- Metodologia della superficie di risposta
- Progettazione di superfici di risposta algoritmica
- Pianificazione composita centrale
- Pianificazione Box-Behnken
Che cos'è la metodologia di superficie di risposta?
La metodologia di superficie di risposta (RSM) viene utilizzata per sviluppare, migliorare o ottimizzare un prodotto o un processo. Questa metodologia prevede un insieme di diverse tecniche statistiche, grafiche e matematiche che vengono utilizzate per esplorare e modellare la forma di una risposta nell'ambito della regione sperimentale.
Quando è opportuno utilizzare la metodologia di superficie di risposta?
Utilizzate la pianificazione della selezione dei fattori per identificare i fattori importanti che determinano la qualità del vostro prodotto o i risultati del vostro processo. Dopo aver identificato i fattori importanti, la metodologia RSM (Response Surface Methodology) aiuta a determinare le impostazioni di questi fattori per ottimizzare le vostre risposte. In particolare, la RSM può essere utile se avete:
- Tieni presente un obiettivo generale per la tua risposta (ad esempio, più alto è meglio; più basso è meglio; oppure entro un certo intervallo, meglio è).
- Un obiettivo specifico per il tuo scopo (ad esempio, la risposta dovrebbe essere almeno del 90%, inferiore a 5 mg/L o 20 ± 0,1 mm).
- Esistono diverse risposte, ognuna con uno scopo specifico.
Inoltre, il metodo RSM è più utile quando si ha la certezza che esista un punto ottimale all'interno della regione sperimentale.
Perché utilizzare la metodologia di superficie di risposta?
Supponiamo di aver utilizzato la pianificazione della selezione dei fattori per restringere l'elenco dei possibili fattori importanti nel nostro processo. Ora, vogliamo trovare le configurazioni dei fattori che ottimizzano una o più risposte, ma abbiamo bisogno di informazioni più dettagliate di quelle che si possono ottenere con la tipica pianificazione della selezione dei fattori.
Oppure forse sapete già quali fattori sono importanti, ma sospettate che il processo possa essere migliorato per raggiungere meglio i vostri obiettivi. In entrambi i casi, comprendere la forma della risposta – la superficie di risposta – vi aiuterà a identificare le configurazioni dei fattori che, secondo le previsioni, produrranno la risposta ideale, sia essa definita (massima, minima o obiettivo).
Supponiamo, per ora, che tutti i fattori presi in considerazione siano continui.
Un fattore sperimentale testato a due livelli fornisce i dati necessari per stimare un effetto lineare. Per un disegno a fattore singolo, la superficie di risposta è modellata come una retta; per due fattori, la superficie è modellata come un piano; e per tre o più fattori, la superficie è modellata come un iperpiano.
Tuttavia, l'effetto di un fattore sulla risposta spesso non è lineare. Potrebbe esserci un picco (massimo) o una valle (minimo) nella risposta tra i livelli bassi e alti di un fattore. In altre parole, si potrebbe osservare una curvatura nella superficie di risposta. In questi casi, le condizioni ottimali sono difficili o addirittura impossibili da trovare utilizzando modelli che presuppongono una risposta lineare. Per stimare la curvatura nella risposta, è necessario aggiungere nuovi effetti al modello, il che richiede più punti dati. Ad esempio, per stimare un effetto quadratico (vale a dire, X²) Un fattore continuo dovrebbe essere testato a tre livelli, non solo a due. I modelli RSM includono un terzo livello (o talvolta di più) per ciascun fattore continuo nel loro disegno sperimentale .
Questi modelli possono essere eseguiti come modelli indipendenti, ma possono anche basarsi sui dati esistenti per stimare gli effetti quadratici, specificando i livelli dei fattori e le combinazioni di trattamento che non erano inclusi nei modelli precedenti. Supponiamo di aver eseguito un modello di selezione dei fattori per scoprire quali fattori sono importanti. Abbiamo già raccolto dati preziosi sul nostro sistema o processo, ma in genere non disponiamo dei dati necessari per stimare la curvatura. Ampliare i dati esistenti con un modello successivo che includa un terzo livello per i fattori continui può essere un modo efficiente per modellare la superficie di risposta.
