2x2 분할표에는 회고적 데이터에서 얻은 변수 X1과 Y의 빈도수가 포함되어 있습니다. 목표는 X1과 Y 사이의 연관성을 검정하는 것입니다. 분할표의 네 칸 중 한 칸(25%)의 기대 빈도수가 5 미만이므로 카이제곱 독립성 검정은 유효하지 않습니다.
데이터가 과거 시점의 데이터이고 X1과 Y의 값이 고정되지 않은 경우(즉, X1과 Y는 설계된 실험이나 계획된 값이 아니라 단순히 관찰된 값이며 검정은 임의적으로 수행된 경우) 피셔의 정확 검정은 유효한 대안적 접근 방식일까요?
이 웹사이트(및 기타 웹사이트)에서는 변수 중 하나 또는 둘 다 사전에 "고정"되지 않은 경우 Fisher의 정확 검정이 보수적인 결과를 제공한다고 제시합니다. https://www.biostathandbook.com/fishers.html
귀하의 경우, 피어슨 카이제곱 검정의 p값은 0.00000202645594483411이고, 피셔 정확 검정의 p값은 0.000101189787981198입니다. 두 p값 모두 작으므로 두 결과를 모두 사용할 수 있다고 생각합니다 (일반적으로 p값이 0.001보다 작을 때만 "p<0.001"이라고 합니다).
통계적 검정에서 "유효하다"는 것은 검정이 항상 제1종 오류를 제어할 수 있음을 의미합니다. 즉, 검정의 제1종 오류 발생 확률이 항상 명목상의 알파 수준보다 작거나 같아야 합니다.
피어슨 카이제곱 검정은 점근적 검정이며, 제1종 오류를 제어하지 못합니다. 이러한 카이제곱 검정의 "부적합성"은 일부 기대 빈도가 5보다 작을 때 더욱 분명해집니다. "일부 기대 빈도가 5보다 작다"라는 매우 대략적인 경험 법칙을 때때로 "코크란의 법칙"이라고 부릅니다.
피셔의 정확 검정은 항상 제1종 오류를 제어합니다. 즉, 피셔의 정확 검정에서 제1종 오류의 확률은 항상 명목상의 알파 수준보다 작거나 같습니다. 따라서 위양성에 민감하다면 피셔의 정확 검정이 좋은 선택일 수 있습니다. 반대로 위음성에 민감하다면 피어슨 카이제곱 검정이 더 적합할 수 있습니다.
말씀하신 대로 피셔의 정확 검정은 실제로 "정확"하지 않습니다. 거의 항상 보수적입니다(적어도 네이만-피어슨의 의미에서는). 피셔의 정확 검정이 "유효"한 것은 위에서 언급한 의미에서만입니다. 이산 변수에 대한 모든 "정확" 검정과 "정확" 신뢰 구간(이산성을 깨뜨리기 위한 무작위화 없이)은 보수적입니다. 예를 들어, 이항 확률에 대한 정확 검정과 정확 신뢰 구간(클로퍼-피어슨 신뢰 구간이라고도 함)도 보수적입니다.
DRCox 교수는 이러한 종류의 "수정"을 "기술적 조건화"라고 불렀습니다. 사람들은 무의식적으로 이를 인지하지 못하지만, 가장 흔한 기술적 조건화는 회귀 분석(선형 회귀, 로지스틱 회귀 등)에서 나타납니다. 회귀 모델에서 X 변수는 종종 확률 변수이지만, 신뢰 구간과 검정을 계산할 때 X 변수를 "고정"하는 경우가 많습니다. 사람들은 일반적으로 X 변수들 간의 관계에는 관심이 없습니다. 이러한 불필요한 부분을 "기술적 조건화"를 통해 제거할 수 있습니다.
두 집단의 데이터를 두 개의 무한히 독립적인 이항 분포에서 추출하는 경우, 설계는 행 합계(예: n1과 n2)만 고정합니다. 두 이항 확률이 같다고 하더라도, 이 과정을 먼저 하나의 무한히 독립적인 이항 분포에서 n1 + n2개의 개체를 추출한 다음, 이 첫 번째 표본을 n1과 n2로 나누는 과정으로 생각할 수 있습니다. 이러한 2단계 추출은 두 개의 무한한 모집단에서 1단계 추출하는 것과 정확히 동일합니다. 그리고 처음에 n1 + n2개의 개체를 추출하면, 이 첫 번째 표본에서 사건과 비사건의 수는 고정됩니다.
이 경우, 데이터는 하나의 다항분포에서 추출한 108개의 개체로 이루어진 무작위 표본으로 볼 수 있으며, 귀무가설(H0)은 "p11/p12 = p21/p22"입니다. 무한한 모집단에 무한히 많은 빨간 공과 검은 공이 있다고 가정해 보겠습니다. 먼저, 이 무한한 모집단에서 108개의 공을 추출합니다. 이 첫 번째 표본 추출은 위에서 설명한 이항분포의 경우처럼 열 합계(이 경우 98과 10)를 고정합니다. 그런 다음, 이 표본을 두 그룹으로 나눕니다. 이렇게 하면 행 합계(이 경우 90과 18)가 고정됩니다. 이 두 단계 표본 추출은 하나의 다항분포에서 추출한 원래 표본과 동일한 분포를 생성합니다.
참고로, 2x2 표의 자유도는 1이며, 2, 3, 또는 4가 아닙니다. 이는 카이제곱 검정이 열 합계와 행 합계를 "고정"한다는 것을 의미합니다.
어쨌든 피셔의 정확 검정은 항상 보수적인 결과를 보여줍니다. 그리고 이러한 보수성은 표본 크기가 작을수록 더욱 두드러집니다. 카이제곱 검정은 점근적 검정입니다. 제1종 오류를 완전히 제어하지 못하는 경우가 있긴 하지만, 피셔의 검정처럼 "지나치게 보수적인" 결과를 보여주지는 않습니다.
또한 이 경우 X1이 Y에 미치는 "인과적 효과"에 대해서는 언급할 수 없다는 점을 유의하십시오. 위의 설명은 "유효한" 통계적 검정을 계산하는 방법에만 해당됩니다.
