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Planung der Faktorauswahl

• Planung der Faktorauswahl
• Algorithmische Designs für die Faktorauswahl
• Endgültige Planung für die Faktorauswahl
• Fraktionelle faktorielle Versuchspläne
• Plackett-Burman-Pläne

Was sind Faktorselektionspläne?

Faktorselektionsdesigns sind geplante Experimente, die in der Regel als erster Schritt durchgeführt werden, um die einflussreichsten Faktoren unter den vielen potenziellen Variablen zu identifizieren, die einen Prozess oder ein Ergebnis beeinflussen. Sie stellen eine effiziente und rigorose Methode dar, um systematisch zu bestimmen, welche Faktoren in nachfolgende Experimente einbezogen werden sollten, und zwar mit einer relativ geringen Anzahl an Wiederholungen. Die Faktorselektion besteht darin, „die wenigen entscheidenden von den vielen unwichtigen Faktoren“ zu trennen.

Wann sollte man p verwenden?Planung der Faktorauswahl?

Die Planung der Faktorauswahl kann sinnvoll sein, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Es gibt viele potenzielle Faktoren, die untersucht werden müssen.
• Die entscheidenden Faktoren sind unbekannt.
• Die Auswirkungen dieser Faktoren sind unbekannt.

Es ist möglicherweise nicht in allen Situationen notwendig, Faktoren zu filtern. Beispielsweise sind Filtermethoden unter Umständen nicht erforderlich, wenn nur wenige Faktoren vorliegen oder wenn die Kosten für die Planungssimulationen, die zur Anpassung des komplexesten denkbaren Modells erforderlich sind, vollständig getragen werden können.

Warum und wie nutzt man Planung bei der Faktorauswahl?

Der experimentelle Prozess umfasst typischerweise eine Reihe von Planungsschritten. Oftmals können in den frühen Phasen des Experiments viele Faktoren berücksichtigt werden, die... sie können Um den Prozess zu beeinflussen, ist es zunächst notwendig, die lange Liste potenziell wichtiger Effekte (Haupteffekte und gegebenenfalls Interaktionseffekte) auf die wenigen relevantesten zu reduzieren. Bei vielen zu berücksichtigenden Faktoren können vollständige faktorielle Versuchspläne sehr zeitaufwendig oder kostspielig sein. Zudem stellen sie eine Ressourcenverschwendung dar, da in der Regel kein Interesse daran besteht, ein Modell mit drei oder mehr Faktoren und Interaktionen (oder zumindest nicht allen!) anzupassen. Faktorselektionsverfahren hingegen können helfen, die signifikantesten Effekte mit weniger Versuchsdurchläufen zu identifizieren.

Die Effektivität von Planungs- und Analysemethoden zur Faktorauswahl beruht auf vier grundlegenden Prinzipien. Obwohl diese Prinzipien nicht in allen Situationen anwendbar sind, sind sie in der Praxis so weit verbreitet, dass sie sich als sehr nützlich erweisen.

Dünnbelegung

Das Prinzip von Knappheit der Effekte Darin heißt es, dass es zwar viele Kandidatenfaktoren mit vielen anderen potenziellen Auswirkungen geben mag, aber nur ein kleiner Teil davon tatsächlich für eine konkrete Antwort von Bedeutung ist.

Hierarchie

Das Prinzip der Hierarchie Es besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Effekt von Bedeutung ist, mit zunehmender Ordnung des Modellterms abnimmt. Anders ausgedrückt: Ein Modellterm höherer Ordnung, wie beispielsweise eine Drei-Faktor-Interaktion, ist deutlich weniger wahrscheinlich von Bedeutung als ein Modellterm niedrigerer Ordnung, wie beispielsweise eine Zwei-Faktor-Interaktion, und eine Zwei-Faktor-Interaktion ist wiederum weniger wahrscheinlich von Bedeutung als ein Haupteffekt.

Vererbung

Das Prinzip von Vererbung besagt, dass das Vorhandensein von Termen höherer Ordnung im Allgemeinen mit dem Vorhandensein von Effekten niedrigerer Ordnung derselben Faktoren einhergeht. Wenn beispielsweise die Wechselwirkung zwischen X1 e X3 Bei etwas Wichtigem ist es wahrscheinlicher, dass der Haupteffekt von X1 oder de X3 Es ist auch wichtig.

Vorsprung

A Projektionseigenschaften Dies bezieht sich auf die Fähigkeit eines Versuchsdesigns, wünschenswerte statistische Eigenschaften (wie die Schätzbarkeit von Effekten und die Unabhängigkeit der Schätzwerte) beizubehalten, wenn irrelevante Effekte aus dem Modell entfernt und das Design auf ein niedrigdimensionales Design mit weniger Faktoren (den relevanten Effekten) „projiziert“ wird. Ein Design mit guten Projektionseigenschaften liefert zuverlässige Ergebnisse, wenn Sie diese Teilmenge der Faktoren analysieren.

Der erste Schritt bei der Planung der Faktorauswahl besteht darin, alle mit Ihrem Prozess verbundenen Faktoren zu identifizieren. Die Ergebnisse umfassen Ihre relevanten Faktoren – die Faktoren, die Sie während der Planung verändern können und von denen Sie erwarten, dass sie die Zielgröße beeinflussen – sowie alle Faktoren, die zufällige Schwankungen oder Störungen in den Prozess einbringen könnten. Idealerweise können Sie diese Störfaktoren während des Experiments kontrollieren oder ihre Auswirkungen in Ihrem statistischen Modell berücksichtigen. Sie sollten auch mögliche Effekte höherer Ordnung, wie z. B. Wechselwirkungen, in Betracht ziehen.

In der Praxis lassen sich jedoch möglicherweise nicht alle potenziellen Faktoren und deren Wechselwirkungen in die Planung einbeziehen. Gestaltungsentscheidungen hängen von verschiedenen Aspekten ab, darunter:

• Die Anzahl der Faktoren, die im Verhältnis zu Ihrem Versuchsbudget analysiert werden müssen.
• Die Zeit, die zur Erstellung eines Plans benötigt wird.
• Die Komplexität des Modells, das Sie anpassen möchten (d. h., möchten Sie nur die Haupteffekte schätzen oder auch einige oder alle Zwei-Faktor-Wechselwirkungen?).
• Art und Umfang der Vorkenntnisse oder Fachkenntnisse auf dem jeweiligen Gebiet.
• Die Kosten, die entstehen, wenn man wichtige Informationen verliert, weil man einen wirklich relevanten Effekt nicht erkennt.

In manchen Fällen kann es notwendig sein, mehrere Experimente durchzuführen, um die wichtigen Effekte zu identifizieren. Beispielsweise hat das ursprüngliche Versuchsdesign möglicherweise keine Schätzung von Zwei-Faktor-Wechselwirkungen zugelassen, sodass zusätzliche Experimente erforderlich sind, um diese zu überprüfen.

Es gibt viele Methoden zur Gestaltung eines Faktorauswahldesigns. „Klassische“ Designs, wie beispielsweise fraktionierte faktorielle Designs und das Plackett-Burman-Design, wurden Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt.Diese Methoden sind zwar weit verbreitet, weisen aber Einschränkungen auf. Moderne Verfahren wie kundenspezifische Versuchsplanung und die definitive Faktorauswahl nutzen einen algorithmischen Ansatz und bieten zahlreiche Vorteile. Unabhängig von der gewählten Methode stellen Faktorauswahlverfahren einen ersten Schritt dar, um die Verbesserung oder Optimierung eines Prozesses zu ermitteln.

Planung der Faktorauswahl : Ein Beispiel

Angenommen, Sie entwickeln einen Fertigungsprozess, bei dem die interessierenden Zielgrößen folgende sind: Leistung e Verunreinigung Ihre Aufgabe ist es, die idealen Einstellungen in diesem Prozess zu finden. maximieren Einkommen e minimieren zur Reinigung. Zunächst müssen Sie verstehen, was diese Reaktionen beeinflusst und wie.