Trovare le configurazioni dei fattori che ottimizzano una o più risposte può essere una sfida. Nella maggior parte dei casi, una risposta dipende da molteplici fattori, il che rende la superficie di risposta multidimensionale e potenzialmente complessa se i fattori interagiscono tra loro. La metodologia della superficie di risposta ci permette di esplorare questa superficie per trovare le migliori configurazioni dei fattori all'interno della regione sperimentale per raggiungere gli obiettivi di risposta.
Metodologia della superficie di risposta: un esempio
Supponiamo di essere interessati a ottimizzare un processo identificando quali configurazioni dei fattori producono la maggiore... prestazione e il più piccolo impurità Ci è stato comunicato che gli obiettivi per entrambe le risposte sono ugualmente importanti. In base alle conoscenze pregresse, sappiamo che tre fattori sono importanti, ma vogliamo migliorare il processo individuando le condizioni operative che meglio soddisfano i nostri obiettivi. In questo esempio, non stiamo migliorando un progetto precedente, come descritto sopra, ma creando un nuovo progetto RSM.
Le risposte e i fattori sono:
- Prestazione: L'obiettivo della risposta è massimizzare (più alto è, meglio è).
- Impurità: L'obiettivo della risposta è minimizzare (più piccolo è, meglio è).
- pH: Il fattore di conversione varia da 5 a 8.
- Temperatura: Il fattore di temperatura varia da 15° a 45° Celsius.
- Fornitore: Esistono tre livelli di fornitore (livelli dei fattori): Buono, Veloce ed Economico.
Per entrambi i fattori continui, pH e TemperaturaVogliamo determinare se c'è un picco o una valle nella risposta tra i livelli alti e bassi dei fattori. L'intervallo di interesse per pH È compreso tra 5 e 8. Per capire se l'effetto di pH SU Reddito e purificare Non è lineare; abbiamo testato un terzo livello intermedio tra 5 e 8 (6,5). Facciamo lo stesso per la temperatura, con livelli di 15°, 30° e 45°. I tre livelli ci permettono di stimare l'effetto quadratico. (curvatura) per fattori continui. Gli effetti quadratici non possono essere stimati per fattori categorici. Siamo inoltre interessati a verificare se vi sia un'interazione.tra i tre fattori. Un disegno sperimentale basato sulla metodologia di superficie di risposta (RSM) con 18 prove ci permetterà di stimare gli effetti principali, le interazioni tra due fattori e gli effetti quadratici.
Dopo la fase di pianificazione , le risposte vengono registrate nella tabella dati.
Utilizzare la regressione lineare multipla. per modellare le risposte. Il modello completo per entrambe le risposte include i seguenti termini:
- Intercettare
- Tre effetti principali ( pH, temperatura e fornitore )
- Tre interazioni di due fattori
- Due effetti quadratici (per fattori continui)
Dopo aver regolato modelli separati per Prestazione e ImpuritàÈ possibile utilizzare la selezione variabile. per rimuovere i termini non significativi dai modelli. I termini che rimangono nei modelli ridotti per ciascuna risposta sono mostrati nella tabella sottostante.
Utilizzo: I termini in corsivo nel modello non erano significativi, ma rimangono nei modelli perché sono coinvolti in termini di ordine superiore.
Abbiamo scoperto che entrambi pH quanto la temperatura, così come uno o più dei suoi effetti di ordine superiore, sono stati importanti per entrambe le risposte. Tuttavia, il fornitore (e la sua interazione con) pH ) era importante solo per impuro .
È possibile visualizzare la forma della superficie di risposta per fattori continui con un grafico di superficie tridimensionale. Nei grafici è possibile osservare in quale parte della regione sperimentale è possibile ottenere valori più elevati di Prestazione e valori inferiori di Impurità .
Raccolto
Impurità
È possibile visualizzare la superficie di risposta anche osservando le sezioni trasversali o i profili della superficie stessa. Qui si può vedere come la variazione del livello di un singolo fattore influisce sui valori di risposta previsti (mostrati a sinistra). E si può vedere come i profili dei fattori coinvolti nelle interazioni cambiano in funzione del livello dell'altro fattore.
