계획이란 무엇인가요?
중심 합성 설계(CCD)는 고전적인 반응 표면 설계입니다. 이는 부분 요인 설계의 데이터 포인트를 통합합니다. 해상도 V 이상에서는 중심점과 축점(별점)이 사용됩니다. 해상도 V 설계에서는 주효과와 모든 이인자 상호작용을 추정할 수 있습니다. 점들은 정육면체와 별 모양을 이루며 중심에서 등거리에 위치합니다.
언제 사용해야 하나요?계획중심 화합물?
중심 합성 설계는 예측 및 최적화를 목표로 하는 반응 표면 설계에 사용됩니다. 특히 2단계 요인 설계 또는 부분 요인 설계에서 얻은 설계점을 포함하므로 순차적 실험에 유용합니다. 초기 설계에 중심점과 축점을 추가하여 중심 합성 설계를 얻을 수 있습니다. 중심 합성 설계는 연속형 요인만 지원합니다.
중심 합성 설계 소개
중심 합성 설계는 고전적인 반응 표면 분석(RSM) 설계 유형으로, 순차적 실험에 유용한 것으로 알려져 있습니다. 이 설계는 연속형 요인만을 포함하며, 각 요인은 5단계(-α, -α, -α, α = -α, α = -α, α = -α, α = -α, α = -α, α = -α, α = -α, α = -α, α = +α, α = -α, α = +α)로 검사됩니다.
중심 합성 설계는 최소 해상도 부분 요인 설계 V의 점, 중심점 및 축점을 포함합니다. 이 설계의 세 부분은 주효과, 상호작용 및 이차항을 추정할 수 있도록 합니다.
- 요인점(-1, +1로 코딩): 주효과 및 2차 상호작용을 추정할 수 있습니다.
- 중심점(0으로 코딩): 곡률을 감지하고 정확도를 높이며 적합성 부족 여부를 테스트할 수 있습니다.
- 축점(–α, +α로 표시): 이차항을 추정할 수 있습니다.
아래 그림에서 팩토리얼 점은 검은색 사각형으로, 중심점은 파란색 원으로, 축점은 주황색 마름모로 표시되어 있습니다.
중심점은 모든 요소의 값이 평균값으로 정의되는 시점을 나타냅니다. 이는 곡선 형태(2차 효과)의 존재 여부를 파악하고, 정확도를 높이며, 적합성 부족 검정을 수행하는 데 사용됩니다. 적합성 부족 검정 결과 1차 모델이 적합하지 않은 것으로 판단될 경우, 중심점을 추가하여 중심 합성 계획(Central Composite Plan)을 얻을 수 있습니다.
축점(별점이라고도 함)은 회전성 및 직교성 등의 계획 속성을 정의하며, 이차 효과를 추정하는 데 사용됩니다. 이 축점은 계획 중심에서 ±α 거리만큼 떨어져 있습니다. 각 축점은 하나의 요인에 대해서는 ±α이고, 다른 모든 요인에 대해서는 0입니다. 축 값은 계획 내에서 서로 다른 위치에 배치될 수 있으므로, 다양한 유형의 중심 합성 계획을 사용할 수 있습니다.
- 면 중심형: 축 방향 값은 정육면체(팩토리얼 공간)의 면 중심에 있습니다. 이러한 CCD는 중심 중심형이라고도 합니다. 하지 마세요 또는 얼굴을 중심으로.
- 외접 공간: 축 방향 값은 정육면체(팩토리얼 공간) 외부에 있습니다.
- 구독됨: 축 값은 큐브(팩토리얼 공간) 내부에 있습니다.
중심 합성 설계(CCD)는 설계를 확장하여 순차적으로 실행할 수 있다는 장점이 있습니다. 설계를 확장한다는 것은 기존 실험 설계에 실행을 추가하는 것을 의미합니다. 먼저, 요인 설계 또는 부분 요인 설계에서 데이터를 수집합니다. 그런 다음, 설계를 확장하여 중심점을 추가하고 적합성 부족 여부를 검정합니다. 마지막으로, 1차 모델에서 적합성 부족이 발견되면 축점을 추가하여 설계를 확장함으로써 CCD를 얻을 수 있습니다.