Sie und Ihr Team haben neun Faktoren identifiziert, die Ihrer Meinung nach wichtig für die Wirkung sind. Einkommen e zum Reinigen Sieben dieser Faktoren sind kontinuierlich, zwei sind kategorisch. Basierend auf bisherigen Erfahrungen haben Sie für jeden Faktor Intervalle und Stufen gewählt, die – sofern der Faktor tatsächlich wichtig ist – eine ausreichend große Veränderung in der Reaktion bewirken, um von der Planung erfasst zu werden.

Die Faktoren und ihre jeweiligen Bereiche oder Stufen sind:

• Mischzeit: 10 bis 30 Minuten
• Druck: 60-80 kPa
• pH-Wert: 5-8
• Rührgeschwindigkeit: 100-120 U/min
• Katalysator: 1-2%
• Temperatur: 15-45 graus C
• Verpflegungskosten: 10-15 l/min
• Verkäufer: Günstig, schnell, gut
• Partikelgröße: Klein, Groß

Sie gehen nicht davon aus, dass alle neun Faktoren wichtig sind (Prinzip der Effektsparsamkeit), wissen aber zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht, welche es sein werden. Sie vermuten mindestens eine Zwei-Faktor-Interaktion und möglicherweise quadratische Effekte, erwarten aber, dass diese weniger wichtig sind als die Haupteffekte (Hierarchieprinzip). Sie nehmen außerdem an, dass alle vorhandenen Interaktionen die wichtigen Haupteffekte betreffen, die Sie in Ihrem Versuchsplan identifiziert haben (Vererbungsprinzip). Schließlich wissen Sie, dass Sie die Interaktionseffekte, die die wichtigen Haupteffekte betreffen, schätzen können, wenn Sie irrelevante Effekte aus Ihrem Modell entfernen können, selbst wenn der ursprüngliche Versuchsplan deren Schätzung nicht zuließ (Projektionseigenschaft).

Es gibt viele mögliche Strategien zur Faktorauswahl: klein angelegte Versuchsanordnungen, die eine Schätzung ermöglichen. nur die Haupteffekte;mittelgroße Pläne , die es ermöglichen, die Haupteffekte abzuschätzen und manche Zwei-Faktor-Wechselwirkungen; oder große Versuchsdesigns, die die Schätzung der Haupteffekte ermöglichen und alle Die möglichen Wechselwirkungen zweier Faktoren. Die anzuwendende Strategie hängt maßgeblich von den oben beschriebenen Überlegungen ab. (Quadratische Effekte werden typischerweise in der Optimierungsplanung geprüft, nachdem die wichtigen Faktoren identifiziert wurden.)

In diesem Beispiel gehen wir davon aus, dass Sie für Ihre Faktorselektionsplanung nur über ein relativ kleines Budget verfügen. Daher entscheiden Sie sich zunächst für einen Plan, der lediglich die Haupteffekte berücksichtigt, um wichtige Faktoren zu identifizieren. Obwohl Sie wissen, dass dies eine riskante Strategie sein kann, insbesondere wenn Wechselwirkungen stärker als die Haupteffekte auftreten, fühlen Sie sich mit den Prinzipien der Faktorselektion vertraut und haben Mittel für zusätzliche Experimente reserviert, falls Sie die Ergebnisse dieses Experiments präzisieren müssen.

Nachdem Strategie und Planung festgelegt wurden, entwickeln Sie einen Plan mit 22 Umsetzungsschritten. Vier davon sind... zentrale Punkte – Ausführungen, bei denen alle kontinuierlichen Faktoren auf ihrem Durchschnittsniveau liegen.

Es gibt mehrere Gründe, Mittelpunkte in ein Versuchsdesign einzubeziehen. Mittelpunkte ermöglichen die Replikation in einem Design, die andernfalls nicht möglich wäre. Dadurch können Sie den reinen Fehler abschätzen und statistische Tests für die Modellterme durchführen. Sie können die Mittelpunktläufe über das gesamte Design verteilen, um unerwartete Prozessänderungen während des Experiments zu überwachen; die Ergebnisse dieser Läufe sollten einander ähnlich sein, da es sich um Replikate handelt.

Im Kontext der Faktorselektionsplanung können zentrale Punkte genutzt werden, um erkennen Das Vorhandensein einer Krümmung in der Antwortfunktion wird mittels eines Anpassungstests festgestellt. Ein statistisch signifikanter Anpassungstest deutet darauf hin, dass das Modell möglicherweise einen oder mehrere quadratische Terme auslässt. Da dies im Versuchsaufbau nicht vorgesehen war… die Schätzung Im Hinblick auf quadratische Terme – also deren Nachweis – deutet ein Test auf signifikante Abweichungen auf die Notwendigkeit weiterer Experimente hin, um die Krümmung der Antwort zu verstehen.

Sie übernehmen die Planung und notieren die Antworten. Leistung e Verunreinigung, wie in der folgenden Tabelle dargestellt.

Sie verwenden multiple lineare Regression. Um für jede Antwort ein Modell anzupassen. Die Faktoren werden in der Reihenfolge ihrer Wichtigkeit (basierend auf einem Maß namens Logworth) angezeigt. ) für jede Antwort in der folgenden Grafik.

Auf Grundlage Ihres Faktorauswahlplans haben Sie Folgendes ermittelt: EinkommenDie größten Auswirkungen sind die Temperatur e o pH Die größten Auswirkungen für als Impurezas sie sind die Temperatur, o pH e der Lieferant .

Auf Grundlage dieser Ergebnisse könnten Ihre nächsten Schritte die Reduzierung des Modells (Entfernen irrelevanter Terme), die Anpassung eines neuen Modells mit den relevanten Termen und ihren Wechselwirkungen (falls möglich) sowie die Analyse des Anpassungstests umfassen, um Anzeichen von Krümmungen in den Zielgrößen zu erkennen. Diese Ergebnisse können Ihre weiteren Planungsentscheidungen leiten, während Sie Ihren Prozess verstehen und schließlich optimieren.

Algorithmische Designs für die Faktorauswahl

Was ist algorithmische Planung zur Faktorauswahl?

Algorithmische Versuchspläne zur Faktorauswahl werden mithilfe von Versuchsplanungssoftware (DOE) erstellt, um dem jeweiligen experimentellen Kontext gerecht zu werden. Ein solcher algorithmischer Versuchsplan kann verschiedene Faktorentypen, Einschränkungen des Versuchsraums, Begrenzungen der Randomisierung und variable Versuchsanzahlen berücksichtigen, was letztendlich zu einem statistisch optimierten Versuchsplan für die Faktorauswahl führt.

Wann sollte ich algorithmische Planung zur Faktorauswahl einsetzen??

Algorithmische Faktorauswahlverfahren sind in nahezu jedem Faktorauswahlkontext anwendbar. Sie sind besonders nützlich, wenn die Situation spezifische Anforderungen oder Einschränkungen aufweist, die mit klassischen Faktorauswahlmethoden nicht erfüllt werden können.

Warum verwenden?Algorithmische Designs für die Faktorauswahl?

Faktorselektionsverfahren bieten eine effiziente Möglichkeit, denjenigen Faktor zu identifizieren, der eine Zielgröße am stärksten beeinflusst. Algorithmische Faktorselektionsverfahren sind dann nützlich, wenn klassische Versuchsdesigns, wie beispielsweise fraktionelle Faktorversuche oder Plackett-Burman-Versuchsdesigns, im jeweiligen experimentellen Kontext unpraktisch oder nicht durchführbar sind.

Klassische Faktorauswahlverfahren werden seit Jahren erfolgreich eingesetzt. Sie wurden jedoch vor Jahrzehnten als umfassende Lösungen für die routinemäßige Versuchsplanung (Design of Experiments, DOE) entwickelt. In der Praxis stoßen Forschende jedoch häufig auf Kontexte oder Herausforderungen, die mit klassischen Verfahren nicht ohne Weiteres bewältigt werden können. Beispielsweise kann ein klassisches Faktorauswahlverfahren die Untersuchung eines Bereichs des Faktorraums erfordern, der nicht realisierbar oder gar unmöglich zu erforschen ist, oder es kann eine Anzahl von Versuchen erfordern, die das verfügbare Budget übersteigt.