Gli obiettivi della risposta sono massimizzare Reddito e minimizzare come Impurezas È possibile trovare una combinazione di impostazioni dei fattori all'interno della regione sperimentale che bilanci i compromessi tra entrambi gli obiettivi. In questo esempio, impostando il pH a 6,85, un Temperatura per 34,25° e utilizzare il metodo rapido dal Fornitore mira a massimizzare Reddito nel 94,12% e minimizzare come Impurezas allo 0,89%.
Potrebbero esserci altre combinazioni di fattori che producono risultati simili. Potresti anche trovare impostazioni che producono... un reddito più grande, ad esempio, ma a scapito della minimizzazione. di impuritàO viceversa. Potresti essere disposto ad accettare questo compromesso se ottimizzare una delle risposte è più importante dell'altra.
Progettazione di superfici di risposta algoritmica
Che cos'è la pianificazione algoritmica per la metodologia di superficie di risposta (RSM)?
Un approccio di progettazione algoritmica per la metodologia di superficie di risposta (RSM) utilizza modelli I-ottimali, che presentano proprietà statistiche simili ai modelli classici utilizzati nella metodologia di superficie di risposta per l'ottimizzazione della risposta, come i modelli compositi centrali e i modelli di Box-Behnken. I modelli algoritmici mirano a massimizzare uno dei diversi criteri di ottimizzazione, tra cui l'ottimalità I. L'ottimalità I mira a minimizzare la varianza della previsione ed è utilizzata per modelli di secondo ordine (effetti principali più quadratici e interazioni a due vie), dove le previsioni accurate hanno la priorità nell'ottimizzazione della risposta.
Quando dovrei utilizzare la pianificazione algoritmica per RSM?
La pianificazione algoritmica per RSM può essere utilizzata quando l'obiettivo è l'ottimizzazione. È particolarmente utile quando è necessaria una flessibilità di progettazione che va oltre quella offerta dai modelli classici. Ad esempio, l'utilizzo della pianificazione algoritmica per RSM risulterebbe efficace quando nello spazio di progettazione sono presenti diversi tipi di fattori o vincoli.
La pianificazione algoritmica per RSM può includere:
- Tipologie di fattori categoriali.
- Combinazioni di fattori non praticabili.
- Blocco.
- Modelli non standard.
- Randomizzazione limitata.
- Un budget personalizzato per il progetto.
Introduzione alla pianificazione algoritmica per RSM
Un approccio di progettazione algoritmica per la RSM (Response Surface Methodology) adatta il progetto al problema, anziché cercare di adattare il problema a un progetto predeterminato. I software DOE (Design of Experiments), come JMP, sono esempi di questo approccio.Utilizzano un algoritmo per creare un progetto RSM che soddisfi le loro specifiche, massimizzando uno dei diversi criteri di ottimizzazione. Il criterio di ottimizzazione utilizzato per RSM è il criterio di I-ottimalità, che dà priorità alle previsioni accurate.
Analizziamo due situazioni comuni in cui i modelli algoritmici possono offrire flessibilità alla metodologia di superficie di risposta (RSM). Esistono molte situazioni in cui un fattore categoriale è di interesse in un modello RSM. Ad esempio, supponiamo di voler capire come tre fornitori influenzano la nostra variabile di risposta di interesse, oltre a tre fattori continui. Tradizionalmente, si esegue un modello RSM separato per ciascun fornitore, poiché un fattore categoriale non può essere incluso nel modello RSM classico.
Per tre fattori continui, potremmo eseguire un disegno sperimentale di Box-Behnken con 15 iterazioni. Eseguire 15 disegni sperimentali di Box-Behnken per ciascuno dei tre fornitori si traduce in un totale di 45 iterazioni, che supera rapidamente il nostro budget di iterazioni. Con i disegni algoritmici, tuttavia, potremmo includere il fornitore come fattore, oltre ai tre fattori continui, ed eseguire un singolo disegno per comprenderne l'impatto sulla risposta in 24 iterazioni. Le 24 iterazioni si basano su euristiche per creare un disegno bilanciato per i termini del modello di secondo ordine proposto, con alcune iterazioni aggiuntive per stimare un termine di errore.
