2×2分割表には、過去のデータから得られた変数X1とYのカウントが含まれています。目的は、X1とYの関連性を検定することです。4つの分割表セルのうち1つ（25%）の期待カウントが5未満であるため、カイ二乗独立性検定は有効ではありません。
データが遡及的であり、X1とYのカウントが「固定」されていなかった場合（つまり、X1とYは計画された実験ではなく、単に観察されたものであり、テストがアドホックに実施された場合）、フィッシャーの正確確率検定は有効な代替アプローチでしょうか？
このウェブサイト（および他のウェブサイト）では、フィッシャーの正確確率検定は、変数の一方または両方が事前に「固定」されていない場合に保守的であると示唆しています。https: //www.biostathandbook.com/fishers.html
あなたの場合、ピアソンのカイ二乗検定のp値は0.00000202645594483411、フィッシャーの正確確率検定のp値は0.000101189787981198です。どちらのp値も小さいので、両方の結果を使用できると思います（従来はp値が0.001未満の場合にのみ「p<0.001」と表記されるため）。
統計的検定において「有効」とは、検定が常に第一種過誤を制御できることを意味する。つまり、検定における第一種過誤の確率は、常に名目上の有意水準以下でなければならない。
ピアソンのカイ二乗検定は漸近検定であり、第一種過誤を制御しません。カイ二乗検定のこの「不適切さ」は、期待度数が小さい場合に顕著になります。「期待度数が5未満の場合」という非常に大まかな経験則は、「コックランのルール」と呼ばれることもあります。
フィッシャーの正確検定は常に第一種過誤を制御します。つまり、フィッシャーの正確検定における第一種過誤の確率は常に名目上の有意水準以下です。偽陽性に注意する必要がある場合は、フィッシャーの正確検定が適切な選択肢となるでしょう。偽陰性に注意する必要がある場合は、ピアソンのカイ二乗検定の方が適しているかもしれません。
ご指摘のとおり、フィッシャーの正確検定は実際には「正確」ではありません。ほとんどの場合、保守的です（少なくともネイマン・ピアソンの意味で）。フィッシャーの正確検定が「有効」なのは、上記の意味でのみです。離散変数（離散性を解消するためのランダム化なし）に対するすべての「正確」検定と「正確」信頼区間は、保守的になります。例えば、二項確率に対する正確検定と正確信頼区間（別名クロッパー・ピアソンの信頼区間）も保守的です。
DRCox教授はこの種の「修正」を「技術的条件付け」と呼びました。人々は意識していませんが、最も一般的な技術的条件付けは回帰分析（線形回帰、ロジスティック回帰など）です。回帰モデルにおけるX変数は多くの場合ランダム変数ですが、信頼区間や検定を計算する際には、通常X変数を「固定」します。人々は通常、X変数間の関係には関心がありません。こうした不要な部分を「技術的条件付け」によって取り除くことができるのです。
2 つのグループのデータが 2 つの無限独立二項分布からサンプリングされる場合、設計によって固定されるのは行の合計 (n1 と n2 など) だけです。それでも、2 つの二項確率が等しい場合、このプロセスは、最初に 1 つの無限独立二項分布から n1 + n2 個の個体をサンプリングし、次にこの最初のサンプルを n1 と n2 に分割するプロセスと考えることができます。この 2 段階のサンプリングは、2 つの無限母集団からの 1 段階のサンプリングとまったく同じです。そして、最初に n1 + n2 個の個体をサンプリングすると、この最初のサンプルのイベント数と非イベント数が固定されます。
この場合、データは1つの多項分布から抽出した108個のランダムサンプルと見なすことができ、帰無仮説H0は「p11/p12 = p21/p22」でなければなりません。無限母集団には無限個の赤玉と黒玉があると仮定します。まず、この無限母集団から108個の玉をサンプリングします。この最初のサンプルによって、上記の二項分布の場合と同様に、列の合計（この場合は98と10）が確定します。次に、このサンプルを2つのグループに分けます。これにより、行の合計（この場合は90と18）が確定します。この2段階のサンプリングによって、1つの多項分布から最初にサンプリングした場合と同じ分布が生成されます。
2×2表の自由度は1であり、2、3、4ではないことに注意してください。つまり、カイ二乗検定では列合計と行合計も「固定」されるということです。
いずれにせよ、フィッシャーの正確確率検定は常に保守的な結果を示す。そして、この保守性はサンプルサイズが小さいほど顕著になる。カイ二乗検定は漸近検定である。カイ二乗検定は、第一種過誤を制御できない場合があるものの、このような「過度に保守的な」結果を示すことはない。
また、この場合、X1からYへの「因果関係」について断言することはできない点にもご注意ください。上記の解説は、「有効な」統計検定の計算方法のみに関するものです。