Klassische Faktorenselektionspläne können dazu führen, dass die Situation an den Plan angepasst wird, was den Ausschluss von Faktoren oder Stufen, die andernfalls getestet würden, eine manuelle Modifizierung des Plans zum Nachteil seiner statistischen Vorteile oder andere Nachteile mit sich bringen kann.

Algorithmische Faktorauswahlverfahren nutzen einen Rechenalgorithmus, um ein an den jeweiligen experimentellen Kontext angepasstes Design zu erstellen. Algorithmische Designs ermöglichen verschiedene Anpassungen, darunter unter anderem:

• Geben Sie eine Anzahl von Ausführungen an, die Ihrem Ausführungsbudget entspricht.
• Die Kombination mehrerer verschiedener Faktoren in einem einzigen Plan.
• Der Planungsspielraum sollte eingeschränkt werden, um unerwünschte Kombinationen von Faktorkonfigurationen zu vermeiden.
• Es werden verschiedene Einschränkungen für die Randomisierung eingeführt.

Wie werden algorithmische Faktorselektionsdesigns konstruiert??

Die DOE-Software erstellt anhand Ihrer Anforderungen ein algorithmisches Faktorauswahldesign. Nach Angabe der Faktoren und ihrer Typen, der gewünschten Anzahl an Versuchen, der Einschränkungen des Versuchsraums und weiterer Parameter ermittelt die Software mithilfe eines Algorithmus ein statistisch optimales Faktorauswahldesign, das Ihren Spezifikationen entspricht. Sie können außerdem festlegen, ob das Design nur für die Faktorauswahl von Haupteffekten oder auch für spezifische Effekte höherer Ordnung verwendet werden soll.

In diesem Kontext wird „statistisch optimal“ durch einen numerischen Wert definiert (a Optimalitätskriterium Diese Kennzahl quantifiziert eine statistische Eigenschaft des Versuchsdesigns. In einem typischen Faktorauswahldesign misst das Optimalitätskriterium, wie gut das Design genaue Schätzungen der Faktoreffekte ermöglicht. Dies ist in Faktorauswahlexperimenten notwendig, da genaue Schätzungen der Effekte erforderlich sind, um präzise zu bestimmen, welche Faktoren die Zielgröße am stärksten beeinflussen. Andere Optimalitätskriterien sind in anderen Kontexten der Versuchsplanung (DOE) nützlich; beispielsweise verwenden algorithmische Response-Surface-Designs typischerweise ein Optimalitätskriterium, das quantifiziert, wie gut das Design die Erstellung eines Modells ermöglicht, das genaue Vorhersagen der Zielgröße liefert.

Was ist ein Beispiel für algorithmische Planung zur Faktorauswahl??

Beginnen wir mit dem gleichen Szenario, das auf der Planungsübersichtsseite für die Faktorauswahl dargestellt wird.jedoch mit zusätzlichen Komplikationen.

Stellen Sie sich vor, Sie arbeiten für ein Pharmaunternehmen und entwickeln ein Herstellungsverfahren für ein neues Medikament. Ihre Aufgabe ist es, die Faktoren zu identifizieren, die den Verunreinigungsgrad des Medikaments am stärksten beeinflussen, mit dem Ziel, die Response-Surface-Methodik anzuwenden.Diese Faktoren dienen dazu, Konfigurationen zu finden, die Verunreinigungen minimieren. Die Faktoren in dieser Faktorauswahlplanung sind:

• Mischzeit: (kontinuierlich; 10 bis 30 Minuten)
• Druck: (kontinuierlich; 60 bis 80 kPa)
• pH-Wert: (kontinuierlich; 5 bis 8)
• Rührgeschwindigkeit: (kontinuierlich; 100 bis 120 U/min)
• Katalysator: (kontinuierlich; 1 % bis 2 %)
• Temperatur: (kontinuierlich; 15° bis 45° Celsius)
• Verpflegungskosten: (kontinuierlich; 10 bis 15 l/min)
• Anbieter: (dreistufige Kategorie; drei verschiedene Rohstofflieferanten)
• Partikelgröße: (Zweistufig kategorisch; klein und groß)

Bei der Konzeption dieses Experiments stehen Sie vor zwei Herausforderungen. Erstens beschränken Ressourcenbeschränkungen die Anzahl der Durchläufe auf 15, was weniger als 2 % der 768 Knotenpunkte im Faktorraum abdeckt. Mit diesem spärlichen Versuchsdesign müssen Sie den Haupteffekt jedes Faktors sowie die Möglichkeit einer quadratischen Krümmung der Effekte eines oder mehrerer stetiger Faktoren untersuchen. Dies erfordert mindestens einen zentralen Punkt (d. h. einen Durchlauf mit dem Mittelwert aller stetigen Faktoren). Zweitens wissen Sie, dass die Durchführung der Versuchsdesigns in hoher Anzahl von Durchläufen problematisch sein kann. Druck und niedrig Eine Variation der Temperatur (und umgekehrt) ist nicht möglich. Daher muss der Versuchsplan so eingeschränkt werden, dass Versuchsläufe in diesen Bereichen des Faktorraums vermieden werden. Diese Einschränkung ist unten grafisch dargestellt; die roten Bereiche kennzeichnen die zu vermeidenden Bereiche des Faktorraums.

Zunächst versucht man, ein klassisches Faktorauswahldesign zu erstellen, was die Möglichkeiten sofort einschränkt, da die meisten klassischen Faktorauswahldesigns davon ausgehen, dass alle kategorialen Faktoren zweistufig sind. der Lieferant Es verfügt über drei Ebenen. Die verfügbare klassische Planung (ein L18-Plan) erfordert mindestens 18 Durchläufe und berücksichtigt die Einschränkung nicht. Depression von TemperaturSie entscheiden sich also dafür, das klassische Design zugunsten des algorithmischen Designs abzulehnen.

Mithilfe von Software zur Versuchsplanung (DOE), wie z . B. JMPSie erstellen ein Design mit 15 Durchläufen, wobei keine Durchläufe in den nicht realisierbaren Randbereichen des Faktorraums erfolgen. Die Software teilt Ihnen mit, dass das Design mindestens 11 Durchläufe erfordert, um die Achsenabschnitte und Haupteffekte von sieben stetigen Faktoren, einem dreistufigen und einem zweistufigen kategorialen Faktor zu schätzen. (Beachten Sie, dass ein Faktor mit k Stufen die Schätzung von k-1 Modellparametern erfordert.) Da Ihnen noch vier Durchläufe zur Verfügung stehen, geben Sie an, dass der Algorithmus ein Design mit zwei Mittelpunkten und zwei replizierten Durchläufen erzeugen soll. Diese helfen dabei zu beurteilen, ob ein stetiger Effekt eine quadratische Krümmung aufweist. (Wir werden dies bei der Datenanalyse genauer besprechen.) Die Designtabelle finden Sie unten, gefolgt von einer Grafik, die das Design im Faktorraum darstellt. Druck x Temperatur .

Sie stellen fest, dass die Planung anders aussieht als jede klassische Faktorauswahlplanung, die Sie je gesehen haben. der Druck Wie viel die Temperatur Die Messungen erfolgen auf fünf Ebenen anstatt auf zwei oder drei. Sie werden außerdem feststellen, dass die Mittelpunkte nahe, aber nicht exakt an den Mittelpunkten der Bereiche gemessen werden. Depression e Temperatur (das heißt, 69,9 für Druck und 30,1 für Temperatur Dies geschieht, weil der Planungsalgorithmus einen statistisch optimalen Plan gefunden hat, der seine Nebenbedingung erfüllt. Depression von Temperatur, Während Sie in der Analysephase nach präzisen Parameterschätzungen suchen, stellen Sie fest, dass die Bedingung tatsächlich erfüllt wurde, da sich in der oberen linken oder unteren rechten Ecke des Graphen keine Punkte befinden. Depression von Temperatur Stattdessen positionierte der Algorithmus die Punkte so nah wie möglich an diesen Ecken, innerhalb der durch seine Einschränkung erlaubten Grenzen.