Un'altra situazione in cui la pianificazione RSM algoritmica può offrire flessibilità si verifica quando abbiamo combinazioni pratiche di livelli di fattori che sappiamo in anticipo essere irrealizzabili per motivi quali la sicurezza. Ad esempio, consideriamo l'ottimizzazione di un nuovo processo di produzione della pizza. Esistono condizioni che sappiamo non produrrebbero una pizza accettabile. Cuocere una pizza ad alta temperatura per un lungo periodo la brucerà. Allo stesso modo, cuocerla a bassa temperatura per un breve periodo la renderà poco cotta. In questo esempio, la regione di progettazione ha una forma irregolare e presenta dei vincoli.
La pianificazione algoritmica per RSM ci offre la flessibilità necessaria per gestire queste sfide progettuali, così come altri scenari quali blocchi e un budget di esecuzione personalizzato. La pianificazione algoritmica può generare progetti classici utilizzati nella metodologia di superficie di risposta (RSM) quando ciò è ideale per le specifiche del progetto.
Un esempio di pianificazione algoritmica per RSM.
Analizziamo più nel dettaglio la pianificazione presentata nella panoramica del progetto RSM.. L'obiettivo della pianificazione è migliorare un processo individuando le condizioni operative che producono i risultati migliori. prestazione e il più piccolo impurità Sviluppa il reddito È altrettanto importante quanto ridurre al minimo il impurità Per creare un piano algoritmico, scegliamo innanzitutto le risposte e i fattori.
Le risposte e i fattori sono:
- Prestazione: L'obiettivo della risposta è massimizzare (più alto è, meglio è).
- Impurità: L'obiettivo della risposta è minimizzare (più piccolo è, meglio è).
- pH: Il fattore di conversione varia da 5 a 8.
- Temperatura: Il fattore di temperatura varia da 15° a 45° Celsius.
- Fornitore: Esistono tre livelli di fornitore (livelli dei fattori): Buono, Veloce ed Economico.
Decisioni operative su quali configurazioni utilizzare pH e temperatura uso, insieme al quale fornitore, Si basano su come questi fattori predicono il reddito e come impure La conoscenza tecnica è importante anche per definire intervalli ristretti di valori per i fattori. È essenziale che il reddito e come impure Presentano il margine di errore più piccolo possibile, in modo che le decisioni operative siano accurate. Il criterio di ottimizzazione I-ottimale è ideale perché minimizza la varianza della previsione.
Successivamente, dobbiamo proporre un modello statistico iniziale. Il modello statistico proposto è direttamente correlato all'obiettivo di ottimizzazione di questa pianificazione. Vogliamo proporre un modello di secondo ordine che includa termini quadratici e di interazione.che offrono la flessibilità di prevedere e ottimizzare Reddito e a Impurità I termini quadratici per i fattori continui ci permettono di determinare se c'è un picco o una valle nella... Prestazione O su Impureza tra livelli alti e bassi di pH e Temperatura Gli effetti quadratici non possono essere stimati per i fattori categorici. Quando gli effetti quadratici sono specificati nel modello statistico inizialmente proposto, un terzo livello, il punto medio, viene aggiunto al disegno per... pH e Temperatura Nella pianificazione, pH Verrà testato in 5, 6,5 e 8, mentre la temperatura Verrà testato a 15 °C, 30 °C e 45 °C.
I termini del modello inclusi nel modello statistico iniziale sono mostrati nella figura seguente.
Sulla base dei termini del modello che abbiamo incluso, viene generato un piano I-ottimale. Se avessimo fatto altre scelte, come ad esempio vincoli sulla regione di pianificazione , queste avrebbero influenzato il progetto generato. In questo esempio, non abbiamo avuto vincoli o altre scelte che potessero influenzare il progetto. Il piano consiste nel numero di esecuzioni necessarie per stimare il modello statistico proposto, più cinque o sei esecuzioni uniche aggiuntive per stimare l'errore del modello. Per il nostro esempio, viene proposto un piano RSM con 18 esecuzioni, come mostrato di seguito.
Questa pianificazione ottimale minimizza la varianza media della previsione, come si può osservare nelle figure seguenti. Noterete che la varianza della previsione rimane bassa nella maggior parte dello spazio di progettazione, mentre aumenta in prossimità dei confini di tale spazio. I profili sottostanti mostrano l'ampiezza del fattore sull'asse X e la varianza sull'asse Y.
I valori di Prestazione e Impurità I dati vengono registrati nella tabella dati dopo l'esecuzione del piano, seguendo l'ordine di esecuzione previsto.