3개 및 5개 요인을 사용하는 I-최적 설계는 해당 요인 수에 대해 중심 합성 설계와 동일한 수의 고유 시험을 생성합니다. 연속형 요인 외에 범주형 요인, 설계 공간 제약 조건, 비표준 모델 또는 사용자 지정 실행 예산과 같은 여러 유형의 요인이 있는 경우 알고리즘 설계를 고려하십시오. 더 뛰어난 유연성 덕분입니다.
중앙 복합 계획의 한 예
우리가 최대화를 위해 요소들의 이상적인 조합을 찾고자 한다고 가정해 봅시다. 밀봉 강도 빵 포장. 기존 지식을 바탕으로, 우리는 세 가지 연속적인 요소가 있다는 것을 알고 있습니다. % 폴리에틸렌, 냉각 온도 e 밀봉 온도 – 이것들은 중요합니다. 우리는 2차 모델을 사용하여 반응 표면의 형태를 이해하기 위해 중심 합성 설계를 수행하기로 결정했습니다. 먼저, 반응 목표와 요인 설정을 정의했습니다.
정답과 관련 요인은 다음과 같습니다.
- 밀봉 강도: 응답의 목표는 최대화하는 것입니다(높을수록 좋습니다).
- 폴리에틸렌 함량: 계수 범위는 85에서 95까지이며, 중간값은 90입니다.
- 냉각 온도: 계수 범위는 120°에서 140°까지이며, 중간값은 130°입니다.
- 밀봉 온도: 온도 범위는 220°C에서 240°C 사이이며, 중간값은 230°C입니다.
중심 합성 설계에서 각 연속 변수는 낮은 값, 중간 값, 높은 값으로 테스트되어 이차항과 상호작용항을 포함하는 2차 모델을 생성합니다. 예를 들어, 폴리에틸렌의 비율 85, 90, 95에서 테스트를 진행했습니다. 세 개의 연속 변수를 고려하여, 균일한 정밀도를 갖는 20회 실행의 중심 합성 설계(CCD)를 선택했습니다. 요인점에는 8회, 면의 축점에는 6회, 중심점에는 6회의 실행이 있습니다. 균일한 정밀도란 설계의 중심과 모서리에서 예측 분산이 거의 동일하도록 중심점의 개수를 선택하는 것을 의미합니다. 아래는 설계점의 배치 패턴을 보여주는 열이 있는 무작위 설계표입니다.
학습 효과를 높이기 위해 동일한 표를 아래에 알파벳 순서로 제시하여 세 가지 설계점을 시각적으로 확인할 수 있도록 했습니다. 또한, 설계점을 시각적으로 나타냈습니다. 표와 그림에서 요인점은 검은색 사각형, 중심점은 파란색 원, 축점은 주황색 마름모로 표시했습니다.
값 밀봉 강도 계획 실행 후, 잠재적으로 알려지지 않았거나 숨겨진 변수와의 상관관계를 제거하기 위해 원래 무작위 배정 프로젝트의 실행 순서에 따라 데이터가 데이터 테이블에 기록됩니다.
실험 데이터를 분석하기 위해 다중 선형 회귀 분석을 사용했습니다. 처음에 지정된 "완전한" 통계 모델을 조정하기 위해 밀봉 강도 이 2차 모델의 항은 다음과 같습니다.
- 가로채다.
- 세 가지 주요 효과( % 폴리에틸렌, 냉각 온도 e 밀봉 온도 ).
- 두 가지 요인의 세 가지 상호작용.
- 세 가지 이차 효과.
모델의 효과 요약을 활성 효과와 함께 분석해 보면, 곡률은 활성 효과 중 하나임을 알 수 있습니다. 밀봉 온도 이차항을 포함하여 최적화를 위해 모델의 모든 항을 유지하고 최댓값이 있는지 확인합니다. 밀봉 온도만약 존재한다면 말이죠.
우리는 모델을 분석할 수 있습니다. 밀봉 강도 표면의 단면 또는 프로파일을 사용합니다. 현재, 각 요소의 중간 지점에서 정의된 요소를 사용하여 예측합니다. 밀봉 강도 10.04점 만점에 10.04점입니다. 우리는 가장 높은 점수를 산출하는 요소 설정 조합을 찾아 최적화하고자 합니다. 밀봉 강도 .