Anschließend führen Sie 15 Versuche in zufälliger Reihenfolge durch, messen jedes Mal den resultierenden Verunreinigungsgrad und analysieren dann die Ergebnisse mithilfe eines multiplen Regressionsmodells. mit ausschließlich Haupteffekten. Sie stellen fest, dass die Analyse drei Faktoren mit p-Werten unter 0,05 aufdeckt, was einen statistischen Nachweis für einen Effekt auf … liefert. zum Reinigen : Temperatur, Anbieter e pH Sie kommen zu dem Schluss, dass die anderen Faktoren inaktiv sind oder nur vernachlässigbare Auswirkungen haben.

Als Nächstes erstellen Sie ein Diagramm, um die Art der von Ihnen entdeckten Effekte zu verstehen. Das Diagramm zeigt, dass die Effekte der Temperatur e Die pH-Werte sind positiv, mit folgendem Effekt der Temperatur größer über den gesamten Bereich. Man kann auch ein klares Muster in der Wirkung von Anbieter…wobei der Billiglieferant einen deutlich höheren Anteil an Verunreinigungen aufweist als die schnellen oder guten Lieferanten. Außerdem fällt auf, dass die beiden zentralen Punkte (dargestellt als offene Kreise) deutlich unterhalb der Linien liegen, die die Auswirkungen von … darstellen. Temperatur e pH-Wert Dies deutet auf eine quadratische Krümmung in mindestens einem stetigen Effekt hin, obwohl man anhand der zentralen Punkte nicht feststellen kann, welcher Faktor dafür verantwortlich ist.

Abschließend konsultieren Sie einen Anpassungstest, der prüft, ob Ihr Modell Effekte wie die quadratische Krümmung nicht erfasst. Dieser Test erfordert mindestens eine Replikation im Versuchsaufbau , und Sie haben korrekt angegeben, dass der Algorithmus Replikationen berücksichtigen soll. Der p-Wert des Tests ist kleiner als 0,05, daher schließen Sie, dass das Modell einen Effekt nicht erfasst. Dies deckt sich mit Ihrer visuellen Beurteilung der Krümmung im Diagramm. Sie entscheiden sich, mit den drei identifizierten aktiven Faktoren fortzufahren und Ihre Planung um neue Läufe zu erweitern, um eine Antwortflächenplanung zu erstellen, die es Ihnen ermöglicht, die quadratische Krümmung sowohl für die kontinuierlichen Faktoren als auch für alle Wechselwirkungen zwischen den drei Faktoren zu schätzen.

Mangelnde Anpassung

Endgültige Planung für die Faktorauswahl

Was sind definitive Faktorselektionspläne?

Ein definitives Screening-Design (DSD) ist ein spezielles Versuchsdesign zur Identifizierung desjenigen kontinuierlichen Faktors, der eine Zielgröße am stärksten beeinflusst. DSDs benötigen weniger Versuchsdurchläufe und bieten daher Vorteile gegenüber Faktorselektionsdesigns.
Standardmodelle mit ähnlichen Laufgrößen. Sie reduzieren die Mehrdeutigkeit bei der Identifizierung aktiver Effekte, ermöglichen die Erkennung von Krümmungen in den Effekten einzelner Faktoren und erlauben die Schätzung vollständiger quadratischer Modelle auf einer kleinen Teilmenge von Faktoren.

Warum sollte man einen festgelegten Plan für die Faktorauswahl verwenden?

DSDs bieten zahlreiche Vorteile gegenüber Standard-Faktorselektionsdesigns wie fraktionierten faktoriellen oder Plackett-Burman-Designs. Diese Standarddesigns können einige Haupteffekte und Zwei-Faktor-Wechselwirkungen verschleiern und die Wechselwirkungen zweier Faktoren untereinander vollständig vermischen, was die Identifizierung aktiver Effekte erschwert.

Darüber hinaus können zwar Standard-Faktorselektionspläne mit zentralen Punkten die Gegenwart Obwohl die Krümmung auf einen oder mehrere Faktoren zurückzuführen ist, können sie nicht feststellen, welche Faktoren die Ursache sind. Quelle der Krümmung ohne die Notwendigkeit zusätzlicher Ausführungen. Im Vergleich dazu bieten definitive Faktorauswahlpläne mehrere Vorteile:

• Die Haupteffekte sind orthogonal zu den Zwei-Faktor-Wechselwirkungen, was bedeutet, dass ihre Schätzungen nicht verzerrt sind, wenn die Zwei-Faktor-Wechselwirkungen aktiv sind.
• Keine Wechselwirkung zwischen zwei Faktoren ist vollständig mit einer anderen vermischt, wodurch die Mehrdeutigkeit bei der Identifizierung aktiver Wechselwirkungseffekte zwischen zwei Faktoren verringert wird.
• Alle quadratischen Effekte sind in Modellen mit nur Haupteffekten und quadratischen Effekten schätzbar, wodurch sich feststellen lässt, welche spezifischen Faktoren eine Krümmung in ihrer Beziehung zur Zielgröße aufweisen.

DSDs bieten diese Vorteile bei reduzierter Anzahl an Versuchen. Bei sechs oder mehr Faktoren benötigen diese Versuchspläne nur geringfügig mehr Versuche als das Doppelte der Faktorenanzahl. Beispielsweise benötigt ein DSD minimaler Größe bei 14 kontinuierlichen Faktoren nur 29 Versuche, einen Bruchteil des entsprechenden vollständigen faktoriellen Versuchsplans (2¹⁴ = 29). 16.384 Hinrichtungen.

Im Vergleich dazu benötigt ein fraktorieller Versuchsplan mit Auflösung IV mindestens 32 Versuche. Wie DSD vermeidet er Aliasing von Haupteffekten und Zwei-Faktor-Wechselwirkungen, jedoch vermischt er im Gegensatz zu DSD einige Zwei-Faktor-Wechselwirkungen vollständig miteinander und kann die quadratische Krümmung einzelner Faktoren nicht beurteilen, selbst wenn Mittelpunkte hinzugefügt werden. DSD erfasst in einem effizienten Versuchsplan eine relativ große Menge an Informationen.

Neben der Faktorauswahl ermöglichen DSDs bei einer geringen Anzahl aktiver Faktoren auch die direkte Optimierung der Zielgröße mittels Response-Surface-Methodik. Ein DSD mit sechs oder mehr Faktoren erlaubt die Schätzung eines vollständigen quadratischen Modells für beliebige drei Faktoren, während DSDs mit 18 oder mehr Faktoren das vollständige quadratische Modell für beliebige vier Faktoren und DSDs mit 24 oder mehr Faktoren das vollständige quadratische Modell für beliebige fünf Faktoren ermöglichen. Das bedeutet: Bei wenigen aktiven Faktoren kann dasselbe Design sowohl für die Faktorauswahl als auch für die Zielgrößenoptimierung verwendet werden. Andernfalls kann das DSD bei Bedarf durch zusätzliche Versuchsreihen ergänzt werden.

Wie man einen endgültigen Plan für die Faktorauswahl erstellt?

Die Vorteile von DSDs beruhen auf ihrer speziellen Struktur. Betrachten wir beispielsweise diese Planungstabelle für ein DSD mit sechs kontinuierlichen Faktoren. Jeder Faktor ist so kodiert, dass er einen hohen Wert von 1, einen niedrigen Wert von -1 und einen mittleren Wert von 0 hat.

Die Vorteile von DSDs beruhen auf ihrer speziellen Struktur. Betrachten wir beispielsweise diese Planungstabelle für ein DSD mit sechs kontinuierlichen Faktoren. Jeder Faktor ist so kodiert, dass er einen hohen Wert von 1, einen niedrigen Wert von -1 und einen mittleren Wert von 0 hat.

DSD ist ein Planungsinstrument.überlappendIn diesem Modell wird jeder Durchlauf mit einem anderen Durchlauf gepaart, in dem die Vorzeichen aller Faktoren umgekehrt sind. Beispielsweise bilden die Durchläufe 1 und 2 ein überlappendes Paar, wobei in Durchlauf 2 lediglich die Vorzeichen der Werte aus Durchlauf 1 umgekehrt werden. Dasselbe gilt für die Durchläufe 3 und 4, 5 und 6 usw., wobei Durchlauf 13 als zentraler Punkt dient und den Mittelwert aller Faktoren misst. Durch die Überlappung des Versuchsaufbaus werden Aliasing-Effekte der Haupteffekte und Zwei-Faktor-Wechselwirkungen vermieden.