Per analizzare i dati sperimentali, utilizzeremo la regressione lineare multipla. per regolare il modello statistico iniziale "completo" specificato per Prestazione e Impurità Per ogni risposta viene elaborato un modello personalizzato. Prestazione e Impurità I termini del modello sono gli stessi che abbiamo specificato durante la configurazione del progetto e includono i seguenti termini:
- Tre effetti principali ( pH, temperatura e fornitore ).
- Tre interazioni tra due fattori.
- Due effetti quadratici (per fattori continui).
Per entrambi i modelli, gli effetti inattivi vengono rimossi tramite la selezione delle variabili.Gli effetti attivi sono termini statisticamente significativi che influenzano le risposte. Osservando il riepilogo degli effetti per entrambi i modelli con effetti attivi, vediamo che la curvatura è un effetto attivo per... Temperatura e pH con il termine quadratico. Notiamo inoltre che ci sono interazioni attive tra pH e Fornitorenonché tra pH e Temperatura.
Analizziamo il modello ridotto per Prestazione e Impurità osservando le sezioni trasversali della superficie, o profili. Nel nostro esempio, l'obiettivo è massimizzare Reddito è altrettanto importante quanto minimizzare Impurità Per comprendere i compromessi e trovare una combinazione di impostazioni dei fattori che bilanci i compromessi tra i due obiettivi, abbiamo combinato le caratteristiche del profilo e le abbiamo ottimizzate congiuntamente.
In questo esempio, abbiamo determinato che la definizione del pH per 7,18, un temperatura a 33,71 e utilizzare l'opzione "Veloce" dal fornitore mira a massimizzare il reddito nel 96,06% e minimizzare come impure allo 0,82%. Vale la pena notare, tuttavia, che potrebbero esserci altre combinazioni di fattori che producono risultati simili.
Pianificazione composita centrale
Che cos'è un piano composito centrale?
Un disegno composito centrale (CCD) è un classico disegno di superficie di risposta. Incorpora punti provenienti da un disegno fattoriale frazionario. Nella risoluzione V o superiore, vengono utilizzati punti centrali e punti assiali (punti stella). Nei modelli a risoluzione V, è possibile stimare gli effetti principali e tutte le interazioni a due fattori. I punti formano un cubo più una stella e sono equidistanti dal centro.
Quando dovrei usare unpianificazionecomposto central?
I disegni compositi centrali vengono utilizzati nella progettazione di superfici di risposta quando l'obiettivo è la previsione e l'ottimizzazione. Sono particolarmente utili per la sperimentazione sequenziale, poiché contengono punti di progettazione derivanti da un fattoriale a due livelli o da un fattoriale frazionario. Il disegno iniziale può essere esteso con punti centrali e assiali per ottenere un disegno composito centrale. I disegni compositi centrali supportano solo fattori continui.
Introduzione ai disegni compositi centrali
I disegni compositi centrali sono un tipo di disegno RSM classico e sono noti per la loro utilità nella sperimentazione sequenziale. Includono solo fattori continui, ciascuno testato a cinque livelli: due assiali, basso, medio e alto, oppure –α, –1, 0, +1, +α.
I disegni compositi centrali includono punti provenienti da un disegno fattoriale frazionario a risoluzione minima V, punti centrali e punti assiali. Le tre parti del disegno consentono la stima degli effetti principali, delle interazioni e dei termini quadratici:
- Punti fattoriali (codificati come -1, +1): consentono la stima degli effetti principali e delle interazioni di secondo ordine.
- Punti centrali (codificati come 0): consentono di rilevare la curvatura, aumentare la precisione e verificare l'eventuale mancanza di adattamento.
- Punti assiali (codificati come –α, +α): consentono la stima dei termini quadratici.
Nella figura sottostante, i punti fattoriali sono rappresentati da quadrati neri, i punti centrali da cerchi blu e i punti assiali da rombi arancioni.
I punti centrali rappresentano i momenti in cui i valori di tutti i fattori sono definiti come valori medi. Vengono utilizzati per capire se c'è una curvatura (un effetto quadratico), per aumentare la precisione e per fornire un test di mancanza di adattamento. Se il test di mancanza di adattamento indica che il modello di primo ordine non è appropriato, è possibile integrare la pianificazione con punti assiali per ottenere un Piano Composito Centrale.