이 예시에서 우리는 정의하는 것을 볼 수 있습니다. 폴리에틸렌의 비율 92.61까지 냉각 온도 131.75까지 그리고 밀봉 온도 226.22의 경우, 최대값은 10.35로 예측됩니다. 밀봉 강도 이러한 설정으로 인해 선호도 값은 0.67이 되었으며, 이는 우리가 최대화라는 목표의 약 67%를 달성했음을 나타냅니다. 밀봉 강도 비슷한 결과를 가져오는 다른 요인들의 조합이 있을 수 있습니다.
박스-벤켄 플래닝
Box-Behnken 플랜이란 무엇인가요?
Box-Behnken 설계는 각 요인이 세 가지 수준으로 정의된 요인 설계의 부분 집합으로 구성된 고전적인 반응 표면 설계입니다. Box-Behnken 설계의 점들은 초입방체의 모서리에 위치하며 중심에서 등거리에 있습니다. 이러한 설계는 극단적인 점을 피하며, 순차적 실험을 위한 요인 설계로는 구성할 수 없습니다.
Box-Behnken 계획 방법은 언제 사용해야 할까요?
Box-Behnken 설계는 예측 및 최적화가 주요 목표인 반응 표면 설계에 사용됩니다. Box-Behnken 설계는 각 연속 변수를 높은 수준으로 설정하는 것과 같이 요인 조합에서 극단적인 경우를 피해야 할 때 유리할 수 있습니다. 때로는 요인의 극단적인 설정이 위험하거나 물리적으로 불가능하거나 비용이 매우 많이 드는 경우가 있습니다. Box-Behnken 설계는 연속 변수만을 포함합니다.
Box-Behnken 계획법 소개.
Box-Behnken 설계는 극단적인 지점을 피하는 것으로 알려진 고전적인 반응 표면 모델 설계 유형입니다. 이 설계에는 연속형 요인만 포함되며, 이러한 요인은 낮음, 중간, 높음의 세 가지 수준(또는 코드화된 단위로 -1, 0, +1)에서 검사됩니다.
Box-Behnken 계획은 두 가지 뚜렷한 특징을 가지고 있습니다. 하나는 회전형(또는 거의 회전형)이라는 점이고, 다른 하나는 구형이라는 점입니다. 회전형 계획이란 계획을 중심을 기준으로 회전시켰을 때 예측 분산 값이 일정하게 유지되는 계획을 말합니다. Box-Behnken 계획은 또한 구형이므로 계획의 모든 점이 중심에서 등거리에 있습니다. 이는 정육면체 계획과는 대조적입니다. 정육면체 계획에서는 정육면체의 양 끝점이 계획점이 되지 않습니다. Box-Behnken 계획은 비용이나 바람직하지 않은 부작용 때문에 극단적인 지점을 피해야 할 때 유리할 수 있습니다. 그러나 정육면체의 꼭짓점에 계획점이 없기 때문에 데이터가 없는 꼭짓점 부근에서 예측 분산이 높아지는 문제가 발생합니다. 아래는 세 가지 요인에 대한 계획점의 3D 산점도입니다. 공간의 모서리에는 계획점이 없는 것을 확인할 수 있습니다.
연속형 변수 외에 여러 유형의 변수(예: 범주형 변수, 설계 공간 제약 조건, 비표준 모델 또는 맞춤형 실행 예산)가 있는 경우 알고리즘 기반 계획을 고려하십시오. 더 뛰어난 유연성 덕분입니다.
Box-Behnken 계획의 예시
테니스공의 탄성을 최적화하고 싶다고 가정해 봅시다. 측정값은 다음과 같습니다. 신축성(탄성)표준화된 목표값을 기준으로 합니다. 공의 탄성은 양에 따라 달라질 수 있습니다. 규토, 황 e 실란 제조 과정에서 사용됩니다. 계획의 목표는 생산 요소의 구성을 최적화하여 제조 공정을 개선하는 것입니다. 뻗기 450개 중. O 스트레치 허용 가능한 제품을 생산하려면 값이 350보다 낮거나 550보다 높아서는 안 됩니다. 우리는 2차 모델이 필요하다고 판단하여 요인들이 동시에 극단적인 값을 갖는 것을 방지하기 위해 Box-Behnken 설계를 선택했습니다. Box-Behnken 설계를 만들기 위해 먼저 원하는 반응과 요인들의 값 범위를 정의했습니다.