Zu beachten ist, dass in jedem Studienpaar mit überlappenden Variablen (Foldover) ein Faktor in beiden Durchläufen mit seinem Mittelwert gemessen wird, während alle anderen Faktoren mit ihren Minimal- oder Maximalwerten gemessen werden. Dadurch befinden sich die Messpunkte an den Rändern des Faktorraums und nicht, wie in Standardstudien zur Faktorauswahl, an den Ecken oder im Zentrum. Dieser Aspekt der Studie ermöglicht die Schätzung aller quadratischen Effekte.

Durch die Darstellung des Designs in den ersten drei Faktoren wird die Struktur eines DSD noch deutlicher. Jeder Punkt (außer dem Mittelpunkt) besitzt einen entsprechenden Wendepunkt, der sich spiegelbildlich im Würfel befindet. Das Design beinhaltet außerdem Mittelpunkte an den Rändern des Faktorraums, wobei jeder Faktor insgesamt dreimal an seinem Mittelpunkt gemessen wird, einschließlich des Mittelpunkts.

Dieses Planungsbeispiel stellt die Mindestanzahl an Läufen für sechs kontinuierliche Faktoren dar. In der Praxis empfiehlt es sich, mindestens vier zusätzliche Läufe einzubeziehen. Dies wird durch die Einführung inaktiver Dummy-Faktoren in die Planung erreicht. Dadurch wird die Fähigkeit des DSD, aktive Zwei-Faktor-Wechselwirkungen und quadratische Krümmungen zu erkennen, erheblich verbessert.

Wie erstellt man also sein eigenes DSD? Keine Sorge, Sie müssen das nicht selbst machen; Statistiksoftware wie JMP kann Ihnen dabei helfen.Sie können den gesamten Planungsprozess für Sie übernehmen.

Ein Beispiel für eine definitive Planung zur Faktorauswahl.

Angenommen, Sie sind Ingenieur in einem Biotechnologieunternehmen und mit der Entwicklung eines neuen Extraktionsverfahrens beauftragt, um die Ausbeute (in Milligramm) zu maximieren. Zunächst müssen Sie die Prozessfaktoren identifizieren, die die Ausbeute am stärksten beeinflussen. Dazu testen Sie verschiedene Lösungsmittel, pH-Werte und Extraktionszeiten. Ihre Faktoren und deren Bereiche sind:

• Methanol: (0 bis 10 ml)
• Ethanol: (0 bis 10 ml)
• Propanol: (0 bis 10 ml)
• Butanol: (0 bis 10 ml)
• pH-Wert: (6 bis 9)
• Dauer: (1 bis 2 Stunden)

Sie entscheiden sich für ein DSD-Verfahren, da Sie ausschließlich kontinuierliche Faktoren haben, Zwei-Faktor-Wechselwirkungen und quadratische Krümmung vermuten und nach der Faktorauswahl ein vollständiges quadratisches Modell mit den aktiven Faktoren anpassen möchten, ohne viele (oder überhaupt) zusätzliche Läufe zu benötigen. Sie entscheiden sich, vier Läufe über das Minimum von 13 hinaus durchzuführen, um Effekte zweiter Ordnung besser zu erkennen. Sie verwenden das folgende DSD-Verfahren mit 17 Läufen und tragen die Ergebnisse in die Spalte ein. Leistung Die

Die Visualisierung des Haupteffekts jedes Faktors zeigt, dass o Methanol e Zeit starke positive Auswirkungen auf Einkommen, mit o Ethanol Sie üben ebenfalls eine positive, wenn auch geringere, Wirkung aus. Die Linien für Propanol, Butanol e Die pH-Werte erscheinen konstant, was auf vernachlässigbare Haupteffekte dieser Faktoren hindeutet. Ein Modellmultiple Regression mit nur den Haupteffekten bestätigt, dass die Haupteffekte von Methanol, Ethanol e Zeit Sie sind aktiv, und da Sie ein DSD verwendet haben, wissen Sie, dass die Schätzungen der Haupteffekte nicht durch aktive Wechselwirkungen zwischen zwei Faktoren verzerrt sind, die Sie noch nicht untersucht haben. Sie entscheiden sich, fortzufahren. Methanol, Ethanol e Zeit als seine aktiven Faktoren.

Da Sie ein DSD mit sechs Faktoren verwendet und nur drei aktive Faktoren identifiziert haben, ist es möglich, ein vollständiges quadratisches Modell anzupassen, ohne weitere Läufe in die Planung aufzunehmen. Sie verwenden multiple Regression mit einem Variablenselektionsverfahren. um zu einem endgültigen Optimierungsmodell zu gelangen. Dieses Modell zeigt, dass der Effekt von Methanol weist eine quadratische Krümmung auf und dass o Ethanol e Zeit Sie weisen eine Zwei-Faktor-Interaktion auf: o Ethanol Es hat einen vernachlässigbaren Effekt, wenn Zeit Es ist zwar gering, aber der positive Effekt ist stark, wenn Zeit Es ist groß.

Anhand des finalen Modells identifizieren Sie die folgenden idealen Faktorkonfigurationen, die gemäß den Vorhersagen ein Ergebnis liefern werden. Leistung Durchschnittlich 45,34 mg.

• Methanol = 8,13 ml
• Ethanol = 10 ml
• Zeit = 2 Stunden

Fraktionelle faktorielle Versuchspläne

Was ist ein fraktorielles Versuchsdesign?

Fraktionelle faktorielle Versuchspläne sind ein klassischer Typ von Faktorauswahlversuchsplänen, der dann eingesetzt werden kann, wenn ein vollständiger faktorieller Versuchsplan mit allen möglichen Kombinationen von Faktorbehandlungen zu zeitaufwändig oder zu teuer ist.

Ein fraktioniertes faktorielles Design ist eine Teilmenge oder ein Bruchteil eines vollständigen faktoriellen Designs, bei dem die gewählte Teilmenge der Behandlungskombinationen die Schätzung zumindest der Haupteffekte und möglicherweise einiger oder aller Wechselwirkungen zwischen zwei Faktoren ermöglicht.

Wann sollte ich ein fraktorielles Versuchsdesign verwenden?

Wie bei jedem Faktorauswahldesign verwendet man in den frühen Phasen der Experimente ein fraktorielles Design, wenn es darum geht, Faktoren auszuwählen und die wichtigsten zu identifizieren. Moderne Faktorauswahlmethoden, wie algorithmische Designs oder definitive Faktorauswahldesigns, sind jedoch besser geeignet.Sie bieten mehr Flexibilität hinsichtlich der Anzahl der erforderlichen Durchläufe oder der abschätzbaren Effekte.

Wie verwende ich fraktionierte faktorielle Versuchspläne?

Die meisten Faktorauswahlverfahren, einschließlich fraktionierter faktorieller Versuchspläne, weisen ein gewisses Maß an... auf. Verwirrung oder AliasingDies liegt daran, dass nicht alle möglichen Behandlungskombinationen wie in einem vollständigen faktoriellen Versuchsplan umgesetzt werden. Anders ausgedrückt: Manche Effekte werden mit anderen Effekten vermischt (oder verfälscht). Wenn zwei oder mehr Effekte miteinander vermischt sind, ist es unmöglich, ihre individuellen Auswirkungen auf die Zielgröße während der Datenanalyse separat zu schätzen.

Betrachten wir nun den zweistufigen fraktoriellen Versuchsplan, bei dem jeder Faktor nur zwei Stufen hat. Dieser Versuchsplan ist eine Teilmenge des vollständigen zweistufigen faktoriellen Versuchsplans, kurz 2-stufiger Versuchsplan.^k, Wo k ist die Anzahl der Faktoren. Die Anzahl der Behandlungen ist eine Zweierpotenz, und die Versuchspläne werden typischerweise durch das Verhältnis des vollständigen faktoriellen Versuchsplans zur gleichen Anzahl von Faktoren definiert (z. B.1/2 Fraktion,1/4 Fraktion, 1/8 Bruch usw.).