I punti assiali (noti anche come punti stella) definiscono le proprietà di pianificazione, come la rotazione e l'ortogonalità, e vengono utilizzati per stimare gli effetti quadratici. Sono situati a una distanza di ±α dal centro della pianificazione. Ogni punto assiale assume valore ±α per un fattore e 0 per tutti gli altri. I valori assiali possono essere posizionati in punti diversi all'interno della pianificazione, pertanto sono disponibili diversi tipi di piani compositi centrali.
- Con facce: I valori assiali si trovano al centro delle facce del cubo (spazio fattoriale). Questi CCD sono anche noti come centrati. non farlo O centrato sul viso.
- Circoscritto: I valori assiali sono esterni al cubo (spazio fattoriale).
- Sottoscritto: I valori assiali sono all'interno del cubo (spazio fattoriale).
I disegni compositi centrali possono essere eseguiti in sequenza estendendo un disegno preesistente, il che rappresenta uno dei loro vantaggi. Estendere un disegno significa aggiungere prove a un disegno sperimentale esistente. In primo luogo, i dati vengono raccolti da un disegno fattoriale o fattoriale frazionario. Successivamente, vengono aggiunti punti centrali estendendo il disegno per verificare la mancanza di adattamento. Infine, se si riscontra una mancanza di adattamento nel modello di primo ordine, il disegno può essere esteso con punti assiali per ottenere un CCD.
I modelli I-ottimali a tre e cinque fattori genereranno lo stesso numero di prove uniche di un modello composito centrale per il rispettivo numero di fattori. Quando si hanno più tipi di fattori oltre a quelli continui, come fattori categorici, vincoli sullo spazio di progettazione, modelli non standard o un budget di esecuzione personalizzato, è consigliabile prendere in considerazione i modelli algoritmici. grazie alla sua maggiore flessibilità.
Un esempio di pianificazione composita centrale
Supponiamo di voler trovare le configurazioni ideali dei fattori per massimizzare la forza di tenuta dell'imballaggio del pane. In base alle conoscenze pregresse, sappiamo che i tre fattori continui – % Polietilene, Temperatura di raffreddamento e Temperatura di sigillatura – Questi sono importanti. Abbiamo deciso di eseguire un disegno composito centrale per comprendere la forma della superficie di risposta utilizzando un modello di secondo ordine. In primo luogo, abbiamo definito gli obiettivi di risposta e le impostazioni dei fattori.
La risposta e i fattori sono:
- Resistenza della guarnizione: L'obiettivo della risposta è massimizzare (più alto è, meglio è).
- % Polietilene: Il fattore di moltiplicazione varia da 85 a 95 (il punto medio è 90).
- Temperatura di raffreddamento: Il fattore di scala va da 120° a 140° (punto medio di 130°).
- Temperatura di sigillatura: L'intervallo di temperatura va da 220° a 240° (punto medio di 230°).
Ciascun fattore continuo viene testato a valori bassi, medi e alti in un disegno composito centrale per produrre un modello di secondo ordine con termini quadratici e di interazione. Ad esempio, la percentuale di polietilene Viene testato a 85, 90 e 95. Con tre fattori continui, abbiamo scelto un CCD con precisione uniforme di 20 esecuzioni. Ci sono otto esecuzioni per i punti fattoriali, sei esecuzioni per i punti assiali sulla faccia e sei esecuzioni per i punti centrali. La precisione uniforme significa che il numero di punti centrali viene scelto in modo che la varianza di previsione sia approssimativamente la stessa al centro e agli angoli del disegno. Di seguito è riportata la tabella del disegno randomizzato con una colonna che mostra la distribuzione dei punti del disegno.
A scopo didattico, la stessa tabella è presentata di seguito, ma in ordine alfabetico, in modo da poter visualizzare i tre diversi punti di progettazione. Inoltre, i punti di progettazione sono illustrati visivamente. Nella tabella e nella figura, i punti fattoriali sono rappresentati da quadrati neri, i punti centrali da cerchi blu e i punti assiali da rombi arancioni.
I valori di forza del sigillo I dati vengono registrati nella tabella dati dopo l'esecuzione della pianificazione, seguendo l'ordine di esecuzione del progetto di randomizzazione originale per eliminare la correlazione con eventuali variabili sconosciute o nascoste.