정답과 관련 요인은 다음과 같습니다.
- 목표: 목표 응답값은 450이며, 하한값은 350, 상한값은 550입니다.
- 규토: 계수 범위는 0.7에서 1.7까지이며, 중간값은 1.2입니다.
- 황: 계수 범위는 1.8에서 2.8까지이며, 중간값은 2.3입니다.
- 실라노: 인수 범위는 40에서 60까지이며, 중간값은 50입니다.
Box-Behnken 설계에서 각 연속 변수는 낮은 값, 중간 값, 높은 값에서 테스트되어 2차항과 상호작용항을 포함하는 2차 모델을 생성합니다.예를 들어, 규토 0.7, 1.2, 1.7의 세 가지 연속 변수를 사용하여, 세 개의 중심점을 포함하는 15회 실행의 Box-Behnken 설계를 선택했습니다. 각 변수 쌍에 대해 낮은 값과 높은 값의 모든 가능한 조합을 검토하기 위해 12회의 실행이 이루어지며, 세 번째 변수는 중간값에 세 개의 중심점을 더한 값입니다. 아래는 설계점의 배치 패턴을 보여주는 열이 있는 무작위 설계표입니다.
교육적인 목적으로, 패턴 열을 기준으로 정렬된 동일한 표를 아래에 제시합니다. 각 실행에서 하나의 요소는 중간값을 갖고, 나머지 두 요소는 높거나 낮은 값을 갖는 것을 확인할 수 있습니다. 어떤 실행도 설계 공간의 극단값, 즉 +++, ---, 또는 +--와 같은 극단적인 요소 조합에 해당하지 않습니다. 이는 Box-Behnken 계획 의 특징입니다.
값 스트레칭 실험 설계 실행 후, 원래의 무작위 실험 설계 실행 순서에 따라 데이터가 데이터 표에 기록됩니다.
실험 데이터를 분석하기 위해 다중 선형 회귀 분석을 사용하겠습니다. 처음에 지정된 "완전한" 통계 모델을 조정하기 위해 뻗기 모델 항에는 2차 모델에 대한 다음 항들이 포함됩니다.
- 가로채다.
- 세 가지 주요 효과( 규토, 황 e 실라노 ).
- 두 가지 요인의 세 가지 상호작용.
- 세 가지 이차 효과.
변수 선택을 통해 비활성 효과를 모델에서 제거합니다.활성 효과는 반응에 영향을 미치는 통계적으로 유의미한 요인입니다. 활성 효과를 포함한 모델의 효과 요약을 살펴보면 곡률이 활성 효과 중 하나임을 알 수 있습니다. 황 e 규토, 이차항을 포함합니다. 또한 활발한 상호작용이 존재합니다. 규토 e 황또한 그 사이에도 황 e 실라노 .
축소된 모델을 분석해 봅시다. 뻗기 아래 그림에서 표면의 단면, 즉 프로파일을 관찰하면 활성적인 2차 효과를 확인할 수 있습니다. 황 e 실리카 곡선형 프로필을 보면 알 수 있습니다. 오, 실라누스여, 활성 이차 효과가 없으면 선형입니다. 현재 각 요인을 중간 지점에서 정의하면 다음과 같이 예측됩니다. 뻗기 396.15입니다. 우리는 396.15라는 값을 생성하는 요인 설정 조합을 찾아 최적화하고자 합니다. 뻗기 450개 중.
이 예시에서 정의하다 규토 1.06까지, 황 1.91까지 그리고 또는 실라노 43.82의 경우 목표값은 다음과 같다고 예측합니다. 스트레칭 예를 들어 450이라고 가정해 봅시다. 비슷한 결과를 내는 다른 요인 조합도 있을 수 있습니다.