Generatoren: Zweistufige fraktorielle Versuchspläne werden mit 2 bezeichnet.^kr, Wo r Dies ist die Anzahl der Generatoren, die zur Auswahl der Teilmenge des vollständigen faktoriellen Versuchsplans verwendet werden. (Manche Quellen bezeichnen dies als...) p, anstatt r Generatoren sind Interaktionsterme höherer Ordnung, die festlegen, wie der Anteil der Versuche im vollständigen faktoriellen Versuchsplan gewählt wird. Sie bestimmen, welche Effekte miteinander konfundiert werden. Man kann Generatoren verwenden, um fraktionelle faktorielle Versuchspläne manuell zu erstellen, aber die meisten Anwender nutzen dafür Statistiksoftware.

Auflösung: Die Auflösung eines fraktoriellen Versuchsplans gibt an, wie gut sich die Haupteffekte von den Wechselwirkungen trennen lassen. Anders ausgedrückt: Sie misst den Grad der Störfaktoren im Versuchsplan. Je höher die Auflösung, desto geringer die Störfaktoren. Bei einem Versuchsplan der Auflösung III sind die Haupteffekte nicht mit anderen Haupteffekten, aber mit mindestens einigen Zwei-Faktor-Wechselwirkungen konfundiert. Bei einem Versuchsplan der Auflösung IV sind die Haupteffekte weder mit anderen Haupteffekten noch mit Zwei-Faktor-Wechselwirkungen konfundiert, Zwei-Faktor-Wechselwirkungen können jedoch untereinander konfundiert sein. Bei Versuchsplänen der Auflösung V lassen sich die Haupteffekte und alle Zwei-Faktor-Wechselwirkungen schätzen, Zwei-Faktor-Wechselwirkungen sind jedoch mit Drei-Faktor-Wechselwirkungen konfundiert.

Stellen wir uns einen fraktoriellen Versuchsplan mit drei Faktoren in vier Durchgängen vor, also einen 2-Faktor- Versuchsplan . ^{3-1 .}

Dies ist ein Resolutionsplan III, daher die Hauptauswirkungen ( X1, X2 e X3 Sie sind nicht untereinander verknüpft, aber jeder von ihnen ist auf eine Interaktion zweier Faktoren verknüpft.

In diesem Szenario X1 Es wird mit dem Zusammenspiel zweier Faktoren verwechselt. X2*X3 Bei der Analyse der Planungsdaten berücksichtigt das statistische Modell nur Schätzwerte für X1, X2 e X3 Die Auswirkungen der Wechselwirkung sind nicht abschätzbar. In Ihrem Modell ist die Schätzung für X1 Es ist tatsächlich die Kombination der Effekte von X1 und die Interaktion X2*X3Das bedeutet, dass selbst bei einem statistisch signifikanten Schätzwert nicht feststeht, ob der Haupteffekt oder die Wechselwirkung den größeren Einfluss hat. Um die jeweiligen Effekte zu isolieren, wären zusätzliche Planungen erforderlich.

Betrachten wir ein Szenario, in dem Sie untersuchen möchten, wie Faktoren in einem Halbleiterherstellungsprozess die... beeinflussen können. Dicke des so entstehenden, auf Wafern gewachsenen Dünnfilms. Die vier Faktoren (und ihre Minimal- und Maximalwerte) sind: Gasströmung (250, 275), Temperatur (825, 850), LF-Leistung (Niederfrequenz) (180, 260) und HF-Leistung (Hochfrequenz) (750, 850).

Ein vollständiger faktorieller Versuchsplan, der alle möglichen Behandlungskombinationen berücksichtigt, würde 16 Wiederholungen erfordern, aber Sie möchten ermitteln, welche Faktoren Einfluss haben... Dicke In einem kleineren Versuchsdesign. Ein fraktionelles faktorielles Design mit acht Wiederholungen (ein Bruchteil von ½) wäre ein auflösendes Instrumentalvariablen-Design, was bedeutet, dass die Haupteffekte nicht mit Wechselwirkungen konfundiert sind. Sie können auch einige Zwei-Faktor-Wechselwirkungen schätzen, obwohl diese mit anderen Zwei-Faktor-Wechselwirkungen konfundiert sind. Die acht Behandlungskombinationen für dieses Design^2⁴⁻¹ Sie sind unten abgebildet.

Die Verwirrung zwischen den Wechselwirkungen zweier Faktoren lässt sich wie folgt beschreiben:

Beim Anpassen eines Modells an Ihre Daten kann nur eine Interaktion aus jedem Satz konfundierter Interaktionen geschätzt werden. Das Modell könnte beispielsweise Folgendes umfassen: Gasdurchfluss*Temperatur oder Niederfrequenzleistung*HochfrequenzleistungAber nicht beides. Und denken Sie daran: Unabhängig davon, welcher Term im Modell berücksichtigt wird, ist die Schätzung die Summe beider Effekte; sie lassen sich nicht trennen. Wir werden die Wechselwirkungen aus der linken Spalte bei der Modellanpassung einbeziehen, diese Wahl ist jedoch willkürlich (in diesem Beispiel wird sie durch die Reihenfolge bestimmt, in der die Haupteffekte im Versuchsaufbau berücksichtigt wurden).

Sie führen die Planung durch und erfassen die Ergebnisse für die Zielvariable. Dicke Eine Säule Standard Die Tabelle zeigt die Minimal- (−) und Maximalwerte (+) der Faktoren in jeder Behandlungskombination. Die Behandlungen sind zufällig angeordnet.

Analyse eines fraktoriellen Versuchsdesigns

Die Analyse der experimentellen Ergebnisse besteht in der Erstellung eines statistischen Modells. Dies beschreibt den Einfluss der Faktoren auf die Zielgröße. Mit insgesamt acht Durchläufen lässt sich ein Modell anpassen, das den Achsenabschnitt und sieben Terme umfasst: vier Haupteffekte und drei der sechs Zwei-Faktor-Wechselwirkungen. Dieses Modell wird als gesättigtes Modell bezeichnet, da es die gleiche Anzahl an Schätzwerten (Parametern) wie Datenpunkte aufweist.

Die Haupteffekte sind nicht mit Zwei-Faktor-Wechselwirkungen verwechselt, jedoch ist jeder von ihnen mit Drei-Faktor-Wechselwirkungen verwechselt. Glücklicherweise ist die Prinzip der Hierarchie der Planung für die FaktorauswahlDies bedeutet, dass Terme höherer Ordnung im Modell, wie beispielsweise Wechselwirkungen zwischen drei Faktoren, typischerweise weniger wichtig sind als Terme niedrigerer Ordnung, wie beispielsweise Haupteffekte. Basierend auf diesem Prinzip und Ihrem Fachwissen könnten Sie annehmen, dass Haupteffekte den größten Beitrag zu den Schätzwerten leisten, während der Beitrag von Wechselwirkungen zwischen drei Faktoren vernachlässigbar ist.

Wie bereits erwähnt, sind die Wechselwirkungen zweier Faktoren miteinander vermischt. Wenn die Wechselwirkung Gasdurchfluss*Temperatur Bei einem wichtigen Effekt im Modell ist es beispielsweise möglich, dass der wichtige Effekt tatsächlich Folgendes ist: Niederfrequenzleistung*HochfrequenzleistungOder vielleicht tragen beide Interaktionseffekte zur Antwort bei.

Das untenstehende angepasste Modell liefert Schätzwerte für jeden Term, aber in einem gesättigten Modell gibt es keine Freiheitsgrade. Um den Standardfehler zu berechnen, ist es daher nicht möglich, ein Verhältnis zu erhalten. t oder ein Wert p (angegeben durch Prob>|t| (wie in der Abbildung unten dargestellt). Anders ausgedrückt: Es ist nicht möglich, die statistische Signifikanz der Schätzwerte zu testen.