Per analizzare i dati sperimentali, abbiamo utilizzato la regressione lineare multipla. per regolare il modello statistico iniziale "completo" specificato per forza del sigillo I termini per questo modello di secondo ordine includono i seguenti:
- Intercettare.
- Tre effetti principali ( % Polietilene, Temperatura di raffreddamento e Temperatura di sigillatura ).
- Tre interazioni tra due fattori.
- Tre effetti quadratici.
Analizzando il riepilogo degli effetti del modello con gli effetti attivi, vediamo che la curvatura è un effetto attivo per Temperatura di sigillatura con il termine quadratico. Manteniamo tutti i termini nel modello per l'ottimizzazione e controlliamo se c'è un massimo per Temperatura di sigillatura, se esiste.
Possiamo analizzare il modello di forza del sigillo con sezioni trasversali della superficie, o profili. Attualmente, con i fattori definiti nei rispettivi punti medi, prevediamo un forza del sigillo su 10,04. Vogliamo ottimizzare per trovare una combinazione di impostazioni dei fattori che produca il valore più alto forza del sigillo .
In questo esempio, vediamo che la definizione la percentuale di polietilene a 92,61 temperatura di raffreddamento a 131,75 e la temperatura di sigillatura per 226,22, prevede un valore massimo di 10,35. la forza di tenuta Queste impostazioni si traducono in un indice di desiderabilità pari a 0,67, il che indica che abbiamo raggiunto circa il 67% del nostro obiettivo di massimizzare... la forza di tenuta Potrebbero esserci altre combinazioni di fattori che producono risultati simili.
Pianificazione Box-Behnken
Che cos'è un piano Box-Behnken?
I disegni di Box-Behnken sono un classico disegno di superficie di risposta costruito a partire da un sottoinsieme di punti di un disegno fattoriale, con ciascun fattore definito a tre livelli. I punti nei disegni di Box-Behnken si trovano sui bordi di un ipercubo e sono equidistanti dal centro. Essi evitano i punti estremi e non possono essere costruiti a partire da disegni fattoriali per la sperimentazione sequenziale.
Quando dovrei utilizzare il metodo di pianificazione Box-Behnken?
I modelli Box-Behnken vengono utilizzati nella progettazione di superfici di risposta, dove gli obiettivi principali sono la previsione e l'ottimizzazione. Un modello Box-Behnken può essere vantaggioso quando è necessario evitare valori estremi nella combinazione dei fattori, come ad esempio l'esecuzione di ciascun fattore continuo a un livello elevato. Talvolta, le esecuzioni che coinvolgono valori estremi dei fattori sono pericolose, fisicamente impossibili o molto costose. I modelli Box-Behnken includono solo fattori continui.
Introduzione alla pianificazione Box-Behnken.
I modelli Box-Behnken sono una tipologia di modello di superficie di risposta classico, noti per evitare punti estremi. Includono solo fattori continui, testati a tre livelli: basso, medio e alto, ovvero -1, 0, +1 in unità codificate.
I piani Box-Behnken presentano due caratteristiche distinte: sono rotazionali (o quasi rotazionali) e sferici. I piani rotazionali sono quelli in cui la varianza prevista mantiene lo stesso valore quando il piano viene ruotato attorno al suo centro. I piani Box-Behnken sono anche sferici, in quanto tutti i punti del piano sono equidistanti dal centro, a differenza dei piani cuboidali, in cui gli estremi del cubo non sono punti di pianificazione. Possono risultare vantaggiosi quando è necessario evitare punti estremi a causa dei costi o di effetti collaterali indesiderati. Tuttavia, l'assenza di punti di pianificazione ai vertici del cubo comporta una maggiore varianza di previsione in prossimità dei vertici, dove non sono presenti dati. Di seguito è riportato un grafico a dispersione 3D dei punti di pianificazione per tre fattori. Si noti che non sono presenti punti di pianificazione agli angoli dello spazio.
Quando si hanno più tipi di fattori oltre a quelli continui (come fattori categoriali, vincoli di spazio di progettazione, modelli non standard o un budget di esecuzione personalizzato), è consigliabile prendere in considerazione la pianificazione algoritmica. grazie alla sua maggiore flessibilità.
