Una tabella di contingenza 2x2 contiene i conteggi delle variabili X1 e Y da dati retrospettivi. L'obiettivo è testare l'associazione tra X1 e Y. Una cella su quattro (25%) della tabella di contingenza ha un conteggio atteso inferiore a 5, quindi il test del chi-quadrato di indipendenza non è valido.
Il test esatto di Fisher rappresenta un approccio alternativo valido se i dati sono retrospettivi e i conteggi di X1 e Y non erano "fissi" (ovvero, X1 e Y non erano oggetto di un esperimento progettato o pianificato, ma sono stati semplicemente osservati e il test è stato condotto ad hoc)?
Questo sito web (e altri) suggeriscono che il test esatto di Fisher sia conservativo quando una o nessuna delle variabili sono "fissate" in anticipo: https://www.biostathandbook.com/fishers.html
Nel tuo caso, i valori p sono 0,00000202645594483411 per il test del chi-quadrato di Pearson e 0,000101189787981198 per il test esatto di Fisher. Entrambi i valori p sono piccoli, quindi penso che tu possa usare entrambi i risultati (perché tradizionalmente diciamo "p<0,001" solo quando il valore p è inferiore a 0,001).
In ambito statistico, "valido" significa che il test è in grado di controllare sempre l'errore di tipo I, ovvero la probabilità di errore di tipo I per il test deve essere sempre inferiore o uguale al livello alfa nominale.
Il test del chi-quadrato di Pearson è un test asintotico e non controlla l'errore di tipo I. Questa "invalidità" dei test del chi-quadrato diventa più evidente quando alcune frequenze attese sono inferiori a 5. La regola empirica, molto approssimativa, secondo cui "alcune frequenze attese sono inferiori a 5", è talvolta chiamata "regola di Cochran".
Il test esatto di Fisher controlla sempre l'errore di tipo I. Ovvero, la probabilità di errore di tipo I per il test esatto di Fisher è sempre MINORE o uguale al livello di significatività nominale. Se nella vostra situazione siete particolarmente attenti ai falsi positivi, il test esatto di Fisher potrebbe essere una buona scelta. Se invece siete particolarmente attenti ai falsi negativi, il test del chi-quadrato di Pearson potrebbe essere più indicato.
Come hai detto, il test esatto di Fisher non è in realtà "esatto". È quasi sempre conservativo (almeno nel senso di Neyman-Pearson). Il test esatto di Fisher è "valido" solo nel senso sopra descritto. Tutti i test "esatti" e gli intervalli di confidenza "esatti" per variabili discrete (senza randomizzazione per rompere la discretezza) diventano conservativi. Ad esempio, i test esatti e gli intervalli di confidenza esatti (noti anche come intervalli di confidenza di Clopper-Pearson) per le probabilità binomiali sono anch'essi conservativi.
Il professor DRCox ha definito questo tipo di "correzione" "condizionamento tecnico". Sebbene le persone non ne siano consapevoli, il condizionamento tecnico più diffuso è l'analisi di regressione (come la regressione lineare, la regressione logistica e così via). Anche se le variabili X nei modelli di regressione sono spesso variabili casuali, di solito "fissiamo" le variabili X quando calcoliamo gli intervalli di confidenza e i test. Le persone in genere non sono interessate alla relazione tra le variabili X. Possiamo eliminare questi elementi di disturbo tramite il "condizionamento tecnico".
Se i dati per due gruppi vengono campionati da due distribuzioni binomiali infinite e indipendenti, il disegno sperimentale fissa solo i totali di riga (ad esempio, n1 e n2). Ciononostante, se le due probabilità binomiali sono uguali, possiamo pensare a questo processo come a quello in cui campioniamo inizialmente n1 + n2 individui da una distribuzione binomiale infinita e indipendente, per poi dividere questo primo campione in n1 e n2. Questo campionamento in due fasi è esattamente equivalente al campionamento in una sola fase da due popolazioni infinite. Inoltre, quando campioniamo inizialmente n1 + n2 individui, il numero di eventi e non eventi in questo primo campione diventa fisso.
Nel tuo caso, i dati possono essere visti come un campione casuale di 108 individui da una distribuzione multinomiale e H0 deve essere "p11/p12 = p21/p22". Supponiamo che nella tua popolazione infinita ci siano infinite palline rosse e palline nere. Per prima cosa, campiona 108 palline da questa popolazione infinita. Questo primo campione fissa i totali di colonna (98 e 10 nel tuo caso) come nel caso binomiale sopra descritto. Quindi, dividi questo campione in due gruppi. Questo fissa i totali di riga (90 e 18 nel tuo caso). Questo campionamento in due fasi genera la stessa distribuzione del campionamento originale da una distribuzione multinomiale.
Si noti che il grado di libertà per una tabella 2x2 è uno, non due, tre o quattro. Ciò significa che il test del chi-quadrato "fissa" anche i totali di colonna e di riga.
In ogni caso, il test esatto di Fisher è sempre conservativo. E questa conservatività diventa più evidente per campioni di dimensioni ridotte. Il test del chi-quadrato è un test asintotico. Non mostra questi risultati "troppo conservativi", sebbene a volte non riesca a controllare l'errore di tipo I.
Si noti inoltre che, presumo, in questo caso non si possa parlare di "effetti causali" di X1 su Y. La spiegazione di cui sopra si riferisce unicamente al calcolo di test statistici "validi".