Glücklicherweise gibt es eine Möglichkeit, die Signifikanz von Effekten bei der Analyse eines gesättigten Modells zu beurteilen, und diese basiert auf... Sparsamkeitsprinzip der Planung für die FaktorauswahlDas Sparsamkeitsprinzip geht davon aus, dass manche Effekte keinen signifikanten Einfluss auf die Antwort haben und als zufälliges Rauschen behandelt werden können. Diese unbedeutenden Effekte werden verwendet, um eine Schätzung des experimentellen Fehlers zu erstellen, die als Lenths Pseudo-Standardfehler (Lenths PSE) bekannt ist.

Die Absolutwerte der standardisierten Effektschätzungen werden in einem sogenannten Halbnormaldiagramm (oder Halbnormal-Wahrscheinlichkeitsdiagramm) zusammen mit einer Geraden dargestellt, deren Steigung dem PSE nach Lenth entspricht. Effekte, die nahe an der Geraden liegen, können als irrelevant (d. h. als zufälliges Rauschen) betrachtet werden, während relevante Effekte weiter von der Geraden entfernt liegen.

Zwei im Diagramm identifizierte Haupteffekte werden als wichtig erachtet: Niederfrequenzleistung (NF) e Hochfrequenzleistung (HF) Der dritte wichtige Effekt, der identifiziert wurde, ist die Interaktion. Gasdurchfluss*Temperatur Hier können Fachwissen und die Überprüfung von Störfaktoren im Studiendesign hilfreich sein. Beachten Sie die Synonyme für Zwei-Faktor-Interaktionen:

Die Wechselwirkung zwischen Gasströmung und Temperatur wird verwechselt mit Niederfrequenzleistung*Hochfrequenzleistung , was bedeutet, dass die Schätzung für Gasdurchfluss*Temperatur Es spiegelt tatsächlich den Einfluss beider Interaktionsterme wider. Sie können gleichermaßen zur Reaktion beitragen, oder einer kann vernachlässigbar sein, während der andere der wirklich wichtige Faktor ist.

O Vererbungsprinzip bei der Faktorauswahlplanung Dies zeigt, dass das Vorhandensein eines übergeordneten Terms typischerweise mit dem Vorhandensein von Effekten untergeordneter Ordnung derselben Faktoren einhergeht. In diesem Beispiel sind die wichtigsten Effekte … Niederfrequenzleistung (NF) e Hochfrequenzleistung (HF)und nicht Gasfluss oder die Temperatur...was darauf hindeutet, dass die Wechselwirkung zwischen ihnen der entscheidende Faktor sein könnte. Wenn ein Fachexperte weiß, dass Niederfrequenzleistung e Hochfrequenzleistung Sie interagieren häufig in solchen Prozessen, eine Interaktion zwischen ihnen wird jedoch nicht erwartet. Gasfluss e die Temperatur Auf den in dieser Planung verwendeten Ebenen würde dies eine zusätzliche Unterstützung für eine solche Schlussfolgerung darstellen.

Abschluss

Ziel dieser ersten Planungsphase war es, aus einer geringen Anzahl von Durchläufen vier Kandidatenfaktoren auszuwählen und ein Modell anzupassen, um die wichtigsten Faktoren zu ermitteln. Diese Ergebnisse können Sie für die nächsten Experimentierphasen nutzen. Beispielsweise können Sie das Modell vereinfachen. Nachdem die Haupteffekte und Wechselwirkungen, die sich als irrelevant erweisen (basierend auf dem Normalverteilungsdiagramm und der Kenntnis des Gebiets), entfernt wurden, wird ein Versuchsplan erstellt, um diese Ergebnisse zu bestätigen. Anschließend wird die Response-Surface-Methodik angewendet. um die besten Einstellungen für die Faktoren zu finden, um die Reaktion zu optimieren.

Falls die Ergebnisse nicht so eindeutig sind wie in diesem Beispiel, können Sie die gesammelten Daten durch zusätzliche Versuchsreihen ergänzen. Eine Möglichkeit wäre, die Behandlungen des vollständigen faktoriellen Versuchsplans durchzuführen, die im ursprünglichen fraktionierten faktoriellen Versuchsplan nicht enthalten waren. Alternativ könnten Sie gezielte Versuchsreihen auswählen, um spezifische Wechselwirkungen von Interesse zu schätzen, anstatt alle Versuchsreihen des vollständigen faktoriellen Versuchsplans durchzuführen.

Dieser Ansatz, zuerst einen Plan zu erstellenEin fraktioniertes faktorielles Versuchsdesign oder jede andere Art von Versuchsdesign zur Faktorauswahl mit anschließender weiterer Experimentierung ist in der Regel effizienter und stellt eine bessere Nutzung der Ressourcen dar als die Durchführung eines vollständigen faktoriellen Versuchsdesigns von Anfang an.

Plackett-Burman-Planung

Was ist ein Plackett-Burman-Plan?

Das Plackett-Burman-Design ist eine Art geplanter Versuch, die eingesetzt wird, wenn eine große Anzahl von Faktoren in einer relativ geringen Anzahl von Versuchsreihen untersucht werden soll. Diese Designs gehören zur Klasse der fraktoriellen Versuchspläne und konzentrieren sich darauf, die wichtigsten Faktoren zu identifizieren, wobei Wechselwirkungen zwischen den Faktoren als vernachlässigbar angenommen werden. Wie andere Versuchspläne zur Faktorauswahl …Sie sind besonders in den frühen Stadien nützlich.

Wann sollte man einen Plackett-Burman-Plan verwenden?

Plackett-Burman-Designs eignen sich gut für die Untersuchung einer großen Anzahl von Faktoren, insbesondere wenn das Hauptinteresse in der Schätzung ihrer Haupteffekte liegt. Sie bieten zudem mehr Flexibilität hinsichtlich der Versuchsgröße. Die Anzahl der Versuche in einem Standard-Fraktionalfaktorialdesign ist eine Zweierpotenz (z. B. 4, 8, 16, 32, 64, ...). Bei einem Plackett-Burman-Design ist die Anzahl der Versuche ein Vielfaches von vier (z. B. 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...), weshalb diese Designs nicht so schnell anwachsen. Moderne Faktorselektionsverfahren, wie beispielsweise algorithmische Faktorselektionsverfahren, bieten jedoch eine größere Flexibilität.Sie bieten mehr Flexibilität hinsichtlich der Anzahl der erforderlichen Durchläufe und der abschätzbaren Effekte.

Warum (und wie) verwendet man einen Plackett-Burman-Plan?

Im Vergleich zu einem standardmäßigen fraktoriellen Versuchsplan bietet ein Plackett-Burman-Versuchsplan eine präzisere Kontrolle über die Versuchsgröße bei der Faktorauswahl. Bei einem standardmäßigen fraktoriellen Versuchsplan stehen nur 16 oder 32 Versuche zur Verfügung. Ein Plackett-Burman-Versuchsplan bietet drei zusätzliche Optionen zwischen 16 und 32 Versuchen: 20, 24 oder 28 Versuche. Es gibt weitere wichtige Unterschiede zwischen Plackett-Burman-Versuchsplänen und standardmäßigen fraktoriellen Versuchsplänen.

Auflösung: Die Auflösung eines jeden fraktoriellen Versuchsplans gibt an, wie gut sich die Haupteffekte von den Wechselwirkungen trennen lassen. Anders ausgedrückt: Sie misst den Grad der... Verwirrung Standardmäßige fraktionelle faktorielle Versuchspläne haben die Auflösung III, IV oder V. Je höher die Auflösung, desto geringer die Störfaktoren. Plackett-Burman-Versuchspläne haben fast immer die Auflösung III, d. h. die Haupteffekte können unabhängig voneinander geschätzt werden, da sie nicht miteinander konfundiert sind. Allerdings sind die Haupteffekte in diesen Versuchsplänen teilweise mit Zwei-Faktor-Wechselwirkungen konfundiert. Die Ergebnisse eines Plackett-Burman-Versuchsplans sind besonders nützlich, wenn man davon ausgehen kann, dass die Wechselwirkungseffekte schwach oder vernachlässigbar sind.

