Una tabla de contingencia de 2x2 contiene recuentos de las variables X1 e Y a partir de datos retrospectivos. El objetivo es comprobar la asociación entre X1 e Y. Una de las cuatro celdas (25%) de la tabla de contingencia tiene un recuento esperado inferior a 5, por lo que la prueba de independencia de chi-cuadrado no es válida.
¿Es la prueba exacta de Fisher un enfoque alternativo válido si los datos son retrospectivos y los recuentos de X1 e Y no fueron "fijos" (es decir, X1 e Y no fueron un experimento diseñado o planificado, sino que simplemente se observaron y la prueba se realizó ad hoc)?
Este sitio web (y otros) sugieren que la prueba exacta de Fisher es conservadora cuando una o ninguna de las variables están "fijadas" de antemano: https://www.biostathandbook.com/fishers.html
En tu caso, los valores p son 0,00000202645594483411 para la prueba chi-cuadrado de Pearson y 0,000101189787981198 para la prueba exacta de Fisher. Ambos valores p son pequeños, así que creo que puedes usar ambos resultados (porque tradicionalmente decimos "p<0,001" solo cuando el valor p es menor que 0,001).
En las pruebas estadísticas, "válido" significa que la prueba siempre puede controlar el error de tipo 1, es decir, la probabilidad de error de tipo I para la prueba debe ser siempre menor o igual al nivel alfa nominal.
La prueba chi-cuadrado de Pearson es una prueba asintótica y no controla el error de tipo I. Esta "invalidez" de las pruebas chi-cuadrado se hace más evidente cuando algunos recuentos esperados son menores. La regla general aproximada de que "algunos recuentos esperados son menores que 5" se conoce a veces como la "regla de Cochran".
La prueba exacta de Fisher siempre controla el error de tipo I. Es decir, la probabilidad de error de tipo I en la prueba exacta de Fisher siempre es menor o igual al nivel alfa nominal. Si le preocupa el riesgo de falsos positivos, la prueba exacta de Fisher podría ser una buena opción. Si le preocupa el riesgo de falsos negativos, la prueba de chi-cuadrado de Pearson podría ser más adecuada.
Como bien dices, la prueba exacta de Fisher no es realmente "exacta". Casi siempre es conservadora (al menos en el sentido de Neyman-Pearson). La prueba exacta de Fisher es "válida" solo en el sentido mencionado. Todas las pruebas "exactas" y los intervalos de confianza "exactos" para variables discretas (sin aleatorización para romper la discreción) se vuelven conservadores. Por ejemplo, las pruebas exactas y los intervalos de confianza exactos (también conocidos como intervalos de confianza de Clopper-Pearson) para probabilidades binomiales también son conservadores.
El profesor DRCox denominó a este tipo de "corrección" "condicionamiento técnico". Aunque las personas no son conscientes de ello, el condicionamiento técnico más común es el análisis de regresión (como la regresión lineal, la regresión logística, etc.). Si bien las variables X en los modelos de regresión suelen ser variables aleatorias, generalmente las "fijamos" al calcular intervalos de confianza y realizar pruebas. A las personas no les suele interesar la relación entre las variables X. Podemos eliminar estas partes irrelevantes mediante el "condicionamiento técnico".
Si los datos de dos grupos se muestrean a partir de dos distribuciones binomiales independientes e infinitas, el diseño solo fija los totales de las filas (por ejemplo, n1 y n2). Aun así, si las dos probabilidades binomiales son iguales, podemos considerar este proceso como aquel en el que primero se muestrean n1 + n2 individuos de una distribución binomial independiente e infinita, y luego se divide esta primera muestra en n1 y n2. Este muestreo en dos pasos es exactamente igual que el muestreo en un paso a partir de dos poblaciones infinitas. Y, cuando se muestrean n1 + n2 individuos inicialmente, el número de eventos y no eventos en esta primera muestra queda fijo.
En su caso, los datos pueden considerarse una muestra aleatoria de 108 individuos de una distribución multinomial, y H0 debe ser "p11/p12 = p21/p22". Suponga que en su población infinita hay una cantidad infinita de bolas rojas y negras. Primero, tome una muestra de 108 bolas de esta población infinita. Esta primera muestra fija los totales de las columnas (98 y 10 en su caso), como en el caso binomial anterior. Luego, divida esta muestra en dos grupos. Esto fija los totales de las filas (90 y 18 en su caso). Este muestreo en dos pasos genera la misma distribución que el muestreo original de una distribución multinomial.
Cabe destacar que el grado de libertad para una tabla de 2x2 es uno, no dos, tres ni cuatro. Esto significa que la prueba de chi-cuadrado también "fija" los totales de las columnas y las filas.
En cualquier caso, la prueba exacta de Fisher siempre es conservadora. Y este conservadurismo se hace más evidente con muestras pequeñas. La prueba de chi-cuadrado es una prueba asintótica. No muestra estos resultados "demasiado conservadores", aunque a veces no puede controlar el error de tipo I.
Cabe señalar también que, supongo, en este caso no se puede hablar de "efectos causales" de X1 sobre Y. La explicación anterior se refiere únicamente a cómo calcular pruebas estadísticas "válidas".