Un esempio di piano Box-Behnken
Supponiamo di voler ottimizzare l'elasticità di una pallina da tennis misurata come Allungamento (elasticità), per un valore target standardizzato. L'elasticità della palla può variare a seconda delle quantità di silice, zolfo e silano utilizzato durante la produzione. L'obiettivo della pianificazione è migliorare il processo produttivo ottimizzando la configurazione dei fattori per produrre un Stirata di 450. O Stretch Il valore non può essere inferiore a 350 né superiore a 550 per ottenere un prodotto accettabile. Riteniamo necessario un modello di secondo ordine e pertanto abbiamo scelto un disegno sperimentale di Box-Behnken per evitare che i fattori assumano simultaneamente valori estremi. Per creare un disegno sperimentale di Box-Behnken, abbiamo innanzitutto definito la risposta desiderata e gli intervalli di valori per i fattori.
La risposta e i fattori sono:
- Scopo: La risposta obiettivo è raggiungere un valore di 450, con un limite inferiore di 350 e un limite superiore di 550.
- Silice: Il fattore varia da 0,7 a 1,7 (il punto medio è 1,2).
- Zolfo: Il fattore varia da 1,8 a 2,8 (il punto medio è 2,3).
- Silano: Il fattore di scala va da 40 a 60 (il punto medio è 50).
Ciascun fattore continuo viene testato a valori bassi, medi e alti in un disegno sperimentale di Box-Behnken per produrre un modello di secondo ordine con termini quadratici e di interazione.Per esempio, silice Viene testato a 0,7, 1,2 e 1,7. Con tre fattori continui, abbiamo scelto un disegno Box-Behnken con 15 prove e tre punti centrali. Ci sono 12 prove per esaminare tutte le possibili combinazioni di valori bassi e alti per ogni coppia di fattori, mentre il terzo fattore è al livello medio più i tre punti centrali. Di seguito è riportata la tabella del disegno randomizzato con una colonna che mostra lo schema dei punti del disegno.
A scopo didattico, la stessa tabella, ordinata in base alla colonna del modello, è mostrata di seguito. Si noti come ogni esecuzione contenga uno dei fattori a un valore intermedio, mentre gli altri due fattori hanno valori alti o bassi. Nessuna delle esecuzioni si trova agli estremi dello spazio di progettazione, dove sono presenti combinazioni di fattori estremi, come +++, --- o +--. Questa è una caratteristica di una planificazione di Box-Behnken.
I valori di Allungamento I dati vengono registrati nella tabella dati dopo l'esecuzione del progetto sperimentale, seguendo l'ordine di esecuzione del progetto sperimentale randomizzato originale.
Per analizzare i dati sperimentali, utilizzeremo la regressione lineare multipla. per regolare il modello statistico iniziale "completo" specificato per Stirata I termini del modello includono i seguenti termini per un modello di secondo ordine:
- Intercettare.
- Tre effetti principali ( Silice, Zolfo e Silano ).
- Tre interazioni tra due fattori.
- Tre effetti quadratici.
Gli effetti inattivi vengono rimossi dal modello tramite la selezione delle variabili.Gli effetti attivi sono termini statisticamente significativi che influenzano le risposte. Osservando il riepilogo degli effetti per il modello con effetti attivi, vediamo che la curvatura è un effetto attivo per... Zolfo e Silice, con il termine quadratico. Ci sono anche interazioni attive tra Silice e Zolfononché tra Zolfo e Silano .
Analizziamo il modello ridotto per Stirata Di seguito, osservando le sezioni trasversali della superficie, o profili, possiamo vedere l'effetto quadratico attivo in... Zolfo e in silice con i profili curvi. Vediamo che o Silano, Senza un effetto quadratico attivo, è lineare. Attualmente, con i fattori definiti nei rispettivi punti medi, prevediamo un Stirata di 396,15. Vogliamo ottimizzare per trovare una combinazione di impostazioni dei fattori che produca un Stirata di 450.
In questo esempio, definiamo Silice a 1,06, Zolfo a 1,91 e o Silano per 43,82 prevede che il valore obiettivo per o allungarsi Diciamo che è 450. Potrebbero esserci altre combinazioni di fattori che producono risultati simili.