Verwirrung: Wie bereits erwähnt, ist die Konfundierung der Effekte in einem Plackett-Burman-Design partiell und nicht vollständig (wie in einem standardmäßigen fraktionierten faktoriellen Design). Diese partielle Konfundierung führt zu einer Erhöhung der Varianz der Schätzwerte, dennoch können signifikante Effekte gefunden werden. Da eines der Hauptziele von Faktorenselektionsdesigns darin besteht, die wichtigen Faktoren aus einer großen Anzahl potenzieller Faktoren zu identifizieren, ist es üblich, dass viele davon irrelevant sind. Wenn es möglich ist, irrelevante Faktoren aus dem Modell zu entfernen, weisen diese Designs gute Projektionseigenschaften auf.häufig wird auf vollständige faktorielle Versuchspläne reduziert, wobei ein Großteil – oder in einigen Fällen sogar alle – der Störfaktoren eliminiert werden.

In manchen Fällen lohnt es sich, die Verwendung eines Plans in Betracht zu ziehen.endgültig für die Faktorauswahlanstelle eines Plackett-Burman-Plans. Hier erfahren Sie mehr über den Vergleich der beiden Pläne.

Beispiel eines 10-Faktoren-Plackett-Burman-Plans in 12 Durchläufen.

Stellen wir uns vor, ein Ingenieurteam eines Polymerwerkstoffherstellers möchte die Faktoren ermitteln, die die Härte einer neuen Materialrezeptur beeinflussen können. Zehn Kandidatenfaktoren werden ausgewählt und jeweils auf zwei Ebenen untersucht.

Eine volle Fakultät von 2^k Für 10 Faktoren auf zwei Ebenen wären 2 erforderlich.¹⁰ oder 1.024 Versuche – eindeutig eine nicht realisierbare Wahl. Da die Ingenieure davon ausgehen, dass nur wenige Faktoren die Härte des Materials maßgeblich bestimmen, entscheiden sie sich für ein Faktorauswahlverfahren. Ein standardmäßiges fraktioniertes Faktordesign könnte durchgeführt werden. Mögliche Designoptionen wären:

Eine Planung mit einem Anteil von 1/128 über acht Durchläufe wäre nicht empfehlenswert, da es sich lediglich um einen Plan der Auflösung II handelt. Dies bedeutet, dass die zehn Haupteffekte nicht unabhängig voneinander geschätzt werden können, da einige Haupteffekte vollständig mit anderen konfundiert wären. Eine Planung mit einem Anteil von 1/64 über 16 Durchläufe entspricht einer Auflösung III. In diesem Fall können die zehn Haupteffekte unabhängig voneinander geschätzt werden. Alle Zwei-Faktor-Interaktionen sind jedoch mit anderen Zwei-Faktor-Interaktionen konfundiert und können daher nicht unabhängig geschätzt werden. Ein Plan mit einem Anteil von 1/32 über 32 Durchläufe entspricht einer Auflösung IV. Dies bedeutet, dass die Haupteffekte unabhängig voneinander und von allen Zwei-Faktor-Interaktionen geschätzt werden können. Allerdings besteht eine Konfundierung zwischen einigen der Zwei-Faktor-Interaktionen.

Ein fraktioniertes faktorielles Versuchsdesign mit einer Auflösung von 1/64 (Stufe III) wäre eine gute Wahl. Aufgrund der Kosten und anderer Einschränkungen bevorzugen Ingenieure jedoch einen Versuchsplan, der mit maximal 12 Versuchen durchgeführt werden kann. Ein Standard-fraktioniertes faktorielles Versuchsdesign würde 16 Versuche erfordern – vier mehr, als Experimentatoren durchführen möchten.

Es gibt jedoch ein Plackett-Burman-Versuchsdesign der Auflösung III für 10 Faktoren, das nur 12 Läufe erfordert. Dieses Design und die Ergebnisse... Härte, wird in der folgenden Tabelle dargestellt.

Bevor wir die Daten analysieren, wollen wir einige Eigenschaften dieser Planung betrachten, die es zu beachten gilt.

Wie bereits erwähnt, lassen sich die zehn Haupteffekte dieses Plackett-Burman-Designs unabhängig voneinander schätzen. Das heißt, es gibt keine Störfaktoren zwischen ihnen. Jeder der Haupteffekte weist jedoch partielle Störfaktoren auf, nicht nur mit einigen, sondern mit vielen Zwei-Faktor-Interaktionen. Auch die Zwei-Faktor-Interaktionen weisen partielle Störfaktoren untereinander auf. Im Plackett-Burman-Design für die PlanungHärtezum Beispiel die Hauptwirkung von Harz Es handelt sich um eine partielle Konfundierung mit 36 ​​Wechselwirkungen zweier verschiedener Faktoren sowie der Wechselwirkung zweier Faktoren. Harz*Monomer Es zeigt eine partielle Konfundierung mit 28 anderen Zwei-Faktor-Interaktionen!

Dieser Störfaktor wäre selbst unter Anwendung spezialisierter Kenntnisse ohne eine relativ große Anzahl zusätzlicher Versuchsdesigns nur sehr schwer zu beheben. Daher sollte bei der Analyse eines Plackett-Burman-Designs davon ausgegangen werden, dass nur die Haupteffekte, nicht aber die Wechselwirkungen, potenziell relevant sind.

Bei 10 Faktoren und einem Modell, das nur die Haupteffekte berücksichtigt, bietet ein Versuchsdesign mit 12 Versuchen genau die Anzahl an Versuchen, die erforderlich ist, um eine Schätzung des experimentellen Fehlers zu erhalten und somit die Berechnung von p-Werten zu ermöglichen. um die statistische Signifikanz der Effekte zu beurteilen. Schätzwerte für jeden der Haupteffekte, zusammen mit ihren jeweiligen Teststatistiken und Werte p (bezeichnet durch Prob>|t| Die Haupteffekte werden im Folgenden dargestellt. Beachten Sie, dass jeder Haupteffekt teilweise durch mehrere Zwei-Faktor-Interaktionen beeinflusst wird. Wenn Sie einen Haupteffekt als signifikant einstufen, gehen Sie davon aus, dass die Auswirkungen dieser Wechselwirkungen vernachlässigbar sind.

Eine gängige Strategie in der Faktorenselektionsphase besteht darin, bei der Auswahl wichtiger Faktoren ein höheres Signifikanzniveau (α) zu verwenden, um keine Faktoren zu übersehen, die die Zielgröße tatsächlich beeinflussen. Beispielsweise könnte man vor der Analyse der Faktorenselektionsdaten ein Signifikanzniveau von 0,10 wählen. In nachfolgenden Studien mit den in der Faktorenselektionsstudie identifizierten wichtigen Faktoren würde man dann wahrscheinlich ein niedrigeres Signifikanzniveau (z. B. 0,05) verwenden, um die Signifikanz der Modellterme zu beurteilen.

Bei einem Signifikanzniveau von 0,10 scheinen drei Faktoren wichtig zu sein: Weichmacher, Laden e Abkühlungsrate . Laden hat den größten Effekt mit einem standardisierten Schätzwert von 7,25, gefolgt von Weichmacher (2,75) und durch die Abkühlungsrate (1,75).

Abschluss

Bei der Planung der Faktorauswahl geht es nicht darum, ein Modell zu erstellen, das die Beziehung zwischen den Faktoren und der Zielgröße vollständig beschreibt. Vielmehr soll eine Teilmenge aller infrage kommenden Faktoren ermittelt werden, um die nächste Versuchsrunde zu steuern. Ausgehend von den Ergebnissen des obigen Beispiels wäre ein logischer nächster Schritt die Entwicklung eines Plans, der nur die folgenden Faktoren berücksichtigt: Laden, Weichmacher e Abkühlungsrate Um die Haupteffekte und gegebenenfalls deren Wechselwirkungen abzuschätzen, ist es wichtig, die Ergebnisse des ursprünglichen Plackett-Burman-Designs zu optimieren. Sind die Ergebnisse nicht eindeutig, kann das Design durch zusätzliche Durchläufe verbessert werden, um einige oder alle Störfaktoren zu eliminieren. Nach der Identifizierung der wichtigen Faktoren und ihrer potenziellen Wechselwirkungen können Sie im nächsten Schritt Pläne entwickeln, um die Faktorkonfigurationen zu finden, die Ihre Zielgröße(n) optimieren.

Versuchsplanung